概论与统计课件第四章随机变量的数字特征

第四章、随机变量的数字特征第一节：数学期望第一节：数学期望第二节：方差第二节：方差第三节：协方差及相关系数第三节：协方差及相关系数第四节：矩、协方差矩阵第四节：矩、协方差矩阵 在前面的课程中，我们讨论了随机变量及其分布，如果知道了随机变量在前面的课程中，我们讨论了随机变量及其分布，如果知道了随机变量X的的概率分布概率分布，那么，那么X的全部概率特征也就知道了的全部概率特征也就知道了.然而，在实际问题中，概率分布一般是较难确定的然而，在实际问题中，概率分布一般是较难确定的.而在一些实际应而在一些实际应用中，人们并不需要知道随机变量的一切概率性质，只要知道它的某些用中，人们并不需要知道随机变量的一切概率性质，只要知道它的某些数字数字特征特征就够了就够了.例：例：在评定某地区粮食产量的水平时，最关心的在评定某地区粮食产量的水平时，最关心的 是是平均产量平均产量；考察居民的家庭收入情况，我们既知家庭的考察居民的家庭收入情况，我们既知家庭的年平均收入年平均收入，又要研究又要研究贫富之间的差异程度；贫富之间的差异程度；因此，在对随机变量的研究中，确定某些数因此，在对随机变量的研究中，确定某些数字特征是重要的字特征是重要的.而而所谓的数字特征就是用数字表所谓的数字特征就是用数字表示随机变量的分布特点。示随机变量的分布特点。在这些数字特征中，最常用的是在这些数字特征中，最常用的是数学期望、方差、协方差和相关系数、原点矩和中心矩数学期望、方差、协方差和相关系数、原点矩和中心矩第一节 数学期望离散型随机变量的数学期望离散型随机变量的数学期望连续型随机变量的数学期望连续型随机变量的数学期望随机变量函数的数学期望随机变量函数的数学期望数学期望的性质数学期望的性质引例：引例：某射手射击某射手射击1010次，次，射击成绩如下：射击成绩如下：1 1.1 1 离散型随机变量的数学期望离散型随机变量的数学期望击中环数击中环数 xi 次数次数 8 9 10 3 1 6则他每次射击平均命中的环数为：则他每次射击平均命中的环数为：101)6101938(M3.91061010191038 若令若令 fi 表示频率，则上式可表示为表示频率，则上式可表示为 31iiifxM 由概率的统计定义知道，在大量试验下，由概率的统计定义知道，在大量试验下，频率频率 fi稳定于稳定于概率概率 pi，以频率为权数以频率为权数的加权平均值的加权平均值从而从而iiifx iiipx 稳定于稳定于第一节第一节 数学期望数学期望定义定义：设离散型随机变量：设离散型随机变量 X 的概率函数为的概率函数为 P(X=xk)=pk k=1,2,1kkkpxEX 1kkkpx若级数若级数 绝对收敛绝对收敛，则称此级数的和为则称此级数的和为 X 的的数学期望数学期望。简称简称期望期望或或均值均值。记作记作 EX，即，即 1kkkpx如果级数如果级数 发散，则称发散，则称 X 的数学期望不存在。的数学期望不存在。说明说明 1kkkpx 级数级数 的和应与求和次序无关，因而要求的和应与求和次序无关，因而要求绝对收敛绝对收敛.以概率为权数以概率为权数的加权平均值的加权平均值离散型随机变量数学期望的求法离散型随机变量数学期望的求法-用定义用定义例例1：已知随机变量已知随机变量 X 分布如表分布如表 所示所示,求求:EX.EX=6+5+4+00.04 =解：解：例例2：掷一枚均匀的掷一枚均匀的骰子，用骰子，用 X 表示出现的点数，求表示出现的点数，求 EX.解：解：X 的概率函数为的概率函数为 P(X=k)=1/6，k=1,2,3,4,5,6EX=k2721616161 kk 0.7 0.1 0.1 0.06 0.04P 6 5.4 5 4 0X61 61k例例3（0-10-1）分布的数学期望）分布的数学期望X服从服从0-1分布分布，其概率分布为，其概率分布为XP0 11-p p若若X 服从参数为服从参数为 p 的的0-1分布，分布，则则EX=p0(1)1EXppp 概率函数为：概率函数为：例例4 泊松分布的数学期望泊松分布的数学期望 EX 0!kkekk )2,1,0(0)(!)(kekkXPk 0!mmem ekkk11)!1(1 km令令 e e若若X 服从参数为服从参数为 的泊松分布，的泊松分布，则则EX=knkknqpC k nk 0 EX nkknkqpknknk1)!(!1111nkkn knknpCpq1(1(1)1(1)!(1)!(1)(1)!nknkknnppqknk 1()nnp pq10 kk00001(1)10nkknknknpCp q 例例5 二项分布的数学期望二项分布的数学期望设设 X B(n,p)，概率函数为，概率函数为pqnkqpCkXPknkkn 1 ,),2 ,1 ,0()(其其中中np若若X 服从参数为服从参数为 n,p 的二项分布，的二项分布，则则EX=np dxxxfEX)(记为记为定义定义：设连续型随机变量设连续型随机变量 X 的概率密度为的概率密度为 f(x)，)(dxxxf )(dxxxf若积分若积分 绝对收敛，则称积分绝对收敛，则称积分 为为 X 的的数学期望数学期望。1 1.2 2 连续型随机变量的数学期望连续型随机变量的数学期望数学期望的求法数学期望的求法-用定义用定义例例1 1:计算在区间计算在区间a,b上服从均匀分布的随机变量上服从均匀分布的随机变量 X 的数学期望的数学期望.dxxxfEX)(解：解：其他其他 0 1)(bxaabxf badxabx2ba 均匀分布均匀分布的数学期望位于区间的数学期望位于区间 a,b 的中点的中点.X 的密度函数为的密度函数为 例例2 2：设随机变量设随机变量 X 服从参数为服从参数为 的指数的指数分布分布,求求 X 的数学期望的数学期望.解：解：X 的密度函数为的密度函数为000dxexexdexxx 01xe 000)(xxexfx dxxxfEX)(0dxexx 1 指数指数分布分布的数学期望为的数学期望为 .1例例3 3：设设 X N(,2),求求 X 的数学期望的数学期望.解：解：正态分布正态分布的数学期望为的数学期望为 .dtett2221)(xt令令 dtedtettt2222212 10 dxxxfEX)(dxexx222)(21 例例4 4：设随机变量设随机变量 X 服从柯西服从柯西(Cauchy)分布，其密度函数为分布，其密度函数为由于由于xxxf2111)(dxxfx)(dxxx211，不不绝绝对对收收敛敛这这表表明明积积分分dxxxf)(。不存在不存在因而因而EX1 1.3 3 随机变量函数的数学期望随机变量函数的数学期望 设已知随机变量设已知随机变量X的分布，我们需要计算的不是的分布，我们需要计算的不是X的期望，而是的期望，而是X的某个函数的的某个函数的期望，比如说期望，比如说g(X)的期望的期望.那么应该如何计算呢？那么应该如何计算呢？一种方法是，因为一种方法是，因为g(X)也是随机变量，故应有概率分布，它的分布可以由已知也是随机变量，故应有概率分布，它的分布可以由已知的的X的分布求出来的分布求出来.一旦我们知道了一旦我们知道了g(X)的分布，就可以按照期望的定义把的分布，就可以按照期望的定义把Eg(X)计算出来计算出来.那么是否可以不先求那么是否可以不先求g(X)的分布而只根据的分布而只根据X的分布求得的分布求得Eg(X)呢？呢？下面的定理指出，答案是肯定的下面的定理指出，答案是肯定的.使用这种方法必须先求出随机变量函数使用这种方法必须先求出随机变量函数g(X)的分布，一般是比较复杂的的分布，一般是比较复杂的.一维随机变量函数的一维随机变量函数的数学期望的求法数学期望的求法定理：定理：设设 X 是一随机变量是一随机变量,Y=g(X)，g(x)是连续函数是连续函数,.2,1,kxXPpkk(2)若若 X 为为连续型连续型随机变量，其随机变量，其密度函数为密度函数为 f(x)，绝绝对对收收敛敛且且 dxxfxg)()(dxxfxgXEgEY)()()(1kkkpxgXEgEY)()(1)若若 X 为为离散型离散型随机变量，其概率函数为随机变量，其概率函数为，绝绝对对收收敛敛且且 1)(kkkpxg求求 E Y 时时,可以不求可以不求Y=g(X)的分布的分布,而而直接利用直接利用X 的分布的分布.例例1 1：设随机变量设随机变量 X 的分布列为的分布列为求：求：EX2，E(2X-1).83141383241081)1(22222 EX解：解：P 1/8 1/4 3/8 1/4X -1 0 2 3解：解：(41)EYEX例例2:2:设设X f(x)=20 21 x其其他他 0,Y=4X+1,求求:EY.4741583341)1(813)12(XE(41)()xf x dx201(41)52xdx解：解：(sin)sin()EYEXx f x dx例例3:3:设设X f(x)=1 0 x其其他他 0,Y=sinX,求求:EY.01sinxdx01(cos)x2二维随机变量函数的二维随机变量函数的数学期望的求法数学期望的求法定理：定理：设设(X,Y)是二维随机变量是二维随机变量,随机变量随机变量 Z=g(X,Y),g(x,y)是是二元连续函数，二元连续函数，(1)若若(X,Y)为二维离散型随机变量，其联合分布为为二维离散型随机变量，其联合分布为,2 ,1,jipyYxXPijji11ijijjipyxgYXEgEZ),(),(，绝绝对对收收敛敛且且 11),(ijijjipyxg(2)若若(X,Y)为二维连续型随机变量为二维连续型随机变量,其联合密度函数为其联合密度函数为 f(x,y),且且绝绝对对收收敛敛，dxdyyxfyxg),(),(dxdyyxfyxgYXEgEZ),(),(),(解：解：求：求：E(X-Y)，EXY.例例1 1：设设(X,Y)的联合分布为的联合分布为Y X 0.1 0.20.1013210.20.10.3E(X-Y)=(0-1)+(0-2)+(0-3)E(XY)=(0 1)+(0 2)+(0 3)+(1 1)+(1 2)+(1 3)=+(1-1)+(1-2)+(1-3)=-1.7 解：解：1010)(xydyyxdx dxdyyxxyf),(31例例2 2：设设(X,Y)的联合密度为的联合密度为 其其它它010,10),(yxyxyxf求：求：E(-3X+2Y),EXY.EXY dxdyyxfyx),()23(E(-3X+2Y)1010)()23(dyyxyxdx127 （1）设）设(X,Y)为二维离散型随机变量，其分布律为为二维离散型随机变量，其分布律为 P(X=x i，Y=y j)=p i j (i,j=1,2,)其边缘分布律为其边缘分布律为定理定理()iP Xx jjip ipY()Pji jjiypp则则iiiijiijEXx px pjjjijjijEYy py p(2)若若(X,Y)为二维连续型随机变量为二维连续型随机变量,f(x,y),f X(x),f Y(y)分别为分别为(X,Y)的概率的概率密度与边缘概率密度，则密度与边缘概率密度，则()(,)XEXxfx dxxf x y dxdy()(,)YEYyfy dyyf x y dxdy 解：解：11002xyxdydx dxdyyxxyf),(11200123x dxydy例例(P92(P92例例1010）：）：设设(X,Y)的联合密度为的联合密度为201,01(,)0 xxyf x y 其它求：求：Z=X，Z=XY，Z=max(X,Y)的数学期望的数学期望.EZ=EXY(,)xf x y dxdyEZ=EX11002xxdxdy 11200223x dxdy1100max(,)2x yxdydx max(,)(,)x y f x y dxdy11100022xxxxdy dxyxdy dx EZ=Emax(X,Y)11320032(1)4x dxxxdx性质性质1 1：常数的期望就是这个常数本身常数的期望就是这个常数本身,即即 E(C)=C.1 1.4 4 数学期望的性质数学期望的性质证：证：常量常量 C 可看作仅取一个值可看作仅取一个值 C 的随机变量的随机变量,且取值且取值 C 的概率为的概率为 1,即即 X 的分的分布为布为 P(X=C)=1,其数学期望为其数学期望为推论：推论：E(EX)=EXE(C)=C 1=C性质性质2 2：随机变量随机变量 X 与常量与常量 C 之和的数学期望等于之和的数学期望等于 X 的期望与的期望与 这个常量这个常量 C 的和，即的和，即 E(X+C)=EX+C.CEXCppxpCxCXEkkkkkkkk )()(证：证：CEXdxxfCdxxxfdxxfCxCXE )()()()()(X为为离散型时离散型时:X为为连续型时连续型时:设设 X 的分布为的分布为 pk,则则设设 X 密度函数为密度函数为 f(x),则则性质性质3 3：常量常量 C 与随机变量与随机变量 X 的乘积的期望等于的乘积的期望等于 C 与与 X 的期望的乘积，即的期望的乘积，即 E(CX)=CEX.证：证：CEXpxCpCxCXEkkkkkk )(性质性质4 4：随机变量的线性函数的数学期望等于这个随机变量期随机变量的线性函数的数学期望等于这个随机变量期 望的同一线性函数，即望的同一线性函数，即 E(kX+b)=kEX+b.证证：E(kX+b)=E(kX)+b=kEX+bCEXdxxxfCdxxCxfCXE )()()(X为为离散型时离散型时:X为为连续型时连续型时:设设 X 的分布为的分布为 pk,则则设设 X 密度函数为密度函数为 f(x),则则性质性质5 5：两个随机变量之和两个随机变量之和(差差)的数学期望等于这两个随机变量数学期望之和的数学期望等于这两个随机变量数学期望之和(差差),即即 E(X Y)=EX EY.证：证：EYEXpypxpypxpyxYXEjjjiiijiijjijijiijijji )2()1()()(EYEXdydxyxyfdydxyxxfdydxyxfyxYXE ),(),(),()()(X,Y)为为离散型时离散型时:设设(X,Y)的联合分布为的联合分布为 pij,边缘分布分别为边缘分布分别为 pi(1)和和 pj(2),则则(X,Y)为为连续型时：连续型时：设设(X,Y)的联合密度函数为的联合密度函数为 f(x,y),边缘密度函数分边缘密度函数分别为别为 f X(x)和和 f Y(y),则则推论推论:设随机变量设随机变量 Xi(i=1,2,n),有有1212()nnE XXXEXEXEX更一般地，有更一般地，有对任意常数对任意常数 Ci(i=1,2,n)及随机变量及随机变量 Xi(i=1,2,n),有有11221122()nnnnE C XC XC XC EXC EXC EX niiniiEXnXnE111)1(特别地，特别地，即即 n 个随机变量的算术平均数仍是一个随机变量，其期望值等于这个随机变量的算术平均数仍是一个随机变量，其期望值等于这 n 个随机个随机变量期望的算术平均数。变量期望的算术平均数。性质性质6 6：两个：两个相互独立相互独立随机变量乘积的数学期望等于它们数学期望的乘积随机变量乘积的数学期望等于它们数学期望的乘积,即即 E(XY)=EX EY证：证：EYEXdyyfydxxfxdxdyyfxfyxdxdyyxfyxXYEYXYX )()()()(),()(EYEXpypxppyxpyxXYEjjjiiiijjijiijijji )2()1()2()1()(X,Y)为为离散型时离散型时:设设(X,Y)的联合分布为的联合分布为 pij,边缘分布分别为边缘分布分别为 pi(1)和和 pj(2),则则(X,Y)为为连续型时：连续型时：设设(X,Y)的联合密度函数为的联合密度函数为 f(x,y),边缘密度函数分边缘密度函数分别为别为 f X(x)和和 f Y(y),则则数学期望性质的应用举例数学期望性质的应用举例例例1 1：设随机变量设随机变量 X 的分布列为的分布列为求：求：E(2X-1).311111(1)02384848EX 解：解：P 1/8 1/4 3/8 1/4X -1 0 2 3解：解：(41)EYEX例例2:2:设设X f(x)=20 21 x其其他他 0,Y=4X+1,求求:EY.117(21)212144EXEX 41EX4()1x f x dx2014152xdx 或或(41)EYEX41EX024152 EX =9=例例3 3：两两相互独立相互独立的随机变量的随机变量 X,Y 的分布如下面两表所示。的分布如下面两表所示。EY2=62 0.4+720.20.50.3P11109X0.60.4P76Y求：求：E(X+Y)、E(XY)和和 EY 2E(XY)=EX EY =E(X+Y)=EX +EY EY =解：解：因因 X 与与 Y 相互独立相互独立，所以，所以 解：利用性质：解：利用性质：求：求：E(X-Y).例例4 4：设设(X,Y)的联合分布为的联合分布为Y X 0.1 0.20.1013210.20.10.30.40.30.3P321Y 0.40.6P10X EX=0 EY=1 0.3+2 0.3+3 E(X-Y)=EX-EY-2.1=-X与与Y的分布为：的分布为：按公式解：按公式解：E(X-Y)=(0-1)+(0-2)+(0-3)+(1-1)+(1-2)+(1-3)=-1.7 例例5 一民航送客车载有一民航送客车载有20位旅客自机场开出，旅客有位旅客自机场开出，旅客有10个车站可以下车。如到达一个车站可以下车。如到达一个车站没有旅客下车就不停车。以个车站没有旅客下车就不停车。以X表示停车次数，设每位旅客在各个车站下车是等表示停车次数，设每位旅客在各个车站下车是等可能的，并设各旅客是否下车相互独立，求可能的，并设各旅客是否下车相互独立，求X的数学期望的数学期望.若设若设则则 X=X1+X2+X1010iiXi在第 车站有人下车，在第 车站没有人下车，i=1,2，10因为任一旅客不在第因为任一旅客不在第i站下车的概率为站下车的概率为9/10 ，所以，所以，20位旅客都不在第位旅客都不在第i站下车的站下车的概率为概率为(9/10)20 ，而在第，而在第i站有人下车的概率为站有人下车的概率为1-(9/10)20，即，即209(0),10iP X209(1)1,1,2,1010iP Xi 于是于是2091,1,2,1010iEXi 所以所以2010191018.78410iiEXEX小结小结：本题是将X分解成数个随机变量之和,然后利用随机变量和的数学期望等于随机变量数学期望的和来求数学期望的,此方法具有一定的意义.这一节，我们介绍了随机变量的数学期望，这一节，我们介绍了随机变量的数学期望，它反映了它反映了随机变量取值的平均水平随机变量取值的平均水平，是随机变量，是随机变量的一个重要的数字特征的一个重要的数字特征.接下来的一节中，我们将学习随机变量另一接下来的一节中，我们将学习随机变量另一个重要的数字特征：个重要的数字特征：方差方差第二节第二节 方差方差 上一节我们介绍了随机变量的数学期望，上一节我们介绍了随机变量的数学期望，它体现了随机变量取值的它体现了随机变量取值的平均水平平均水平，是随机变，是随机变量的一个重要的数字特征量的一个重要的数字特征.但是在一些场合，仅仅知道平均值是不够的但是在一些场合，仅仅知道平均值是不够的.：的射击水平由下表给出甲、乙两人射击，他们：甲击中的环数；X：乙击中的环数；YX 8 9 10 P 0.1 0.8 0.1 Y 8 9 10 P 0.4 0.2 0.4 平较高？试问哪一个人的射击水比较两个人的平均环数91.0108.091.08EX94.0102.094.08EY。，而乙射手则较为分散环分集中在均值甲射手射击大部是有差异的的，但两个人射击技术是一样，甲乙两人的射击水平因此，从平均环数上看9 由此可见由此可见,研究研究随机变量与其均值的偏离程度随机变量与其均值的偏离程度是十是十分必要的分必要的.那么那么,用怎样的量去度量这个偏离程度呢用怎样的量去度量这个偏离程度呢?容容易看到易看到这个数字特征就是我们这一节要介绍的这个数字特征就是我们这一节要介绍的方差方差()E XE X 能度量随机变量与其均值能度量随机变量与其均值E(X)的偏离程度的偏离程度.但由于但由于上式带有绝对值上式带有绝对值,运算不方便运算不方便,通常用量通常用量2()EXE X来度量随机变量来度量随机变量X与其均值与其均值E(X)的偏离程度的偏离程度.方差的定义方差的定义定义：定义：如果随机变量如果随机变量 X 的数学期望的数学期望 EX 存在，称存在，称 X-EX 为为 随机变量随机变量 X 的的离差离差.定义：定义：设设 X 是随机变量，且是随机变量，且 EX 存在，若存在，若 E(X-EX)2存在，存在，则称则称 E(X-EX)2 是是 X 的的方差方差，记作记作 DX 或或 VarX，即，即 离差平方离差平方的数的数学期望学期望DX=VarX=E(X-EX)2()=()XD XXX称为 的或标它与 具有相准差均方差，同的量纲。若若X的取值比较分散，则方差的取值比较分散，则方差DX较大较大.方差刻划了随机变量的取值对于其数学期望的离散程度方差刻划了随机变量的取值对于其数学期望的离散程度.若若X的取值比较集中，则方差的取值比较集中，则方差DX较小；较小；因此，因此，DX是刻画是刻画X取值分散程度的一个量，它是衡量取值分散程度的一个量，它是衡量X取值分散程度的一个尺度。取值分散程度的一个尺度。若若X的取值比较分散，则方差的取值比较分散，则方差DX较大较大.方差刻划了随机变量的取值对于其数学期望的离散程度方差刻划了随机变量的取值对于其数学期望的离散程度.若若X的取值比较集中，则方差的取值比较集中，则方差DX较小；较小；因此，因此，DX是刻画是刻画X取值分散程度的一个量，它是衡量取值分散程度的一个量，它是衡量X取值分散程度的一个尺度。取值分散程度的一个尺度。X为离散型，为离散型，分布率分布率PX=xk=pk 由定义知，方差是随机变量由定义知，方差是随机变量 X 的函数的函数 g(X)=X-E(X)2 的的数学期望数学期望.212,(),kkkxEXpDXxEXf x dx（）（）方差的计算方差的计算X为连续型，为连续型，X概率密度概率密度f(x)计算方差的一个简化公式计算方差的一个简化公式:证：证：DX=E(X-EX)2=EX2-2XEX+(EX)2=EX2-E(2XEX)+E(EX)2=EX2-2EXE(X)+(EX)2=EX2-(EX)2DX=EX 2-(EX)2展开展开利用期望利用期望性质性质解：解：EX=EX2=(-10)2 0.2+(-5)2 0.2+12 0.2+52 0.2+102 DX=EX2-(EX)2=-2=例例1：X 有如下分布律有如下分布律:求：求：DX.0.20.20.20.20.2P1051-5-10X 2x 0 x 0,令随令随机变量机变量DXEXXX 则则,0 EX.1 DXX 的标准化随机变量的标准化随机变量.P99 Ex2方差性质的应用举例方差性质的应用举例例例:设设XB(n,p)，证明：证明：EX=np，DX=npq.且且 Xi 服从参数为服从参数为 p 的的 0-1 分布，分布，作作 n 重贝努里实验重贝努里实验,每次试验中事件每次试验中事件 A 发生的概率为发生的概率为 p,随机变量随机变量 X 表示表示“n重贝重贝努里试验中事件努里试验中事件 A 发生的次数发生的次数”,则则 XB(n,p).假设第假设第 i 次试验时事件次试验时事件 A 发生的次数为发生的次数为 X i,因此有因此有 EXi=p,DXi=pq,X1,X2,X n 独立独立 niniiniinppEXXEEX111)(niniiniinpqpqDXXDDX111)(则则 X=X 1+X 2+X n,例例:设设XN(,2)，求：求：DX.解解 令随机变量令随机变量XY，又又EY=0,(0,1),YNXY则222212xEYxedx2212xx de 22221122xxxeedx 121222()1DYEYEY所以，所以，22()DXDYDY EX2DX例如例如,),4,2(),3,1(相互独立相互独立和和且且若若YXNYNX），（故有也服从正态分布，而则484,48)(,4)(32NZZDZEYXZ且它们相互独立，则且它们相互独立，则若若,2,1),(2niNXiii .)0,(:212211仍然服从正态分布仍然服从正态分布的常数的常数是不全为是不全为它们的线性组合它们的线性组合nnnCCCXCXCXC ),(12212211 niiiniiinnCCNXCXCXC 且且常见随机变量的分布及其期望值常见随机变量的分布及其期望值和和方差方差分布名称分布名称概率函数或密度函数概率函数或密度函数期望期望方差方差0 1 分分布布二项分布二项分布几何分布几何分布普哇松分布普哇松分布),1 ,0()(nkqpCkXPknkkn P(X=k)=(1-p)k-1p (k=1,2,),1 ,0(!)(kekkXPk P(X=k)=pkq1-k(k=0,1)ppqnpnpqp121pp 常见随机变量的分布及其期望值常见随机变量的分布及其期望值和和方差方差分布名称分布名称概率函数或密度函数概率函数或密度函数期望期望方差方差均匀分布均匀分布指数分布指数分布正态分布正态分布222)(21)(xex2ba 12)(2ab 121 2 其他其他 0 1)(bxaabxf 000)(xxexfx例例1:假定每个人的生日在各个月份的机会是相同的，求假定每个人的生日在各个月份的机会是相同的，求 3 个人的生日在第一季个人的生日在第一季度的平均人数度的平均人数.解：解：每个人的生日在第一季度的概率每个人的生日在第一季度的概率41 p用用 X 表示三个人中表示三个人中生日在第一季度的人数，生日在第一季度的人数，则则 X B(3,),4175.0413 EX例例2:设设 X 的概率函数为的概率函数为 ，求求 EX 及及 DX.,2,1,21)(kkXPk,2,1,21)211(21)(1 kkXPkk解：解：即即 X 服从参数为服从参数为 的几何分布，的几何分布，21 p21,212 ppDXpEX例例3:设设 X 的密度函数为的密度函数为 求求 E(2X+1)及及 D(2X+1).00021)(21xxexfx解：解：X 服从参数为服从参数为 的指数分布，的指数分布，21 41212 DXEX,E(2X+1)=2EX+1=5D(2X+1)=4DX=16例例4:设设 X 的密度函数为的密度函数为 ，求求 EX 及及 DX.)(1)(122 xexfxx 1221)(xxexf 解：解：2212)(2)1(2121 xe 则则 X N(1,1/2),EX=1,DX=.第三节 协方差及相关系数 前面我们介绍了随机变量的数学期望和方差，前面我们介绍了随机变量的数学期望和方差，对于二维随机变量（对于二维随机变量（X，Y），我们除了讨论），我们除了讨论X与与Y的数学期望和方差以外，还要讨论描述的数学期望和方差以外，还要讨论描述X和和Y之间之间关系的数字特征，这就是本讲要讨论的关系的数字特征，这就是本讲要讨论的协方差和相关系数协方差和相关系数3.1 3.1 协方差协方差定义定义3.1 设二维随机变量设二维随机变量(X,Y),若若 E(X-EX)(Y-EY)存在存在,称它称它为为X 与与 Y 的的协方差协方差.记作记作 Cov(X,Y),即即显然：显然：Cov(X,X)=DXCov(X,Y)=E(X-EX)(Y-EY)协方差的定义协方差的定义D(X Y)=DX+DY 2E(X-EX)(Y-EY)说明说明证明：证明：Cov(X,Y)=E(X-EX)(Y-EY)=E(XY XEY YEX+EXEY)=E(XY)E(XEY)E(YEX)+E(EXEY)=EXY-EXEY1o 若若 X 与与Y 独立，则独立，则 Cov(X,Y)=02o 对对 X与与 Y 有有:D(X Y)=DX+DY 2Cov(X,Y)协方差的计算公式协方差的计算公式Cov(X,Y)=EXY-EXEY性质性质4：Cov(X1+X2,Y)=Cov(X1,Y)+Cov(X2,Y)协方差的性质协方差的性质性质性质2：Cov(X,Y)=Cov(Y,X)性质性质3：Cov(aX,bY)=abCov(X,Y)设设 a,b,c 都是常数，都是常数，Cov(X,Y)=E(X-EX)(Y-EY)性质性质5：D(X Y)=DX+DY 2Cov(X,Y)性质性质1：Cov(X,X)=DX D(aX bY)=a2DX+b2DY 2abCov(X,Y)性质性质6：若若X 与与 Y 独立，独立，则则Cov(X,Y)=0.例例1：设二维随机变量：设二维随机变量(X,Y)的联合分布如右的联合分布如右表所示表所示,求求 Cov(X,Y).XY-1 0 1-1 1/8 1/8 1/8 0 1/8 0 1/8 1 1/8 1/8 1/8X -1 0 1P 3/8 2/8 3/8Y -1 0 1P 3/8 2/8 3/8解解:X,Y 的边缘分布：的边缘分布：EX=(-1)3/8+0 2/8+1 3/8=0,Cov(X,Y)=E(XY)-EXEY=0 iijjjipyxXYE)(但但 P(X=0,Y=0)P(X=0)P(Y=0),X与与Y不独立不独立.X 与与Y 独立独立Cov(X,Y)=0EY=0=0？解：解：由定理，得由定理，得222000711(,)()(1)846EXxf x y dxdyxdxxy dyx xdx例例2：设二维连续型随机变量：设二维连续型随机变量(X,Y)的联合密度为：的联合密度为：求：求：Cov(X,Y).76EY 同理 22001()(,)()8E XYxyf x y dxdyxyxy dxdy ,1()02 02(,)80 xyxyf x y其它22001()8xdxy xy dy2201143xx dx437741(,)()36636Cov X YE XYEX EY定义定义3.11：对于二维随机变量：对于二维随机变量(X,Y),Cov(X,Y)存在存在,且且DX 0,DY 0,则称则称 为为 X 与与 Y 的的相关系数相关系数,记作记作 X,Y 或简记作或简记作 .即：即：DYDXYXCov),(DYDXYXCov),(DYDXDYDXYXDDYDXYXCov 2)(),(则则3.2 3.2 相关系数相关系数Cov(aX,aY)=a2Cov(X,Y)相关系数的定义相关系数的定义例例1：已知：已知 DX=25,DY=36,=0.4,求求 D(X+Y),D(X-Y),D(2X+3Y).解解:1236254.0 ),(DYDXYXCov D(X+Y)=DX+DY+2Cov(X,Y)=25+36+212=85D(X-Y)=DX+DY-2Cov(X,Y)=25+36-212=37D(2X+3Y)=4DX+9DY+12Cov(X,Y)=100+324+1212=56858.036.021.016.0),(DYDXYXCov 21.07.17.043.01)(222 EXEXDX例例2：设二维随机变量：设二维随机变量(X,Y)的联合分布的联合分布如右表所示如右表所示,求求 X,Y 解：可求出解：可求出X,Y的边缘分布：的边缘分布：X 1 2P 0.3 0.7Y -1 0 1P 0.3 0.6 0.1 EX=1 0.3+2 0.7=1.7,EY=-5.03.0)1(21.011)(ijijjipyxYXECov(X,Y)=E(XY)-EX EY=-1.7(-0.2)=-36.0)2.0(1.013.01)(222 EYEYDYX Y-1 0 1 1 0 0.2 0.1 2 0.3 0.4 0相关系数的性质相关系数的性质性质性质 1：设随即变量设随即变量 X 与与 Y 的相关系数为的相关系数为 ,则则|1.性质性质 2：设设 是是 X 与与 Y 的相关系数，则的相关系数，则|=1 的充要条件的充要条件是是 X 与与 Y 以概率以概率 1 存在存在线性关系线性关系.即存在常数即存在常数 a,b,使得使得 P(Y=aX+b)=1|=1 =1 完全正相关完全正相关称称 X 与与 Y 完全线性相关完全线性相关 =-1 完全负相关完全负相关|1X 与与 Y 之间线性相关的程度将随着之间线性相关的程度将随着|的的减少而减弱。减少而减弱。|=0称称 X 与与 Y 不相关不相关或或零相关零相关.由由此此可可见见相关系数相关系数 是刻划随机变量是刻划随机变量之间线性关系强弱的特征数之间线性关系强弱的特征数即即 X 与与 Y 不线性相关不线性相关.注注1:=0 表明表明 X 与与 Y 无线性关系无线性关系,而不是而不是 X 与与 Y无任何关系无任何关系(独立独立).分析：分析：独立独立无无任何任何关系关系无线性关系无线性关系无非线性关系无非线性关系 =0注注2：对随即变量对随即变量 X 与与 Y，下列结论是下列结论是不相关不相关的等价命题：的等价命题：X 与与 Y 不相关不相关(=0)D(XY)=DX+DYEXY=EXEYCov(X,Y)=0注注3:X 与与 Y 独立独立，则，则 X 与与 Y 不相关（不相关（=0）.但反之不一定成立但反之不一定成立.特别地特别地：若若(X,Y)N(1,2,12,22,)时时,X 与与 Y 独立独立 X 与与 Y 不相关（不相关（=0）例例:设随机变量设随机变量 0,2 上的均匀分布上的均匀分布,又有又有 X=sin ,Y=cos ,求：求：XY.解：解：的密度函数为的密度函数为:,0sin2120 xdxEX0)(),(EXEYXYEYXCov X Y=00cos2120 xdxEY,21sin212022 xdxEX21cos212022 xdxEY0cossin2120 xdxxEXY结论：结论：X Y=0,即即 X 与与 Y 不相关，但明显有不相关，但明显有 X2+Y 2=1，这说明了这说明了 X 与与 Y 存在非线性关系，这时存在非线性关系，这时 X 与与 Y 不独立不独立.其他其他 020 21)(xxf小结小结 这一节我们介绍了协方差、相关系数、这一节我们介绍了协方差、相关系数、相关系数是刻划两个变量间相关系数是刻划两个变量间线性相关程度线性相关程度的一个重的一个重要的数字特征要的数字特征.注意独立与不相关并不是等价的注意独立与不相关并不是等价的.当当(X,Y)服从二维正态分布时，有服从二维正态分布时，有X 与与 Y 独立独立X 与与 Y 不相关不相关第四节 矩、协方差矩阵原点矩原点矩 中心矩中心矩协方差矩阵协方差矩阵(1)原点矩原点矩定义：定义：随机变量随机变量 X 的的 k 次幂的数学期望叫做随机变量次幂的数学期望叫做随机变量 X 的的 k 阶阶原点矩原点矩，记作，记作 k，即：，即：k=EX k (k=1,2,)1 阶阶原点矩原点矩就是就是数学期望数学期望 EX.设设X是是离散型离散型随机变量随机变量,概率函数为概率函数为P(X=x i)=pi,(i=1,2,),则则 iikikkpxEX 设设X是是连续型连续型随机变量随机变量，密度函数为，密度函数为 f(x)，则，则 dxxfxEXkkk)(注意注意EX 14.1 4.1 矩矩定义定义：随机变量随机变量 X 的离差的离差 X-EX 的的 k 次幂的数学期望叫做随机变量次幂的数学期望叫做随机变量 X 的的 k 阶阶中心矩中心矩，记作记作 k，即：即：(2)(2)中心矩中心矩 k=E(X-EX)k (k=1,2,)iikikkpEXxEXXE)()(dxxfEXxEXXEkkk)()()(0)(1 EXXE DXEXXE 22)(显然：显然：设设X是是离散型离散型随机变量随机变量,概率函数为概率函数为P(X=x i)=pi,(i=1,2,),则则设设X是是连续型连续型随机变量随机变量，密度函数为，密度函数为 f(x)，则，则(3)(3)混合矩混合矩协方差协方差Cov(X,Y)是是X和和Y的的二阶混合中心矩二阶混合中心矩.称它为称它为 X 和和 Y 的的 k+L 阶混合（原点）矩阶混合（原点）矩.若若)()(LkYEYXEXE存在，存在，称它为称它为X 和和 Y 的的 k+L 阶混合中心矩阶混合中心矩.)(LkYXE设设 X 和和 Y 是随机变量，若是随机变量，若 k,L=1,2,存在，存在，可见，可见，4.2 4.2 协方差矩阵协方差矩阵将二维随机变量（将二维随机变量（X1,X2）的四个二阶中心矩）的四个二阶中心矩21111 cEXEX121122cEXEXXEX排成矩阵的形式排成矩阵的形式:212211cEXEXXEX22222 cEXEX称此矩阵为称此矩阵为（X1,X2）的协方差矩阵）的协方差矩阵.11122122cccc这是一个这是一个对称矩阵对称矩阵 类似定义类似定义n 维随机变量维随机变量(X1,X2,Xn)的协方差矩阵的协方差矩阵.为为(X1,X2,Xn)的的协方差矩阵协方差矩阵都存在都存在,(i,j=1,2,n),(jijiXXCovc若若)()(jjiiXEXXEXEnnnnnncccccccccC212222111211矩阵矩阵称称基本要求基本要求:1 1 理解数学期望、方差的概念及背景，并掌握它们的性质与理解数学期望、方差的概念及背景，并掌握它们的性质与 计算，会求随机变量函数的数学期望和方差计算，会求随机变量函数的数学期望和方差.2 2 要熟记两点分布、二项分布、几何分布、要熟记两点分布、二项分布、几何分布、普哇松普哇松分布、均分布、均 匀分布、指数分布和正态分布的数学期望与方差匀分布、指数分布和正态分布的数学期望与方差.3 3 理解协方差、相关系数的概念，掌握它们的性质与计算理解协方差、相关系数的概念，掌握它们的性质与计算.4 4 了解矩的概念，掌握它们的计算。了解矩的概念，掌握它们的计算。5 5 要掌握二维正态随机变量的不相关与独立的等价性要掌握二维正态随机变量的不相关与独立的等价性.重点：重点：数学期望、方差、协方差、相关系数的性质与计算数学期望、方差、协方差、相关系数的性质与计算.常用分布的数学期望与方差。常用分布的数学期望与方差。基本要求与重点基本要求与重点、难点难点