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机动 目录 上页 下页 返回 结束.1习题课 第一章 机动 目录 上页 下页 返回 结束.21.填空题填空题(1)lim 2xx(填“存在”或“不存在”)(2)lim 2xx10(3)lim 2xx10(4)lim 2xx10(5)lim2xxxoy2xy 1解函数y=2x的图形如图所示.00不存在从而可以填出答案.其中题(5)的右极限由题(3)知不存在.机动 目录 上页 下页 返回 结束.32.判断题判断题01(1)lim cosxxx212(2)limnnn0()lim()xxf xg x原因(3)若(1)001limlimcosxxxx0;()22212limlimlimnnnnnnn0;()存在,且0lim()0,xxg x则0lim()0.xxf x()因为正解的极限不存在.01limcosxx因为当x0时,x为无穷小,1cosx是有界函数,所以1cosxx仍是无穷小,从而01lim cos0.xxx机动 目录 上页 下页 返回 结束.42.判断题判断题01(1)lim cosxxx212(2)limnnn0()lim()xxf xg x原因(3)若(2)001limlimcosxxxx0;()22212limlimlimnnnnnnn0;()存在,且0lim()0,xxg x则0lim()0.xxf x()分开求和的极限只对有限项成立.正解21(1)2limnn nn11lim12nn1.2212limnnn机动 目录 上页 下页 返回 结束.52.判断题判断题01(1)lim cosxxx212(2)limnnn0()lim()xxf xg x原因(3)若(3)001limlimcosxxxx0;()22212limlimlimnnnnnnn0;()存在,且0lim()0,xxg x则0lim()0.xxf x()0lim()xxf x0()lim()()xxf xg xg x00()limlim()()xxxxf xg xg x0.机动 目录 上页 下页 返回 结束.63.设设1,0,()1,0.xf xxxx解(1)求单侧极限(1)0lim()xf x(3)0lim()xf x和0lim();xf x(2)0lim()xf x是否存在?1lim()xf x是否存在?01lim1xx11 01,0lim()xf x0limxx0.(2)由(1)知0lim()xf x0lim(),xf x故0lim()xf x不存在.(3)存在.因为1lim()xf x1limxx1.机动 目录 上页 下页 返回 结束.74.设设1230.9,0.99,0.999,xxx解(1)用10的方幂表示xn;(1)10.9x(2)lim.nnx求11,10 20.99x 11100 211,10 11.10n(2)limnnx1lim 110nn1 0 1.0.9999,0.9999nx 机动 目录 上页 下页 返回 结束.8124lim21xxx11lim21xxx112lim221xxxx2363lim44xxxxx1)1sin(lim331xxxxxxxsin2cos1lim0 xxx3)21(limxxxx2)1(lim1.2.3.4.6.7.8.9.求下列极限：求下列极限：3311lim0 xxx5.10.30sintanlimxxxx机动 目录 上页 下页 返回 结束.95.设下列极限：设下列极限：解(1)2272137(1)lim;49xxxx(2)(2)lim(1);nnnn 230sin(3)lim ln(1);xxxxx011(4)limsinsin;xxxxx212(5)lim;1xxxx0sinln(14)(6)lim.(1tan)(1 cos2)xxxxx2272137lim49xxxx7(7)(21)lim(7)(7)xxxxx721lim7xxx15.14lim(1)nnnn lim1nnnn 1lim111nn1.2机动 目录 上页 下页 返回 结束.10(3)(4)230sinlim ln(1)xxxxx2300sinlimln(1)limxxxxxx230sinln(01)limxxxxxx200sin1limlim1xxxxx011limsinsinxxxxx001sinlim sinlimxxxxxx0 11.1.注意到当x0时,x为无穷小,1sinx为有界函数,230sin(3)lim ln(1);xxxxx011(4)limsinsin;xxxxx所以机动 目录 上页 下页 返回 结束.11(5)(6)212(5)lim;1xxxx0sinln(14)(6)lim.(1tan)(1 cos2)xxxxx212lim1xxxx21(1)11lim 11xxxxx 0sin ln(14)lim(1tan)(1 cos2)xxxxx001sin ln(14)limlim1tan1 cos2xxxxxx2014lim102xxxx2.2.e注意到当x0时,sinxx,ln(1+4x)4x,2211 cos2(2)2,2xxx所以11lim 1,1xxex21lim1xxx12lim11xxx2,原式机动 目录 上页 下页 返回 结束.126.判断下列函数是否有间断点判断下列函数是否有间断点,若有若有,指出其间断点指出其间断点,并并解(1)21(1)();253xf xxx(2)();sinxf xx21cos,0,(3)();1,0 xf xxx21()253xf xxx1,(1)(23)xxx判断其类型判断其类型.2,3,(4)()6,3.xxf xxx当x=1,32x 时,f(x)无定义,所以31,2xx是f(x)的间断点.因为1lim()1,xf x 所以x=1为f(x)的第一类间断点,且是可去间断点.机动 目录 上页 下页 返回 结束.1321(1)();253xf xxx(2)();sinxf xx因为32lim(),xf x 所以且是无穷间断点.为f(x)的第二类间断点,32x(2)当sinx=0,即()xkkZ时,f(x)无定义,所以()xkkZ是 f(x)的间断点.因为0lim1,sinxxx所以x=0(k取0)为f(x)的第一类间断点,且是可去间断点.因为当k0时,lim,sinxkxx 所以且是无穷间断点.为f(x)的(0)xkk第二类间断点,机动 目录 上页 下页 返回 结束.14(3)因为2001lim()limcosxxf xx所以x=0为f(x)的第二类间断点,且是振荡间断点.21cos,0,(3)();1,0 xf xxx不存在(因为当0 x 时,21cosx的值在0与1之间无限次振荡),机动 目录 上页 下页 返回 结束.15(4)因为当x3时,f(x)=x2,所以当x3时,f(x)=x+6也是连续函数,无间因为3lim()xf x23limxx9,3lim()xf x3lim(6)xx9,所以3lim()9xf x(3)f故 f(x)在x=3处连续.综上所述,函数 f(x)无间断点,在(,)内连续.无间断点.断点.机动 目录 上页 下页 返回 结束.167.设a0,且解cos,0,2(),0.xxxf xaaxxx0lim()xf x0limxaaxx01limxaax1,2 a要使f(x)在x=0处连续,则即故当a=1时,f(x)在x=0处连续.当a取何值时,f(x)在x=0处连续.0lim()xf x0coslim2xxxcos0021,20lim()xf x0lim()xf x11,22 a1,a 得(0),f机动 目录 上页 下页 返回 结束.178.设函数f(x)在x=2处连续,且f(2)=3,求解2214lim().24xf xxx2lim()xf x所以2214lim24xxx222lim4xxx21lim2xx1,42214lim()24xf xxx22214lim()lim24xxf xxx134 3.4(2)3,f又因为因为f(x)在x=2处连续,且f(2)=3,所以机动 目录 上页 下页 返回 结束.189.32xx至少有一个小于1 的正根.证证：证明方程令()32,xf xx且(0)f00 322(1)f11 32100根据介值定理的推论(也称为零点定理),(0,1),()0,f内至少存在一点在开区间(0,1)显然f(x)在闭区间0,1上连续,使即320,亦即32,所以方程32xx至少有一个小于1 的正根.机动 目录 上页 下页 返回 结束.1921sinxxxy一、选择题 A.偶函数；B.奇函数；C.非奇非偶函数 D.既是奇函数又是偶函数1.函数 是（）xxx20sinlim（）nnnx2sin2lim下列极限计算正确的是（）e)11(lim.0 xxxAe)1(lim.1xxxB11sinlim.xxCx1sinlim.xxDx2.A.2；B.1；C.0；D.33.A.x；B.1；C.0；D.34.机动 目录 上页 下页 返回 结束.20124lim21xxx11lim21xxx112lim221xxxx2363lim44xxxxx1)1sin(lim331xxxxxxxsin2cos1lim0 xxx3)21(limxxxx2)1(lim1.2.3.4.6.7.8.9.3311lim0 xxx5.10.30sintanlimxxxx二、求极限机动 目录 上页 下页 返回 结束.21三、三、判断下列函数是否有间断点判断下列函数是否有间断点,若有若有,指出其间断点指出其间断点,并并21(1)();253xf xxx(2)();sinxf xx21cos,0,(3)();1,0 xf xxx判断其类型判断其类型.2,3,(4)()6,3.xxf xxx机动 目录 上页 下页 返回 结束.22四、四、设a0,且cos,0,2(),0.xxxf xaaxxx当a取何值时,f(x)在x=0处连续.机动 目录 上页 下页 返回 结束.23五、五、设函数f(x)在x=2处连续,且f(2)=3,求2214lim().24xf xxx机动 目录 上页 下页 返回 结束.2432xx至少有一个小于1 的正根.六、证明方程
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