函数单调性与凹凸性

函数的单调性及其判别方法函数的单调性及其判别方法 函数单调性的应用函数单调性的应用 函数的凹凸性与拐点函数的凹凸性与拐点 渐近线渐近线第四节第四节 函数的单调性与凹凸性函数的单调性与凹凸性 在第一章在第一章,函数在区间上单调增加函数在区间上单调增加(或减少或减少)的几何解释的几何解释:在在某个区间上对应曲线是上升或下降的某个区间上对应曲线是上升或下降的.如如 单调性是函数的重要性态之一单调性是函数的重要性态之一.它既决定着函数递增和递它既决定着函数递增和递减的状况减的状况,又有助于我们研究函数的极值又有助于我们研究函数的极值、证明某些不等式证明某些不等式、分析描绘函数的图形等分析描绘函数的图形等.一、一、函数单调性及其判别法函数单调性及其判别法2x1()f x2()f xy=(x)oxxyyo1x1x2x1()f x2()f xy=(x)用定义来判断函数的单调性常用的有比较法、比值法等用定义来判断函数的单调性常用的有比较法、比值法等.但繁但繁!下面讨论如何用导数来判断函数的单调性下面讨论如何用导数来判断函数的单调性.xyo)(xfy xyo)(xfy abAB0)(xf0)(xfabBA()0fx 若若 y=f(x)在区间在区间(a,b)上单调递增上单调递增若若y=f(x)在区间在区间(a,b)上单调递减上单调递减()0fx 各点处切线的斜率为正各点处切线的斜率为正各点处切线的斜率为负各点处切线的斜率为负 定理定理1 (函数单调性的判定方法函数单调性的判定方法)设设 y=(x)在区间在区间a,b上上连续连续,在区间在区间(a,b)内可导内可导,则对则对(,),xa b (1)()0fx 若若,(2)()0fx 若若，即函数导数在区间保号从而此函数在该区间内一定单调即函数导数在区间保号从而此函数在该区间内一定单调.1212,(,),x xa b xx 12(),f xxx由由已已知知在在上上连连续续,证证则则 (x)在区间在区间a,b内单调递增加内单调递增加;则则 (x)在区间在区间a,b内单调递减少内单调递减少.根据拉根据拉格朗日中值定理格朗日中值定理,有有211221()()()(,)f xf xfx xxx 其其中中12(,),xx在在内内可可导导()0 ()0f xf ，有有,21 ()()f xf x 则则()0,()0,f xf 有有21 ()()f xf x 则则12,()(,)xxf xa b故故由由的的任任意意性性 在在 内单调递增内单调递增;2121()()0f xf xxx 2121()()0f xf xxx 12,()(,)xxf xa b故故由由的的任任意意性性，在在内单调递减内单调递减.注注1 研究函数的单调性研究函数的单调性,就是判断它在哪些区间内递增就是判断它在哪些区间内递增,哪些哪些区间内递减区间内递减.由定理由定理 1 对可导函数的单调性对可导函数的单调性,可根据导数的正可根据导数的正负情况予以确定负情况予以确定.注注2 定理定理 1 的结论对其他各种区间的结论对其他各种区间(包括无穷区间包括无穷区间)也成立也成立.解解例例1.1的单调性的单调性讨论函数讨论函数 xeyx.1 xey,)0,(内内在在,0 y函数单调减少；函数单调减少；,),0(内内在在,0 y.函数单调增加函数单调增加).,(:D又又注注 函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这一函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号来判别区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性一个区间上的单调性注注 如果函数如果函数()0()0)fxfx 或或且等号仅在个别点处且等号仅在个别点处成立成立,则定理则定理1仍成立仍成立.如如oxy3yx 32()()30(0)0)yf xxfxxf 注注 反过来反过来,若若(x)在在(a,b)内可导且单调内可导且单调增加增加(或减少或减少),则则(x)在在(a,b)内必有内必有()0 ()0)fxfx 或或单调增加单调增加.3 (,)yx 但但在在若若0()0fx ，则称点则称点 x0 为函数为函数 f(x)的的驻点驻点.利用定理利用定理1可以讨论函数的单调区间可以讨论函数的单调区间.问题问题 一般地一般地,函数函数在定义区间上不是单调的，如何判在定义区间上不是单调的，如何判断函数在各个部分区间上的单调性断函数在各个部分区间上的单调性?若函数在其定义域的某个区间内是单调的，则该区间称若函数在其定义域的某个区间内是单调的，则该区间称为函数的为函数的单调区间单调区间.导数等于零的点和不可导点导数等于零的点和不可导点是单调区间的是单调区间的分界点分界点方法方法()0()(),.fxfxf x 用用方方程程的的根根及及不不存存在在的的点点来来划划分分函函数数的的定定义义区区间间 然然后后判判断断各各区区间间内内导导数数的的符符号号()fx 注注 不存在的点就是使导数不存在的点就是使导数 没意义的点没意义的点.()fx(1)确定函数定义域确定函数定义域;(2)确定函数的驻点确定函数的驻点 的点的点,以这些点为分界以这些点为分界点划分定义域为多个子区间点划分定义域为多个子区间;()fx 及及不不存存在在 (3)确定确定 在各子区间内的符号在各子区间内的符号,从而定出从而定出(x)在各子在各子区间的单调性区间的单调性.()f x(,)解解 函数函数 f(x)定义域为定义域为2()618126(1)(2)f xxxxx 12()0 1,2f xxx 由由解解得得 例例2 求函数求函数32()29123f xxxx 的单调区间的单调区间.确定函数确定函数 y=(x)的单调性的的单调性的一般一般步骤步骤是是:x(,1)(2,)()fx 列表讨论如下列表讨论如下:故故 是是(x)的递增区间的递增区间.1,2 是递减区间是递减区间.(端点可包括也可不包括端点可包括也可不包括)(,1,2,)(,1,1,2,2,)将将 分成分成()-,+()f x1(1,2)2 讨论函数讨论函数 的单调性的单调性.23()(1)f xxx解解 函数定义域为函数定义域为(,)21333252()(1)33xfxxxxx x(,0)2(,)5()fx 故在故在 内内(x)是递增的是递增的,在在 内递减内递减.2(,0),(,)5 2(0,)5列表讨论如下列表讨论如下:22(,)(,0,0,)55 这这两两个个点点将将分分为为三三个个子子区区间间）（）（2(0,)5252 0().xf x 而而是是的的12()0 5fxx 由由有有不可导点不可导点.()f x 0 例例3 设在设在()(,),()0,(0)0,.f xfxfx 内内 试试讨讨论论函函数数的的单单调调性性解解 函数的定义域为函数的定义域为(,0)(0,)2()()()()f xxfxf xxx 为确定右端的符号为确定右端的符号.设设 ,则则()()()F xxfxf x ()()Fxxfx 由于由于 内内,故故(,)()0fx 0,0()()0,0 xFxxfxx 又因又因 ,可知在可知在 内都有内都有 ,从而从而(0)0F(,0)(0,)()0F x ()()0f xx()(,0)(0,).f xx 于于是是函函数数在在内内单单调调增增加加证明不等式和判断方程根的个数证明不等式和判断方程根的个数.关键是根据所证不等式及所给区间关键是根据所证不等式及所给区间构造辅助函数构造辅助函数,并讨论并讨论它在指定区间内的单调性它在指定区间内的单调性.例例4 证明不等式证明不等式1 (0);xexx ()1xf xex 令令 (0)0,()10(0)xffxex 因因为为 而而1.证明不等式证明不等式证证1.xex 故故 ()(0)(0)f xfx 即即 ()f x则则单增单增.二、二、函数单调性的应用函数单调性的应用1 ()ln(1)1xfxxx 令令112 (0)0,()0(0)(1)xff xxx 因因为为而而11()(0)(0)f xfx 即即 ln(1)1xxx 故故2()ln(1)fxxx令令22 (0)0,()0(0)1xff xxx 因因为为而而()f x则则单增单增.22()(0)(0)fxfx 即即ln(1)xx 故故 ()f x则则单减单减.ln(1)(0).1xxxxx 证证3 ()tan3xf xxx 令令32sin ()2cosxfxxx 3tan(0,).32xkxxxxkN 证证221 ()1cosfxxx 则则2246 cos(2cos4)()0cosxxfxx ()fx (0)0f ()0fx ()fx (0)0f ()0fx ()f x (0)0f ()0f x 3 tan(0,).32xkxxxxkN 证证 (1)设设3()1f xxx 若若 y=(x)变号变号,则方程则方程 (x)=0 一定有根一定有根,若函数单调若函数单调,则曲线与则曲线与 x 轴的只有一个交点轴的只有一个交点,就是方程的根唯一就是方程的根唯一.2.讨论方程根的个数问题讨论方程根的个数问题()0f x 则则方方程程有有且仅有一个正根且仅有一个正根.(0)1,(1)1ff 且且 2()310,()fxxf x 因因为为单调增加单调增加.例例5 (1)证明方程证明方程ln1 (0,)xxe 在在内有两个实根内有两个实根.310 xx 有且仅有一个正根有且仅有一个正根.(2)证明方程证明方程3()0,f e 又又 ()0,xefx 且且,()0 xefx而而,3()0,f e()0,f e 11()0,fxxe 所所以以 ()ln1 xf xxe (2)设设3()0(0,)(,)f xee e 在在与与内内有有根根,由连续函数的零点定理知由连续函数的零点定理知，()0(0,)f x 故故方方程程在在内有两个实根内有两个实根.xe 则则三、三、函数的凹凸性与拐点函数的凹凸性与拐点 函数函数(x)的单调性与极值是函数的重要性态的单调性与极值是函数的重要性态.在研究了函在研究了函数的单调性后数的单调性后,若不知道曲线的弯曲方向若不知道曲线的弯曲方向,仍不能准确描绘仍不能准确描绘曲线变化的特点曲线变化的特点.一般地一般地,函数单调增加或单调减少都有两函数单调增加或单调减少都有两种方式种方式,所以只讨论函数的单调性是不够的所以只讨论函数的单调性是不够的,还必须讨论它还必须讨论它的的凹凸性凹凸性.xyoxyoBAC如图中如图中曲线弧曲线弧AB是单增的曲线是单增的曲线.但从但从A 到到 C 的曲线是向上凸的的曲线是向上凸的;从从 C 到到 B 的的曲线是向下凸的曲线是向下凸的.C 恰好是上凸和下凸恰好是上凸和下凸的分界点的分界点,我们称为我们称为拐点拐点.显然显然,曲线的弯曲方向和弯曲方向曲线的弯曲方向和弯曲方向(上凸和下凸上凸和下凸)的分界点的分界点对我们研究函数的性态是十分重要的对我们研究函数的性态是十分重要的.这就是下面讨论的凸这就是下面讨论的凸性与拐点性与拐点.1.曲线的凸性曲线的凸性问题问题:如何研究曲线的弯曲方向如何研究曲线的弯曲方向?xyo1x2x)(xfy 图形上任意弧段位图形上任意弧段位于所张弦的上方于所张弦的上方xyo)(xfy 1x2x图形上任意弧段位图形上任意弧段位于所张弦的下方于所张弦的下方12121212 11()()()()()()2222 xxxxff xf xff xf x 或或 定义定义 若曲线若曲线y=(x)在区间在区间 I 内连续内连续,112,xxI 均均有有则称曲线在该区间内是则称曲线在该区间内是向上凹向上凹(或凸或凸)的的.oxyABy =(x)121()()2f xf x 1x2x122xx oxyAB1x2xy=(x)121()()2f xf x 122xx 将曲线具有的向上凹或向上凸的性质称为将曲线具有的向上凹或向上凸的性质称为曲线的凹凸性曲线的凹凸性.定义定义2 设函数设函数 y=(x)在区间在区间 I 内可导内可导.若该函数曲线在若该函数曲线在 I 内总是位于其上任意一内总是位于其上任意一点的切线上方点的切线上方 (即曲线向下弯曲即曲线向下弯曲),则称该则称该曲线在曲线在 I 内是内是向上凹的向上凹的;区间区间 I 为该曲线的为该曲线的向向上凹区间上凹区间.用符号用符号表示表示.称函数称函数 y=(x)为为在在区间区间 I 内的内的凸函数凸函数.oxyy=(x)向上凹（或向上凹（或 凸）的另一种定义：凸）的另一种定义：若该函数曲线在若该函数曲线在 I 内总是位于其任意内总是位于其任意一点的切线下方一点的切线下方(即曲线向上弯曲即曲线向上弯曲),则称则称该曲线在该曲线在I 内是内是向上凸的向上凸的;区间区间 I 为该曲为该曲线的线的向上凸区间向上凸区间.用符号用符号表示表示.称函数称函数 y=(x)为为在区间在区间 I 内的内的凹函数凹函数.oxyy=(x)2.曲线凸性的判定曲线凸性的判定AB 显然显然,用定义来判别曲线的凸性是极用定义来判别曲线的凸性是极不方便的不方便的.由由定义定义2知向上凸曲线从点知向上凸曲线从点A移到点移到点B 时时,对应的切线斜率对应的切线斜率 单调单调减少的减少的.()fx 注注 向上凹向上凹凹凹向上凸向上凸凸凸AB向上凹曲线从点向上凹曲线从点A移到点移到点B时时,对应的对应的()fx 切线斜率切线斜率 单调增加的单调增加的.()fx 从而从而,当当存在时存在时,则可用二阶导数的符号来判别则可用二阶导数的符号来判别曲线的凹凸性曲线的凹凸性.xyo)(xfy xyo)(xfy abABabBA()fx 切切线线的的斜斜率率递递增增0y 0y ()fx 切切线线的的斜斜率率递递减减于是利用二阶导数可以判定函数的凹凸性于是利用二阶导数可以判定函数的凹凸性.(1)(,),()0,xa bfx 均均有有(2)(,),()0,xa bfx 均均有有定理定理1 设函数设函数 y=(x)在在 I 内有二阶导数内有二阶导数,则则()(,)yf xa b 在在上上是是向向上上凹凹的的；()(,)yf xa b 在在上上是是向向上上凸凸的的.例例1.3的的凹凹凸凸性性判判断断曲曲线线xy 解解,32xy ,6xy 时，时，当当0 x,0 y(,0 曲曲线线在在为为向向上上凸凸的的；时，时，当当0 x,0 y0,)曲曲线线在在为为向向上上凹凹的的；(0,0).点点是是曲曲线线由由向向上上凸凸变变向向上上凹凹的的分分界界点点注注()arctan.f xx 讨讨论论函函数数的的凸凸性性区区间间0,()0;xfx 当当时时222(),(1)xfxx 由由于于因而因而(,0从从而而在在上上,f(x)为向上凹的函数为向上凹的函数;0 ()0.xfx 当当时时,0,)从从而而在在上上,f(x)为向上凸的函数为向上凸的函数.解解光滑曲线光滑曲线是指曲线上每一点都有切线且切线随切点的移是指曲线上每一点都有切线且切线随切点的移动连续移动动连续移动,即若即若 在在a,b上上连续连续,则曲线则曲线 在在a,b上就是光滑曲线上就是光滑曲线.()fx()yf x oxyy=(x)aABbcC定义定义3 设函数设函数 y=(x)在区间在区间(a,b)内内连续连续,则曲线则曲线 y=(x)在该区间内向上在该区间内向上凹部分与向上凸凹部分与向上凸 部分的分界点部分的分界点C(c,(c)称为称为曲线的拐点曲线的拐点.C(c,(c)就是曲线的拐点就是曲线的拐点.如右图如右图,从从 A到到 C与从与从C到到B的分界点的分界点3.曲线拐点的定义曲线拐点的定义 注注 拐点是曲线上的点拐点是曲线上的点,从而拐点的坐标需用横坐标与纵从而拐点的坐标需用横坐标与纵坐标同时表示坐标同时表示,不能仅用横坐标表示不能仅用横坐标表示.这与驻点及极值点的表这与驻点及极值点的表示方法不一样示方法不一样.例例2 判断曲线判断曲线 的凸性的凸性,并求其拐点并求其拐点.23,yxyx22()2,()20 xxx 因因为为oxy2yx 32()3,xx 因因为为30,0()60,0 xxxx oxy3yx 解解2(,)yx 则则曲曲线线 在在内内向向上上凹凹.曲线曲线3(,0),yx 在在内内向向上上凸凸(0,)在在内内向向上上凹凹.3 yx 故点故点(0,0)是曲线的是曲线的拐点的拐点的.4.拐点的求法拐点的求法证证 因为点因为点00(,()xf x是曲线的拐点是曲线的拐点,则点则点 x0 的两侧的两侧0()0fx 0()f x 0()fx 异号异号,且由已知且由已知 存在存在,则则定理定理2 (拐点的必要条件拐点的必要条件)若函数若函数 y=(x)在在 x0 处的二阶导处的二阶导0()0fx 0()fx 数数00(,()xf x存在存在,且点且点为曲线为曲线 y=(x)的拐点的拐点,则则条件而非充分条件条件而非充分条件.0()0fx 仅仅是是拐拐点点存在的必要存在的必要注注在在 存在时存在时,0()fx 4yx 如如有有 ,但点但点(0,0)不是该曲线的拐点不是该曲线的拐点.(0)0f 注注 不存在的点也有可能成为拐点不存在的点也有可能成为拐点.例如例如()fx 3yx 函函数数的二阶导数在的二阶导数在 x=0不可导不可导,但但(0,0)是该曲是该曲线的拐点线的拐点.0()0fx 0()fx 或或 不存在不存在.综上所述综上所述,00(,()xf x若点若点()yf x 是曲线是曲线 的拐点的拐点,则必有则必有0()0fx 0()fx 或或 不存在时不存在时,但是但是,若若曲线曲线()yf x 00(,()xf x上的点上的点不一定是拐点不一定是拐点,()0fx ()fx 或或 不存在的点不存在的点可能成为可能成为曲线曲线所以所以 的拐点的拐点,须用须用下面的定理进一步判断下面的定理进一步判断.()yf x 曲线曲线 y=(x)的拐点的拐点.(1)若在点若在点 x=x0 0 的两侧的两侧,00(,()xf x()fx 异号异号,则点则点为为线线 y=(x)的拐点的拐点.00(,()xf x(2)若在点若在点 x0 两侧两侧,二阶导数同号二阶导数同号,则点则点不为曲不为曲利用二阶导数的符号可以判别曲线的拐点利用二阶导数的符号可以判别曲线的拐点.定理定理2(拐点第一判别定理拐点第一判别定理)设函数设函数 y=(x)在在 x0 的某邻域内的某邻域内0()0fx 且且 0()fx 可可以以不不存存在在,0()fx 或或 不不存存在在,二二阶可导阶可导综上所述综上所述,确定曲线确定曲线 y=f(x)的拐点的一般的拐点的一般步骤步骤是是:(1)确定函数确定函数的定义域的定义域;(2)求二阶导数求二阶导数,在定义域内求出使二阶导数等于零的点在定义域内求出使二阶导数等于零的点和和二阶导数不存在的点二阶导数不存在的点;(3)用用(2)中求出的点将函数定义域分成若干个部分区间中求出的点将函数定义域分成若干个部分区间,在各个部分区间内讨论二阶导数的符号在各个部分区间内讨论二阶导数的符号,确定曲线是否存在确定曲线是否存在拐点拐点,若在拐点若在拐点,求出拐点求出拐点.(-,)定定义义域域为为例例3 判断曲线判断曲线35(1)yxx的凸性的凸性,并求其拐点并求其拐点.解解52338533yxx 而而 ,310 419xyx 10;4xy 当当时时,0,.:xy 当当时时不不存存在在列列表表如如下下x y(,0)1(,)4 1411(,()44f拐拐点点1(0,)40不不存存在在(0,0)拐拐点点y结论结论:曲线在曲线在1(,0)(,)4 313(,).416 16 拐点为拐点为(0,0)和和1(0,)4 内是上凸的内是上凸的;内是下凸的内是下凸的;曲线在曲线在043341.yxx 求求曲曲线线的的拐拐点点及及凹凹、凸凸的的区区间间解解),(:D,121223xxy ).32(36 xxy,0 y令令.32,021 xx得得x)0,(),32()32,0(032)(xf )(xf 00下凸下凸上凸上凸下凸下凸拐点拐点拐点拐点)1,0()2711,32().,32,32,0,0,(凹凹凸凸区区间间为为定理定理3(拐点第二判别定理拐点第二判别定理)设函数设函数 y=(x)在在 x0 的某邻域内的某邻域内0000,()0,()0,(,()().fxfxxf xyf x 三三阶阶可可导导 且且 而而那那末末 是是曲曲线线的的拐拐点点注注 拐点第二判别定理对于拐点第二判别定理对于 的点不适用的点不适用.()fx 不不存存在在例例3.)2,0(cossin的的拐拐点点内内求求曲曲线线 xxy解解,sincosxxy ,cossinxxy .sincosxxy ,0 y令令.47,4321 xx得得内曲线有拐点为内曲线有拐点为在在2,0).0,47(),0,43(2)43(f,0 2)47(f,0 设三次函数设三次函数 在在 x=-1 处取极处取极大值大值,点点(0,3)是是拐点拐点,则求则求a,b,c的的值值.3233yxaxbxc 略解略解2363,66yxaxbyxa 由极值的必要条件由极值的必要条件211(363)03630 xxyxaxbab 由拐点的必要条件由拐点的必要条件00(66)060 xxyxaa 32(0)3333yxaxbxcc 定义定义3 当曲线当曲线 y=(x)上上动点动点M沿着曲线无限远离原沿着曲线无限远离原点移动时点移动时,若该动点若该动点M到某到某直线直线L的距离无限趋近于零的距离无限趋近于零(如右图如右图),则称此则称此直线直线L是曲是曲线线 y=(x)的渐近线的渐近线.oxyy=(x)MQL:y=ax+b 曲线曲线 y=(x)的渐近线按其与的渐近线按其与 x 轴的位置关系轴的位置关系,可分为以可分为以下三种下三种:四、四、渐近线渐近线则称直线则称直线 y=c 为曲线为曲线 y=(x)的的水平渐近线水平渐近线(c为常数为常数).lim()lim()xxf xcf xc 或或lim arctan,lim arctan22xxxx 因为因为1.水平渐近线水平渐近线如果曲线如果曲线 y=(x)的定义域是无限区间的定义域是无限区间,且有且有 问题问题:曲线曲线11,xxxyyeyeyex 是否有水平渐近线？是否有水平渐近线？分别是什么？分别是什么？所以曲线所以曲线 y=arctan x有水平渐近线有水平渐近线.2,2 yy2.垂直垂直(铅垂铅垂)渐近线渐近线如果曲线如果曲线 y=(x)在在 x0 处无定义处无定义(或不连续或不连续),且且00lim()lim()xxxxf xf x 或或则称直线则称直线 x=x0 为曲线为曲线 y=(x)的垂直渐近线的垂直渐近线.因为因为0011lim,limxxxx oxy1yx 1yx 所以曲线所以曲线有一条垂直渐近线有一条垂直渐近线 x=0.问题问题:曲线曲线1,ln2yyxx 是否有垂直渐近线？是否有垂直渐近线？分别是什么？分别是什么？3.斜渐近线斜渐近线-lim()()0 xf xaxb 若若或或则称直线则称直线 y=ax+b为曲线为曲线 y=(x)的的斜渐近线斜渐近线.(如图如图)lim()()0 xf xax b 0aba 其其中中 和和 为为常常数数,且且,oxyy=(x)MQL:y=ax+b斜渐近线求法斜渐近线求法:.)(的一条斜渐近线的一条斜渐近线就是曲线就是曲线那么那么xfybaxy 注注1()(1)lim;xf xx 如如果果 不不存存在在()(2)lim,lim(),xxf xaf xaxx 存存在在 但但 不不存存在在.)(不不存存在在斜斜渐渐近近线线可可以以断断定定xfy ()lim lim()xxf xaxbf xax 或或()lim lim()xxf xaxbf xax 注注2 注注1中两种情况只能得到不存在斜渐近线中两种情况只能得到不存在斜渐近线,但不能排除但不能排除有水平或有水平或垂直渐近线垂直渐近线.例例1.1)3)(2(2)(的的渐渐近近线线求求 xxxxf解解).,1()1,(:D1lim(),xf x 1lim(),xf x .1是是曲曲线线的的铅铅直直渐渐近近线线 x xxfx)(lim又又)1()3)(2(2lim xxxxx,2 2(2)(3)lim2 1xxxxx 1)1(2)3)(2(2lim xxxxxx,4.42是是曲曲线线的的一一条条斜斜渐渐近近线线 xy 求下列函数的渐近线求下列函数的渐近线:221(1)();xxf xx 故垂直渐近线故垂直渐近线:x=0 20021lim()l im xxxxf xx 且且x()lim1fxax 斜渐近线斜渐近线:y=x+2 xlim()2bf xx解解 因为因为故斜渐近线故斜渐近线:(2)()arctanf xxx ()limxfxax 1lim()2xbf xx 2lim ()2xbf xx y =x+/2 及及 y =x /2arctanlim1xxxx 解解 因为因为(A)1;(B)2;(C)3;(D)4.B曲线曲线 有有()渐渐近线近线.2122()arctan2xxf xexx 22112222limarctanlimlimarctan224xxxxxxxeexxxx 解解4y 为水平渐近线为水平渐近线.221lim12ttett 令令1tx 22112202200limarctanlim22xxxxxxeexxxx 21021lim121xxexx 22lim14tttet 22224lim4tttet e 0 x 为垂直渐近线为垂直渐近线.2212122arctan2limlim2xxxxxexxxaexxx 212limlim02xxxxexx 函数没有斜渐近线函数没有斜渐近线.思考题思考题 两两坐坐标标轴轴0 x，0 y是是否否都都是是函函数数xxxfsin)(的的渐渐近近线线？思考题解答思考题解答0sinlim xxx0 y是是其其图图象象的的渐渐近近线线.0 x不不是是其其图图象象的的渐渐近近线线.1sinlim0 xxxxxysin