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12 理解平面向量数量积的含义及其物理意义，了解平面向量的数量积与向量投影的关系，掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算，能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量是否具有垂直关系31.设设a、b、c是任意的非零平面向量是任意的非零平面向量,且相互不且相互不共线共线,则则（ab）c-（ca）b=0；|a|-|b|a-b|；（bc）a-（ca）b不与不与c垂直；垂直；（3a+2b）（）（3a-2b）=9|a|2-4|b|2中，是真中，是真命题的有（命题的有（）A.B.C.D.D4 平面向量的数量积不满足结合律平面向量的数量积不满足结合律.故故假；假；由向量的减法运算可知由向量的减法运算可知|a|、|b|、|a-b|恰恰为一个三角形的三条边长，由为一个三角形的三条边长，由“两边之差小于第两边之差小于第三边三边”，故真；，故真；因为（因为（bc）a-（ca）bc=（bc）ac-（ca）bc=0，所以垂直，所以垂直.故假；故假；（3a+2b）（）（3a-2b）=9aa-4bb=9|a|2-4|b|2成立成立.故真故真.故选故选D.易错点：易错点：对向量数量积运算易混淆于代数中对向量数量积运算易混淆于代数中的代数式运算，错误类比使用某些运算律的代数式运算，错误类比使用某些运算律.解析5 603 ()2.abab已知、均为单位向量，它们的夹角为，那么C解析 33|3|2|22|3|cos601 9123 1132C.ababbab a遵循平行四边形法则故选6 2,34,7(.)3 abab已知，则 在 上的投影为 6513A.55C.13 .65BDA解析 cos|2(4)371365 .54272A65.a ba baaabb故选7 1,1(.23)24.kkababa 已知向量，若与 垂直，则实数 等于_解析：2(416)1,12460.kkkkkkkabaab a，由已知得，解得-185.已知已知a=（,2），），b=（3,2）,如果如果a与与b的夹角为锐角的夹角为锐角,则则的取值范围是的取值范围是。.a与与b的夹角为锐角，即的夹角为锐角，即cos=且且akb，可得，可得0且且.故填：故填：0且且.易错点：易错点：对夹角为锐角的要求只注意到对夹角为锐角的要求只注意到cos0而忽略而忽略cos1的限制的限制.0且130a ba b 43134313解析91.数量积的概念数量积的概念_()._.abab 已知两个非零向量 和，它们的夹角为，我们把数量叫做 与 的数量积 或内积，记作_规定：零向量与任一向量的数量积为cosa b|cosa ba b0 1_2_ 3_.向量的数量积满足的运算律：；数量积的性质：a bb a()()()a ba babab ca cb c10 2 1_()2_30_4 cos_5|_|.eaeaaa ba ba b是与 同方向的单位向量；ae|a|2aab|a bab1122()().2 3_.xyxyaba babab 若，则_ 向向量 在 上的投影为 两个向量、垂直的充分必要条件是_量数量_积的坐标运_定理_算1212x xy y|a bb12120 x xy y11已知已知 =3,=4，a与与b的夹角为的夹角为 .求：求：()(3a-2b)(a-2b)；()利用向量数量积的定义及运算律可算利用向量数量积的定义及运算律可算出第一问，求出第一问，求 可先求可先求(a+b)2，再开方，再开方.4ab.ab ab 题型一 平面向量的数量积的运算 例1分析12 ()所以所以(3a-2b)(a-2b)=3a2-8ab+4b2=39-86 +64=91-48 .()所以所以2cos3 46 242a ba b ，22229,16aabb，22 2222292ababaa bb 6 2162512 2 ，2512 2.ab解析13向量的数量积运算是向量之间的一向量的数量积运算是向量之间的一种运算，结果是一个数量种运算，结果是一个数量.平面向量的数量平面向量的数量积运算类似于多项式的乘法积运算类似于多项式的乘法.在进行数量积在进行数量积运算时，要认清向量的模和夹角运算时，要认清向量的模和夹角.评析14已知已知（）若若a与与b的夹角为的夹角为150，求，求（）若（若（a-b）与）与a垂直，求垂直，求a与与b的夹角的的夹角的大小大小.（）因为因为 =（a+2b）2=a2+4ab+4b2=所以所以3,2.ab2ab 22ab 224cos1504aa bb 22334324272 （）（），27.ab 变式1解析15()因为因为(a-b)a，所以，所以(a-b)a=a2-ab=0，所以所以ab=a2.所以所以cosa,b=因为因为0a,b180,所以所以a,b=30.232aa baa ba bb，16题型二 平面向量夹角的问题例2分析17解析1819(1)中最值问题不少都转化为中最值问题不少都转化为函数最值问题解决，因此解题关键在函数最值问题解决，因此解题关键在于寻找变量，以构造函数而于寻找变量，以构造函数而(2)中即中即为数量积定义的应用为数量积定义的应用评析20变式2解析 22233coscossinsin2222 cos2 332222 22221.xxxxxxcosxcossinxsincos xcos xx a bab，33(cossin)22(cossin)022232221xxxxxfxaba bababab 已知向量，且，求：及；若的最小值是，求 的值21 22220cos0.2cos24 cos2(cos)12.00cos1.202cos12cos0101cos3121222xxfxxxfxxxxxfxxfxx ab因为，所以，所以，即因为，所以当时，当且仅当时，取得最小值，这与已知矛盾；当时，当且仅当时，取得最小值，由已知得，解得；1cos114,351412812xfx 当时，当且仅当，取得最小值由已知得，解得，这与相矛盾 综上所述，为所求22题型三 平面向量数量积及应用例3 213(131)()223223kttktkf tkf t ababcabdabcd 已知平面向量，证明：；若存在不同时为零的实数 和，使，且，试求函数关系式；对的结论，讨论函数的单调性23解析 22222222332213 3102233 330.410433(0)4120tktttktkt ttktk tkttftt a babcabdabcdc dabababa baabba bc d证明：因为，所以因为，且，所以又，所以，所以24 3211233344011011(1)(1)1,030,10.f tttfttftkttftttf t 函数的单调递增区间为，和，单调递减区间为由知，令得或，令得，且和所以，评析0t 该例为向量与函数及导数的综合问题，求解时要灵活变换，及时调整思维角度，并注意解题的严谨性，如容易忽略25变式3解析 2123sincos2cos444 3sincos122 2sin()1.26xxxxxxm n 2(2 3sin2)(coscos)4442cos()32cosc2o1sxxxxfxABCABCabcacBbCfAmnm nm n 已知向量，若，求的值；记，在中，角、的对边分别是，且满足，求的取值范围26 212sin()262.2coscos2sinsincossin cos2sin cossin cossin cos2sin cossinsinsinsin1cos1201coss23in()32622xBCACBxBCABCBBCABBCABCBCAAxBB m nacb因为，所以，因为，由正弦定理得，所以，所以因为，所以，且，所以，203A所以，27 1sin()1.6262 2262sin()1262sin(2,)1263AAxfxAfAfAm n所以，又因为，所的取值范围是以，故28解析29303132 12本题是关于平面向量的一道综合创新题，它考查了平面向量的基本概念及其运算，是一个向量与平面解析几何、三角函数及不等式的综合题，是在知识网络的交汇点处设计的一个优秀试题，但解决这一问题的基本知识却是向量中最基本也是最重要的知识平面向量的数量积将角度和长度有机地联系在一起，因此，涉及角度与距离有关的问题，可优先考虑用向量的数量积进评析：行处理33()()(0 )10 a b ca b ca ba cbca b ab0本讲是平面向量这一单元的重要内容，要准确理解两个向量的数量积的定义及几何意义，熟练掌握向量数量积的五个重要性质及三个运算规律向量的数量积的运算不同于实数乘法的运算律，数量积不满足结合律、消去律；或，但满足交换律和分配律12122222 2cosx xy yxyaba ba baa公式；的关系非常密切，必须能够灵活综合运用3412211212 34 5 00 x yx yx xy yabab通过向量的数量积，可以计算向量的长度，平面内两点间的距离，两个向量的夹角，判断相应的两直线是否垂直与要区分清楚由于向量有多种表达形式，又向量的各种运算都可用坐标表示，于是在运用向量知识解决有关问题时往往有多种方法其中坐标法是最常用，最重要的一种方法35375472ababababab 若向量垂直于向量，并且向量垂直于，求非零向量、的夹角错解36错解分析：246232.a bbb0ba 对于向量数量积运算，不能约分，即由，且得不到正解2222224623221cos|22|60.aba bbba baa bababa ba ba ba ba baab设向量、的夹角为，接上解，所以，将此式代入式得，所以，即，所以，所以向量、的夹角为
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