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2021/3/91二维固体问题的有限元法第7章 2021/3/92l引言l线性三角形单元场变量的插值构造形函数使用面积坐标应变矩阵单元矩阵l线性矩形单元构造形函数应变矩阵单元矩阵高斯积分计算 me2021/3/93l线性四边形单元坐标映射应变矩阵单元矩阵评述l高次单元l讨论(高斯积分)l实例研究2021/3/94l2D固体单元用于分析平面应变问题和平面应力题。l 2D固体单元可以为具有直边或曲边的三角形、矩形或四边形。l2D固体单元可在2D固体所在平面内变形。l任一点处拥有分别沿x 和 y方向的两个位移分量和力分量。2021/3/95l对平面应变问题可取单位厚度，但对平面应力问题必须使用实际厚度。l分析中，假设单元具有均匀厚度h。l可方便地得到变厚度的2-D单元，其推导过程与均匀厚度的完全一样。2021/3/96平面应力平面应变2021/3/97l比四边形单元的精度低l被大多数用于生成复杂几何形体的网格生成器所采用l线性三角形单元 x,u y,v 1(x1,y1)(u1,v1)2(x2,y2)(u2,v2)3(x3,y3)(u3,v3)A fsx fsy Triangular elements Nodes 节点 三角形单元2021/3/98(,)(,)hex yx yUNd式中(形函数)x,u y,v 1(x1,y1)(u1,v1)2(x2,y2)(u2,v2)3(x3,y3)(u3,v3)A fsx fsy 312312Node 2Node 1Node 3000 000NNNNNNN 节点1 节点2 节点33 nodeat ntsdisplaceme 2 nodeat ntsdisplaceme 1 nodeat ntsdisplaceme 332211vuvuvued节点1的位移节点2的位移节点3的位移2021/3/991111Nab xc y2222Nab xc y3333Nab xc yiiiiNab xc y假设：i=1,2,31TTiiiiaNxybcpp or2021/3/910德耳塔函数性质：111122133(,)1(,)0(,)0N x yN xyN xy故，11111 1111221121213311313(,)1(,)0(,)0N x yab xc yN xyab xc yN xyab xc y解得，23322332111,222eeex yx yyyxxabcAAA1 for(,)0 for ijjijN xyij对于对于2021/3/911将 a1、b1 和 c1 代回到 N1=a1+b1x+c1y得：12323221()()()()2eNyyxxxxyyA112223322313213311111()()()2221exyAxyx yx yyy xxxyxyP三角形面积 力矩矩阵2021/3/912类似地，211222233(,)0(,)1(,)0Nx yNxyNxy2311331133131331()()()21()()()()2eeNx yx yyy xxxyAyyxxxxyyA311322333(,)0(,)0(,)1Nx yNxyNxy3121112211212111()()()21()()()()2eeNx yx yyyxxx yAyyxxxxyyA2021/3/913iiiiNab xc y1()21()21()2ijkkjeijkeikjeax yx yAbyyAcxxA式中ijki=1,2,3通过循环轮换确定j和 k 的值i=1,2j=2,3k=3,12021/3/914l为构造形函数的另一种方法 i,1 j,2 k,3 x y P A1 12223322332331111()()()221xyAxyx yx yyy xxxyxy11eALA 2-3-P:类似地：3-1-PA2 1-2-PA322eALA33eALA2021/3/915123 1LLL单位分解性：312312123 1eeeeAAAAAALLLAAAA德耳塔函数性质：如当P 位于节点 2 或 节点3 时，L1=0故，112233,NLNLNL(,)(,)hex yx yUNd2021/3/916 xxyyxyuxvyuvyxLU 式中00 xyyxLeeBdLNdLU 00 xyyxBLNN123123112233000000bbbccccbcbcbB(常应变单元)2021/3/9170d(d)ddeeehTTTeVAAVzAhA kB cBB cBB cB 常数矩阵TeehAkB cB0ddddeeehTTTeVAAVzAhAmN NN NN N2021/3/918111213111213212223212223313233313233000000000d000000000eeAN NN NN NN NN NN NN NN NN NhAN NN NN NN NN NN NN NN NN Nm对于均匀密度和厚度的单元：ApnmpnmALLLpnAm2)!2(!d321Eisenberg 和 Malvern(1973)公式：2021/3/919202.10201021010201010212syhAemT2 3 dsxelsyflffNyxyxeffffl002132f对于均布载荷：x,u y,v 1(x1,y1)(u1,v1)2(x2,y2)(u2,v2)3(x3,y3)(u3,v3)A fsx fsy 2021/3/920l应变矩阵不为常量l可更精确地表示应力和应变l由于形状规则使其公式推导简捷 2021/3/921 x,u y,v 1(x1,y1)(u1,v1)2(x2,y2)(u2,v2)3(x3,y3)(u3,v3)2a fsy fsx 4(x4,y4)(u4,v4)2b 考虑任一矩形单元 11223344 displacements at node 1 displacements at node 2 displacements at node 3 displacements at node 4euvuvuvuvd 节点1的位移 节点2的位移 节点3的位移 节点4的位移2021/3/922 x,u y,v 1(x1,y1)(u1,v1)2(x2,y2)(u2,v2)3(x3,y3)(u3,v3)2a fsy fsx 4(x4,y4)(u4,v4)2b 1(1,1)(u1,v1)2(1,1)(u2,v2)3(1,+1)(u3,v3)2 4(1,+1)(u4,v4)2 2121()/2()/2,xxxyyyab(,)(,)hex yx yUNd式中31243124Node 2Node 3Node 1Node 40000 0000NNNNNNNNN 节点1 节点2 节点3 节点42021/3/923)1)(1()1)(1()1)(1()1)(1(414413412411NNNN德耳塔函数性质4123411414(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)2(1)2(1)1iiNNNNN单位分解性)1)(1(41jjjN 1(1,1)(u1,v1)2(1,1)(u2,v2)3(1,+1)(u3,v3)2 4(1,+1)(u4,v4)2 1134at node 111134at node 211134at node 311134at node 41(1)(1)0(1)(1)0(1)(1)1(1)(1)0NNNN节点1节点2节点3节点42021/3/92411111111111111110000100004aaaabbbbaaaabbbbBLN注意：不再为常数矩阵！2021/3/925 ,byax dxdy=ab dd 故，dddT1111TcBBcBBkhabAhAe 11011ddddd dhTTTTeVAAVzAhAabh mN NN NN NN N2021/3/926T2 3 dsxelsyflffN x,u y,v 1(x1,y1)(u1,v1)2(x2,y2)(u2,v2)3(x3,y3)(u3,v3)2a fsy fsx 4(x4,y4)(u4,v4)2b 对于均布载荷：0000yxyxeffffbf2021/3/927l用于计算ke 和 me中的积分(实际中)沿1维方向：)()d(111jjmjfwfI对于被积函数为n=2m-1 阶的多项式，利用m 个高斯点可得到精确解111111(,)d d(,)yxnnijijijIfww f 沿2维方向：2021/3/928m 高斯点高斯点 j 高斯权高斯权 wj 精确阶数精确阶数 n 1 0 2 1 2-1/3,1/31,1 3 3-0.6,0,0.65/9,8/9,5/9 54-0.861136,-0.339981,0.339981,0.861136 0.347855,0.652145,0.652145,0.347855 75-0.906180,-0.538469,0,0.538469,0.906180 0.236927,0.478629,0.568889,0.478629,0.236927 96-0.932470,-0.661209,-0.238619,0.238619,0.661209,0.932470 0.171324,0.360762,0.467914,0.467914,0.360762,0.171324 112021/3/929404.2040204102040102042010204020102049syhabem2021/3/930例如)1)(1(4)1)(1()1)(1(16313111111111jijijijijiijhabddhabddNNhabm 94)111)(111(4313133habhabm注意：实际中经常利用高斯积分求积2021/3/931l矩形单元应用受限l应用其边不平行的四边形单元更方便l对于不规则的形状，在应用高斯积分前须进行坐标映射 2021/3/932 2(x2,y2)y x 1(1,1)2(1,1)3(1,+1)4(1,+1)3(x3,y3)4(x4,y4)1(x1,y1)物理坐标自然坐标(,)(,)he UNd(位移插值)(,)(,)e XNx(坐标插值)2021/3/933(,)(,)e XNx式中xy X,)1)(1()1)(1()1)(1()1)(1(414413412411NNNNiiixNx),(41iiiyNy),(4111223344 coordinate at node 1 coordinate at node 2 coordinate at node 3 coordinate at node 4exyxyxyxyx节点1的坐标节点2的坐标节点3的坐标节点4的坐标2021/3/934 将 1 代入 iiixNx),(41 2(x2,y2)y x 1(1,1)2(1,1)3(1,+1)4(1,+1)3(x3,y3)4(x4,y4)1(x1,y1)112322112322(1)(1)(1)(1)xxxyyy或)()()()(2321322123213221yyyyyxxxxx 消去，321123232232()()()()yyyxxxyyxx2021/3/935yyNxxNNyyNxxNNiiiiiiiiiiNNxNNyJ或xyxyJ式中(雅可比矩阵)1131242233312444xyNNNNxyxyNNNNxyJ因为(,)(,)e XNx,2021/3/9361iiiiNNxNNy J故，NLNBxyyx00将Ni对于x 和 y的微分转换成Ni对于 和 的微分(形函数对于物理坐标的微分与其对于自然坐标的微分之间的关系)2021/3/937Murnaghan(1951)公式：dA=|J|dd 11T11d deh kB cB J01111ddddd dhTTTeVAATVxAhAh mN NN NN NN N J2021/3/938l用于坐标插值的形函数与用于位移场插值的形函数相同，所以这种单元被称为等参数单元。l注意用于坐标插值的形函数不一定非得等于用于位移插值的形函数。l当用于坐标插值和用于位移插值的形函数不相同时，则形成所谓的次参数单元和超参数单元。2021/3/939l高次三角形单元 i(I,J,K)(p,0,0)(0,p,0)(0,0,p)(p1,1,0)L1 L3 L2 (0,p1,1)(0,1,p1)(1,0,p1)(2,0,p2)nd=(p+1)(p+2)/2 IJKp节点 i,Argyris(1968)形函数公式：123()()()IJKiIJKNlL lL lL01(1)01(1)()()()()()()()LLLLLLlLLLLLLL 2021/3/940l高次三角形单元 x,u y,v 1 2 3 4 5 6 111(21)NLL 4124NL L x,u y,v 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11111(31)(32)2NLLL41219(31)2NL LL 1012327NL L L 三次单元二次单元2021/3/941l高次矩形单元(0,0)0 (n,0)(0,m)(n,m)i(I,J)拉格朗日型：11()()DDnmiIJIJNNNll01110111()()()()()()()()()()()nkknkkkkkkkknl(Zienkiewicz 等,2000)2021/3/942l高次矩形单元 1 2 3 4 5 6 7 8 9 I=0 I=1 I=2 J=0 J=1 J=2 111001122011322114021()()(1)(1)41()()(1)(1)41()()(1)(1)41()()(1)(1)4DDDDDDDDNNNNNNNNNNNN 1151011621117121180111229111()()(1)(1)(1)21()()(1)(1)(1)21()()(1)(1)(1)21()()(1)(1)2()()(1)(1)DDDDDDDDDDNNNNNNNNNNNNNNN (9节点2次单元)2021/3/943l高次矩形单元Serendipity型：1 2 3 4 5 6 7 8 0=1=1 14212212(1)(1)(1)1,2,3,4(1)(1)5,7(1)(1)6,8jjjjjjjjjNjNjNj (8节点2次单元)2021/3/944l高次矩形单元 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12(12节点3次单元)221322932132932(1)(1)(9910)for corner nodes 1,2,3,4(1)(1)(1 9)for side nodes 7,8,11,12 where 1 and(1)(1)(1jjjjjjjjjjNjNjN 139)for side nodes 5,6,9,10 where and 1 jjjj 对于角节点：对于边节点：对于边节点：其中 其中和和2021/3/945 4 2 3 8 1 5 7 6 1 4 2 5 3 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 8 2021/3/946l当采用高斯积分算法时，须决定所用的高斯点数。l理论上讲，对于一个1维积分，采用m个积分点可获得以(2m1)阶多项式为被积函数的精确结果。l作为一普遍适用的法则，对于高次单元应使用较多的高斯点。2021/3/947l采用较少数量的高斯点有利于消除由位移法所引起的过硬现象。l使用形函数将限定了单元内部的位移模式。这意味着在某种程度上以形函数的形式规定了单元的位移，即相当于对单元施加了预约束。受如此约束的单元应较硬。常可观察到高次单元通常较低次单元软，这是由于高次单元对单元的这种约束较弱。2021/3/948l线性单元在每个方向上取2个高斯点，2次单元在每个方向上取2或3个高斯点在许多情况下已足够。l大多数基于显式公式的显式有限元程序倾向于采用单点积分以最大限度的节省CPU时间。2021/3/949l侧驱动微型电动机2021/3/950双晶硅材料特性杨氏模量，E169GPa泊松比，0.262密度，2300kgm-310N/m10N/m10N/m2021/3/951分析1：使用24个双线性四边形单元（41个节点）的Von Mises 应力分布2021/3/952分析2：使用96个双线性四边形单元（129个节点）的Von Mises 应力分布2021/3/953分析3：使用144个双线性四边形单元（185个节点）的Von Mises 应力分布2021/3/954分析4：使用24个8节点四边形单元（105个节点）的Von Mises 应力分布2021/3/955分析5：使用192个3节点三角形单元（129个节点）的Von Mises 应力分布2021/3/956分析编号单元数量/类型模型的总节点数最大Von Mises 应力(GPa)124/双线性四边形 410.0139296/双线性四边形1290.01803144/双线性四边形1850.0197424/2次四边形1050.01915192/线性三角形1290.01672021/3/957放映结束 感谢各位的批评指导！谢谢 谢！谢！让我们共同进步