高等数学上第四讲ppt课件

高等数学上高等数学上 第四讲第四讲第一章第一章第二节第二节数列的极限数列的极限1教学内容教学内容数列、数列极限的概念数列、数列极限的概念数列极限的几何解释数列极限的几何解释数列极限的有界性定理数列极限的有界性定理备注备注教学要求教学要求理解理解数列、数列极限数列、数列极限的概念，的概念，理解理解数列极限的数列极限的“”定义。定义。掌握利用数列极限的掌握利用数列极限的“”定义。证明简单数定义。证明简单数列列的极限的极限教学重点教学重点数列极限的数列极限的“”定义。定义。利用数列极限的定义。证明简单数列的极限利用数列极限的定义。证明简单数列的极限教学难点教学难点数列极限的数列极限的“”定义。定义。第二节第二节 数列的极限数列的极限N,N,N,N,有很多实践问题的准确值，仅仅经过有限次的有很多实践问题的准确值，仅仅经过有限次的而必需经过分析一个而必需经过分析一个由此产生了由此产生了例如例如一、极限思想一、极限思想算术运算是求不出来的，算术运算是求不出来的，无限变化过程的变化趋势才干求得，无限变化过程的变化趋势才干求得，极限概念和极限方法。极限概念和极限方法。(1)我国晋朝时代数学家刘徽我国晋朝时代数学家刘徽割圆术割圆术,21nAAA依次求出圆内接依次求出圆内接 正六边形，正十二边形，正二十四边形正六边形，正十二边形，正二十四边形就接近于对应圆的面积就接近于对应圆的面积.126 n正正边形的面积：边形的面积：正多边形的面积正多边形的面积An利用圆内接正多边形的面积利用圆内接正多边形的面积推算圆的面积推算圆的面积当正多边形的边数越来越大当正多边形的边数越来越大(2)二、数列的概念二、数列的概念称为一般项（通项）称为一般项（通项）nx ),(nfxn,321nxxxx按照一定的顺序排成的按照一定的顺序排成的一列数一列数中学的定义中学的定义叫做一个数列，叫做一个数列，,1,34,23,2nn,)1(,31,21,1nn,21)1(,1,0,1,0n,9,4,12n,11 nxnnxnn)1(21)1(nnx2 nxn数列可表示为数列可表示为xn 数列数列xn=f(n)是一个以正整数集是一个以正整数集Z+为定义域的函为定义域的函数数,也可表示为也可表示为(3)1x 察看数列察看数列1.nxn11从直观上看从直观上看,这个数列当这个数列当n越来越大时越来越大时,对对应的项应的项xn会越来越接近于会越来越接近于1。2x123x234x345x4xn如何用准确的如何用准确的,量化的数学言语来刻划这一现实量化的数学言语来刻划这一现实?三、数列的极限三、数列的极限常数常数1就是数列就是数列xn当当n趋向于无穷大时的极限趋向于无穷大时的极限？(4)就是说就是说:无论他给一个多么小的正数无论他给一个多么小的正数 ,当当n充分大时充分大时,要阐明要阐明“当当n越来越大时越来越大时,xn越来越接近于越来越接近于1 只须阐明只须阐明“当当n越来越大时越来越大时,|xn1|会越来越接近于会越来越接近于0.而要阐明而要阐明“|xn1|越来越接近于越来越接近于0那么只须阐明那么只须阐明“当当n充分大时充分大时,|xn1|可以小于恣意可以小于恣意给定给定由于由于是恣意的是恣意的,从而就阐明了从而就阐明了|xn1|会越来越接近于会越来越接近于0.的的,无论多么小的正数无论多么小的正数|xn1|比比 还小还小,(5)现实上现实上,nnxn1|111|1|,给给10001,很小很小,100011|1|nxn,只须只须n1000 即可即可,数列中数列中,从第从第1001项开场项开场,以后各项都有以后各项都有10001|1|nx要要也即在这个也即在这个又给又给100001,那么从第那么从第10001项开场项开场,以后各项都有以后各项都有100001|1|nx(6)nxn11普通普通,任给任给 0,不论多么小不论多么小,nxn1|1|只须只须1n.因此因此,从第从第11项开场项开场,以后各项都有以后各项都有|1|nx.因因是恣意的是恣意的,这就阐明了当这就阐明了当n越来越大时越来越大时,xn会越来越接近于会越来越接近于1.要使要使存在一个整正数存在一个整正数N(7)定义定义:设设xnxn是一个数列是一个数列,a,a是一个确定是一个确定的常数的常数,)(,limnaxaxnnn或或假设假设 0,0,那么称那么称a是数列是数列xn当当n无限增大时的极限无限增大时的极限,记作记作这时这时,也称也称xn的极限存在的极限存在,否那么否那么,称称xn的极限不存在的极限不存在,或称或称xn是发散的是发散的.)(,lim(naxaxnnn或或 正整数正整数N,使得当使得当nNnN时时,都有都有|xn|xn a|a|N时时,有有|xna|的意思的意思是说是说,从第从第N+1项开场项开场,以后各项都有以后各项都有|xna|,至于至于以前的项能否满足此式不用思索以前的项能否满足此式不用思索.(9)四、几何解释四、几何解释:x2x1a-xN+5axN+1a+x3x)(xN由于由于|xna|xn以以a为极限为极限,就是对任何以就是对任何以a为中心为中心,以恣意小的以恣意小的总能找到一个总能找到一个N,而只需有限项落在而只需有限项落在U(a,)外部外部.a xn0,由由|xn a|N()取取N=N()关键在于找出关键在于找出N(11)假设假设 0,正整数正整数N,使得当使得当nN 时时,都有都有|xna|N时时,xn与其极限之差的绝对值小于正数与其极限之差的绝对值小于正数,当当 0.001时时,求出数求出数N.解解 0limnnx.nnxn|2cos|0|要使要使|x n 0|N,有有|xn0|0n1例例2.1)1(lim1 nnnn证证明明证证1nx因因1)1(1 nnnn1,0 任给任给,1 nx要要使使,1 n只要只要,1 n即即,1 N取取,时时则则当当Nn 1)1(1nnn有有.1)1(lim1nnnn所所以以假设假设 0,正整数正整数N,使得当使得当nN 时时,都有都有|xna|0,41N当当nN时时,有有|231213|nn所以所以 231213limnnn 证明证明 取取|231213|nn习题习题1192、例例3、根据数列极限的定义证明根据数列极限的定义证明:2、nanannannannan22222222)(|1|2an2aN|1|22nan1lim22nann3、0,na2|1|22nan要使要使 只须只须 即即 当当nN时时,有有 证明证明 取取1lim22nann所以所以 终了终了例例2.2.证明证明0cos1lim nnn证证:00.1|0cos1|0|nnnxn 因因|0|nx要使要使,1 n只只须须那么当那么当nN时时,有有.|0cos1|0|nnxn.1 n即即.0cos1lim nnn故故|cos1|0cos1|nnnn,1 N取取(3)假设假设 0,正整数正整数N,使得当使得当nN 时时,都有都有|xna|,axnnlim那那么么例例4.4.设设q q是满足是满足|q|1|q|0.设设 0|q|1.如今如今,xn=qn,a=0.因因|xn a|=|qn 0|=|qn|=|q|n,要使要使|xn a|,(5)只须只须|q|n .即即 n ln|q|N 时时,有有,|lnln|lnlnqqn从而有从而有.0limnnq故故|qn 0|q|n (6)