二重积分的计算方法

1第二节第二节 二重积分的计算法二重积分的计算法计算二重积分的方法计算二重积分的方法:二重积分二重积分累次累次积分积分(即即两次两次定积分定积分).2 在直角坐标系下用平在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划行于坐标轴的直线网来划分区域分区域D，(,)d(,)d dDDf x yf x yx y dd dx y 故二重积分可写为故二重积分可写为xyo则面积元素为则面积元素为一、利用直角坐标系计算二重积分一、利用直角坐标系计算二重积分3(2)如果积分区域为：如果积分区域为：其中函数其中函数 、在区间在区间 上连续上连续.)(1x)(2x,baX型型b)(2xy )(1xy aDxOyxOy)(1xy )(2xy Dba,bxa ).()(21xyx 4回忆回忆：平行截面面积为已知的立体的体积：平行截面面积为已知的立体的体积xoxdxx ab)(xA表表示示过过点点x且且垂垂直直于于x轴轴的的截截面面面面积积，)(xA为为x的的已已知知连连续续函函数数d()dVA xx()dbaVA x x 立体体积立体体积)(xA此方法关键是求此方法关键是求5的的值值等等于于)0),(d),(yxfyxfD 计算截面面积计算截面面积),(yxfz (红色部分即红色部分即A(x0)以以D为底为底,以曲面以曲面为顶的曲顶柱体的体积为顶的曲顶柱体的体积.应用计算应用计算“平平行截面面积为行截面面积为已知的立体求已知的立体求体积体积”的方法的方法.用二重积分的几何意义说明其计算法用二重积分的几何意义说明其计算法:是区间是区间)(),(0201xx 为曲边的曲边梯形为曲边的曲边梯形.),(0yxfz 为底为底,曲线曲线 xyzO),(yxfz D)(2xy )(0 xAab0 x)(1xy 6xyzO),(yxfz D)(2xy )(0 xAab0 x)(1xy yzO)(01x)(02x),(0yxfz A(x0)(01x)(02x yyxfxAd),()(00 yyxfxAxxd),()()()(21 DyxfV d),(baxxAd)(xbad )d),()()(21 xxyyxf baxxyyxfx)()(21d),(d 先对先对y后对后对x的二次积分的二次积分(累次累次积分积分)7(2)积分区域积分区域为：为：,dyc )()(21yxy Dyxf d),(先对先对x后对后对y的二次积分的二次积分也即也即 dcyyxyxfy)()(21d),(d Dyxf d),(其中函数其中函数 、)(1y)(2y,dc在区间在区间 上连续上连续.D)(2yx cd)(1yx xOyxOyD)(2yx cd)(1yx dcyd)d),(xyxf)(1y)(2y Y型型8既不是既不是X-型区域也不是型区域也不是Y-型区域时型区域时,将将D分分成几部分，使每部分是成几部分，使每部分是X-型区域或是型区域或是Y-型型区域区域.既是既是X-型区域也是型区域也是Y-型区域时型区域时,可以用两个可以用两个公式进行计算公式进行计算.yx0yx0cdabD9特殊地特殊地 Dbadcyyxfxyxfd),(dd),()()(),(21yfxfyxf 若若 yxyfxfDdd)()(21即等于两个定积分的乘积即等于两个定积分的乘积.D为矩形域为矩形域:则则则则axb,cyd baxxfd)(1yyfdcd)(2 yyfxfdcd)()(21 xd)ba(dcbaxyxfyd),(d10二重积分是二重积分是化为化为两次定积分两次定积分来计算的，来计算的，关键关键是确定积分限是确定积分限.定限要注意的问题：定限要注意的问题：1.上限上限下限下限.2.内层积分的上，下限应为外层积分变量的函数内层积分的上，下限应为外层积分变量的函数.3.外层积分上，下限应为常数外层积分上，下限应为常数(后积先定限后积先定限).4.4.二重积分的结果应为常数二重积分的结果应为常数.11例例 计算计算dDxy 其中其中D是由直线是由直线y=1,x=2及及y=x所围成的闭区域所围成的闭区域.解法解法1 1：先先y后后x 211dd dxDxyxy yx 2211d2xyxx 2342211d2284xxxxx xyx012y=xy=1x=221 xxy 189 12解法解法2 2：先先x后后y221dd dyDxyxy xy 2221d2yxyy 23422112d28yyyyy yx012y=xx=2 y21 y2 xy89 13解解23d d,.xDex y Dyxyx 是是第第一一象象限限中中由由直直线线和和围围成成区区域域例例 计算计算),1,1(,)0,0(3 xyxy3xy xy (1,1)xyxxDX310:2d dxDex y 22130()dxxxex ex 2310dxxxyex .121 e2310ddxxxxey14选取积分次序选取积分次序,不仅要看区域的特点不仅要看区域的特点,而且要看被积函数而且要看被积函数的特点的特点.凡遇如下形式积分凡遇如下形式积分:等等等等,一定要放在一定要放在后面积分后面积分.,dsinxxx,dsin2xx,dcos2xx,d2xex ,d2xex,lnd xx,dxexy 15xy 1解解积分区域如图积分区域如图 yxyDY1010:例例 改变积分改变积分 1100d(,)dxxf x yy 的次序的次序.16例例交换积分次序：交换积分次序：axxaxayyxfx22202d),(d)0(a解解axy2 22xaxy 22yaax xyOaa2aa2ayx22 原式原式=xyxfd),(yday22xyxfd),(22yaa 0aa222yaa yd0a xyxfd),(yda2ay22a2a17例例 交换积分次序：交换积分次序：解解 积分区域积分区域:xxxyyxfxyyxfx20212010d),(dd),(d2原式原式=10dyy 2 xyxfd),(211y 22xxy xy 2xyO12yx 2211yx 18例例 求证求证 axaxxfxayyfx000d)()(d)(d 左边的累次积分中左边的累次积分中,提示提示 xayyfx00d)(d ayaxyfyd)(d0 ayyfya0d)()(axxfxa0d)()(不能直接计算，不能直接计算，)(yf是是y的抽象函数的抽象函数,)0(a,0ay axy aayyxyf0d)(证毕证毕.要先交换积分次序要先交换积分次序.axyOa),(aa 证明证明19例例 求两个底圆半径为求两个底圆半径为R,且这两个圆柱面的方程分且这两个圆柱面的方程分别为别为 及及222Ryx .222Rzx 解解 d D332R 313168RVV d),(1 DyxfV22xRy 求所围成的求所围成的立体的体积立体的体积.xoyzoxyDR22xR yxRd22 22xR 0 xd0R22xRz 曲曲顶顶20解解曲面围成的立体如图曲面围成的立体如图.,yxz ,xyz ,1 yx,0 x.0 y例例 求由下列曲面所围成的立体体积，求由下列曲面所围成的立体体积，21,10 yx,xyyx 1100d()dxxxyxyy 1301(1)(1)d2xxxx.247 所所围围立立体体在在xoy面面上上的的投投影影是是1 yxxoy2222例例.10,10:)(,|2 yxdxyI为为其其中中计计算算积积分分 解解oxy112xy )(1)(2 I12()dyx 22()dxy 101154 .3011 23补充补充轮换轮换对称性结论对称性结论:若若D关于关于x,y满足轮换对称性满足轮换对称性(将将D的边界的边界曲线方程中的曲线方程中的x与与y交换位置交换位置,方程不变方程不变),则则(,)d d(,)d d.DDf x yx yf y xx y 2411证证yxyxybxaIDdd)()()()(设设的的对对称称性性得得由由区区域域关关于于直直线线xy yxxyxbyaIDdd)()()()(所以所以,DyxbaIdd)(2)(21baI ,1,0)(上上的的正正值值连连续续函函数数为为设设x)(21dd)()()()(bayxyxybxaD 证证明明：为常数，为常数，其中其中ba,例例xy ba xyO 1,0),(yxyxD25二重积分在直角坐标下的计算公式二重积分在直角坐标下的计算公式（在积分中要正确选择（在积分中要正确选择积分次序积分次序）小结小结21()()(,)dd(,)d.bxaxDf x yxf x yy 21()()(,)dd(,)d.dycyDf x yyf x yx Y型型X型型（1）化二重积分为二次积分；）化二重积分为二次积分；（2）交换积分次序；）交换积分次序；题型题型26作业作业习题习题8-2(1)8-2(1)(77(77页页)3.(1)(3)(4)4.5.6.(1)(2)7.(2)(3)271130(1)d1dyyxx 计算计算(学生练习学生练习）sin(2)d d,.Dyx y Dyx yxy 由由所所围围闭闭区区域域答案答案：.92)1(.1sin1)2(281210/21/2d(,)dd(,)d.xxxIxf x yyxf x yy 交交换换积积分分次次序序解解由给出的积分画出相由给出的积分画出相应的积分区域应的积分区域oxy112xy 2/xy.2,10:2yxyy 区域可表示为区域可表示为2120d(,)d.yyIyf x yx练习练习