信号与线性系统分析第4版第2章

第二章 连续系统的时域分析 第二章将研究线性时不变（LTI）连续系统的分析方法，即对于给定的激励，根据描述系统响应与激励之间关系的微分方程求得其响应的方法。由于分析是在时间域内进行的，称为时域分析。本章将在用经典法求解微分方程的基础上，讨论零输入响应，特别是零状态响应的求解。在引入系统的冲激响应后，零状态响应等于冲激响应与激励的卷积积分。冲激响应和卷积积分概念的引入，使LTI系统分析更加简捷，明晰，它们在系统理论中有重要作用。11110-11-11-10 (),(),LTI ()()()()(2.1-1a)nnnmmmmmif ty tnytayta yta ytb ftbftb ft bb f ta一、微分方程的经典解一般而言，如果单输入-单输出系统的激励为响应为则描述连续系统激励与响应之间关系的数学模型是 阶常系数线性微分方程，它可写为或缩写为 00 (2.1-1b)(0,1,)(0,1,)1 nmijjijijnhphpytb fta inbjmaytyty tytyt式中和均为常数，。该微分方程的全解由齐次解 余函数和特解组成，即 (2.1-2)2.1 LTI连续系统的响应连续系统的响应 111101110 0 (2.13)2.13 00,nnnttntntttnytayta yta y tCeCeCeCaeCa eCa eC齐次解齐次解是齐次微分方程的解，它是形式为的一些函数的线性组合。将代入式（），得由于且对 1110 0 2.14 2.1 1)2.13)1,2,2-1nnnhiitaaaninytCDA任意 上式均成立，上式可简化为（）上式称为微分方程式(、(的特征方程，其 个根（）称为微分方程的特征根。齐次解的函数形式由特征根确定，表列出了特征根取不同值时所对应的齐次解，其中、ii和 等为待定系数。12.1-1 2.1-5iinthiiinytCeC例如，若方程式（）的 个特征根 均为实单根，则其齐次解式中常数将在求得全解后，由初始条件确定。12-1-21 2-1 htrtrttrrytCerC teCteC teC表不同特征根所对应的齐次解特征根齐次解单实根重实根01,212112200 cossincos,coscos costtjrrrrrreeCtDtAtajAeCjDrA ttAttAt一对共轭复根或其中重共轭复根te 2-2iP特解特解的函数形式与激励函数的形式有关。表列出了几种激励及其所对应的特解。选定特解后，将它代入到原微分方程，求出各待定系数，就得出方程的特解。11102-2 ()()0 pmmmmmrmmf ty ttP tPtPt Pt P t表不同激励所对应的特解激励特解所有的特征根均不等于01110 r0e e ee mmttttPtPPaPtP有 重等于 的特征根不等于特征根；1r110 ee ee cos()cos()sin()rtrtttraPtPtPtPartPtQtj等于特征单根；等于 重特征根所有的特征根均不等于或 ()()sin cos jtAtAePjQ或，其中 1 2.2-1 2.1-6 ()00,iinthpipiy tytytCeytf tty t全解式（）的常系数线性微分方程的完全解是齐次解与特解之和。如果微分方程的特征根均为实单根，则其全解为（）设激励信号是在时接入的，微分方程的全解也适合于区间）。对 1210000ninnyyyyC于阶常系数线性微分方程，利用已知的 个初始条件、就可求得全部待定系数。22.1-1 LTI ()5()6()()1()2,0;02,(0)1 2(),0;01,(0)0 12.1-7 tty ty ty tf tf tetyyf tetyy 例描述系统的微分方程为求：（）当时的全解；（）当时的全解。解（）式（）的特征方程为 2122312 56 0 2,3 2-2()2 tthtytC eC ef te其特征根-。微分方程的齐次解由表可知，当输入时，其特解可设为 tpytPe 23122.1-7 5()621 ppptttttpttthpytytytPePePeePytey tytytC eC ee将（）、（）、（）和f(t)代入到式（），得由上式可解得。于是得微分方程的特解微分方程的全解其一阶导数 23121212122 230,(0)12 (0)23113,2,()3tttty tC eC eetyCCyCCCCy te 令并将初始值代入，得由上式可解得=-最后得微分方程的全解32 ,0 (2.1-9)tteet齐次解特解自由响应强迫响应 LTI()212.1-8,if tC由以上可见，系统的数学模型常系数线性微分方程的全解由齐次解和特解组成。齐次解的函数形式仅依赖于系统本身的特性，而与激励的函数形式无关，称为系统的自由响应或固有响应。但应注意，齐次解的系数是与激励有关的。特解的形式由激励信号确定，称为强迫响应。（）由于微分方程与（）相同，故特征根也相同，齐次解仍如式（）即 23h122221022211110100 ()22-2 ()()2.1-710645106 tttttpppptttytC eC ef teytPtePeyyyf tPPPtePPPPPee当激励时，其指数（-）与特征根之一相重。由表知，其特解应为将、和代入到式（）并稍加整理，得（4）（-4）由上式 102201,ttpPPyttePe可解得但 未能求得（这是因为激励的指数与特征根相重），于是微分方程的特解 232223212010223221021021 ()()2()320,(0)1 (0)2ttttttttttty tC eC etePeCP eC etey tCP eC eetetyCPCyCP 微分方程的全解为其一阶导数将初始条件代入,得0210223210103102,1,()2,0 (2.1-10)2tttCCPCy teetetCPCP 由上式解得-最后得微分方程的全解上式第一项的系数 中，不能区分和，因而也不能区分自由响应和强迫响应。i sin()0atateeta通常，当输入信号是阶跃函数或有始的周期函数（例如，有始正弦函数、方波等）时，稳定系统的全响应也可分解为瞬态（暂态）响应和稳态响应。瞬态响应是指激励接入以后，全响应中暂时出现的分量，随着时间的增长，它将消失。也就是说，全响应中按指数衰减的各项 如、等，其中组成瞬态分量。如果系统微分方程的特征根 的实部均为负（这样的系统是稳定的，其齐次解均按指数衰减2.1-1），那么，由全响应中除去瞬态响应就是稳态响应，它通常也是由阶跃函数或周期函数组成的。对于特征根有正实部的不稳定系统或激励不是阶跃信号或有始周期信号的系统，通常不这样区分（如例）。23h122.1-2 56()()(2.1-11)()10cos,0,(0)2,(0)0 2.1-1 2-2,ttyty ty tf tf tt tyyytC eC e例描述某系统的方程为求输入时的全响应。解 本例的微分方程与例相同，故其齐次解为由表因输入为余弦函数，其特解 cossin()2.1-11 56)cos(56)sin10cos0 5510 550 ppppytPtQtyyyf tPQPtQPQtttPQPQ 将、和代入方程式（）得（-因上式对所有的成立，故有 231223124441,cossin2cos (2.1-12)2cos 232sin 0,pttttPQytttty tC eC ety tC eC ett 由上式解得得方程的特解于是方程的全解，即系统的全响应其一阶导数-令并代入初始条件，得 12121223 012 023102,1,22cos 0 (2.1-13)4ttyCCyCCCCy teett 由上式可解得 最后得该系统的全响应，固有响应稳态响应瞬态响应强迫响应 jj tj tj LTIcose eeeReRe 10,pzsppjtf tFtf tFFFFytf tf tytytytf te通常，对于系统，当输入为余 正 弦函数时，为求得其稳态响应，可设式中，并进一步求得方程的特解。根据线性性质，当激励时，应有稳态响应。对于本例，设微分方程的特解为 jjjj4 ()2.1-11,j56e10e10 25j5 tppppttytY eyyyf tYYYYe将、和代入方程式（）得（-）令上式等号两端系数相等，得得微分方程的特解 44z 22 Re 2cos42.1-12j tjjtpsppyteeeytytytt于是系统的稳态响应与式（）结果相同。00()()000()()000 ()0()00()(0)()0,1,10()(0)()jjjjf ttttttttttyytjnttyyt二、关于与初始值在用经典法解微分方程时，若输入是在或时接入的，那么方程的解也适用于或。为确定的待定系数所需的一组初始条件是指或时刻的值，即或（）。在系统分析中，或时，激励已经接入，因而或包含输入信号的作用-0()()-00()0()(0)()0()()LTI(jjjtttyytttty ty，它不便于描述系统的历史信息。在系统分析中，或时，激励尚未接入，因而响应及其各阶导数在该时刻的值或反映了系统的历史情况而激励无关，它们为求得或的响应提供了以往历史的全部信息，称这些值为初始状态。通常，对于具体的系统，初始状态常容易求得。这样，为求解描述系统的微分方程时，就需要从已知的初始状态-()()()-000)()(0)()jjjytyyt或设法求得或。下面以二阶系统为例具体说明。2.1-3 LTI 2 2 (2.1-13)01,01,(),(0)0 ()2 2yty ty tftf tyyf ttyyf ttyty ty tt 例描述某系统的微分方程为已知求和。解：将输入代入微分方程，得 0 (2.1-14)(2.1-14)(2.1-14)()(2.1tttyttytytatbtctr t因式对所有的 成立，故等号两端及其各阶导数的系数应分别相等，于是知式中必含有，即含有冲激函数导数的最高阶为二阶，故令 0110-15)()(2.1-15)()(2.1-16)()()()d tabcr ttty tatbtr tr tctr xx式中、为待定常数，函数中不含及其各阶导数。对式等号两端从 到 积分，得上式中 t它不含及其各阶导数。2t21-2.1-16 ()()()(2.1-17)()()()d(ty tatr tr tbtr xxt对式（）等号两端从-到 积分，得式中它也不含 012)2.1-152.1-162.1-172.1-14 ()(2)()(2)()2()()()2()atabtabctr tr tr ttt及其各阶导数。将式（）、（）、（）代入到微分方程式（）并稍加整理，得 2.1-18()1 20 22 1,2,5 2.1-16,00 (0)taababcabcabyy（）上式中等号两端及其各阶导数的系数应分别相等，故得由上式可解得。将、代入式（）并对等号两端从到进行积分，有0001000(0)()d2()d()dttttr tt-1-0001000()0 0()d0()d0000,()d1,(0)(0)2(0)1,(0)(0)2 1r ttr ttttttyyyyy 由于不含（）及其各阶导数，而且积分在无穷小区间，进行的，故，而（）（）故有已知得同样地，0000000000 2.1-1500 (0)(0)()d2()d5()d()d0 0()()()0,(0)(0)abcyyttttttr ttttr tyy将、代入到式（），并对等号两端从到进行积分，得由于在，区间、及的积分均为 故得5(0)1 (0)(0)5 4 cyyy 将代入上式得-()0000 1()()()y tf tty ty tt由上可见，当微分方程等号右端含有冲激函数及其各阶导数时，响应及其各阶导数由 到的瞬间将发生跃变。这时可按下述步骤由 值求得值（仍以二阶系统为例）：（）将输入代入微分方程。如等号右端含有（）及其各阶导数，根据微分方程等号两端各奇异函数的系数相等的原理，判断方程左端的最高阶导数 对于二阶系统为所含（）导数的最高阶次 例如为0-()2()()()()(),()-,()()3()()()()4()()000(0)ty tatbtctr ty tty ty ty ty ty ty ty ty tyy。（）令对进行积分（从到）逐次求得和。（）将、和代入微分方程，根据方程等号两端各奇异函数的系数相等，从而求得中的各待定系数。（）分别对和等号两端从到进行积分，依次求得各值和(0)。0 LTI()(0)()2.1-1 ()0 zinjjzijy txy ta yt（）三、零输入响应系统完全响应也可分为零输入响应和零状态响应。零输入响应是激励为零时仅由系统的初始状态所引起的响应，用表示。在零输入条件下，微分方程式（）等号右端为零，化为齐次方程，即 1 (2.1-19)(2.1-20)000,(0,1,1)jntzizijjzijjjjziziytC eCyyyjn若其特征根均为单根，则其零输入响应式中为待定常数。由于输入为零，故初始值 (2.1-21)2.1 20由给定的初始状态即可确定式（）中的各待定常数。2.1-4 ()5()4()2()4()(2.1-22)(0)1,(0)5,0 ()5y ty ty tftf tyyziziyty例若描述某系统的微分方程和初始状态为求系统的零输入响应。解 该系统的零输入响应满足方程及初始值20 (0)(0)(0)1 (2.1-23)(0)(0)(0)5 54 0()4()izizizizziyyyyyytyt上述微分方程的特征方程为124124121,4,()(2.1-24)()4 (2.1-2ttzizizittziziziytC eCeytC eCe 特征根-故零输入响应及其导数为 1212125)02.1-23(2.1-24)(2.1-25),01 0453,2,2.1-24,3zizizizizizizizizityCCyCCCCyte 令，将式（）中的初始条件代入式和式得由上式可解得-将它们代入式（）得系统的零输入响应42,0 (2.1-26)ttet nmj 0i 0 ()2.1-1 ()()(2.127)00 zsijjijzsf tyta ytb ftyzs四、零状态响应零状态响应是系统的初始状态为零时，仅由输入信号引起的响应，用表示。这时方程式（）仍是非齐次方程，即初始状态。若微分方程的特征根均为单根，则其零状态响应为 1 (2.1-28)nzszsjpjzsjpjtytC eytCyt式中为待定常数，为方程的特解。zszszs2.1-5 2.1-4()(),y(t)5y(t)4y(t)2f(t)4f(t)(2.1-29)(0)(0)0 ()(),2.1-29-zszsf ttyyf tt例如例中的系统输入求该系统的零状态响应。解 该系统的零状态响应满足方程及初始状态由于输入代入式（）后等号右端将含有冲激函-0000()(2.1-29)()5 ()4()2()4()(2.1-30)zszszstf tytytyttt数，故零状态响应在时将产生突变，其不等于值。为此，首先求得响应的值。将代入式，得 010 ()()(2.1-31a)-,zszsytatr ttytr t按前述求值的方法，令对上式积分（从到）得 2012 2.1-31b 2.1-31c 2.1-312.1-30,22.1-3100 -zsytrtrtr trtta式中、和均不含（）及其导数。将式（）的各式代入式（）不难求得。对式（）等号两端积分（从至），得 01000000 00d0 00dd000 000 002zszszszszszszszszszsyyr ttyyattrttayyyyyya由以上二式得 考虑到 (2.1-32)412412 0,2.1 30 5 4 4 2.1-331 1 2zszszsttzszspttzszszstytytytC eCeytytC eCe 对于式（-）可写为（）不难求得其齐次解为，其特解，于是有（412412124.1-342.1-320 1 0 4221 21,0 tzszstzszszszsttzstCCeCCeCCyteet）将式（）的初始条件代入上式及其导数（令）得-由上式可解得，-。最后，得系统的零状态响应 (2.1-35)()LTI 2.1-6 LTI 22 (2.1f ty ty tftftf t在求解系统的零状态响应时，若微分方程等号右端含有激励的导数时，利用系统零状态响应的线性性质和微分特性，可使计算简化。例描述某系统的微分方程为 1111-36)()()()()0,2 (2.1-37)f ttf ty tytTf tytytf t若，求该系统的零状态响应。解 设仅由作用于上述系统所引起的零状态响应为，即显然，它满足方程且初 111111001.6-11 0 02.1-36 2 -zsyytTftytTftytytytyt始状态为零，即。根据零状态响应的微分特性 式，有，根据线性性质，式（）的零状态响应 (2.1-38)11112121-2.1-370000 2.1-370.500 0.5 10 2.1-3ttf ttf ttytyttyyCeyytet现在求当时方程式的解。由于当时，等号右端仅有阶跃函数，故含有跳跃，而在处是连续的，从而有。不难求得式的齐次解为，特解为常数，代入初始值 后，得，11219a0,0 2.1-39a 0.5 1 2.1-39btyttytytet由于为零状态响应，故时。式可写为，222122211112 0.5 1 222.1-38 12 2.1-40tttttttzsytetetetytetettetytytytyttet其一阶、二阶导数分别为将、和代入式，得该系统的零状态响应可见，引入奇异函数后，利用零状态响应的线性性质和微分特性，可使求解简便。LTI 2.1-41 0,zizsjjjzizsf ty tytytytytytj五、全响应如果系统的初始状态不为零，在激励的作用下，系统的响应称为全响应，它是零输入响应与零状态响应之和，即其各阶导数为，-1,1 2.1-420 000 2.1-43 000 jjjzizsjjjzizsntyyyyyy上式对也成立，故有 -2.1-44 0000 000 2.1-45 0 2.1-44 2.1-45000jzsjjjzizityyyy对于零状态响应，在时激励尚未接入，故，因而零输入响应的值根据给定的初始状态 即值，利用式、式以及前述由值求值的方法，可求得零输入响应和零状态响应的 值。1111 LTI 2.1-4 6 jjjjnnntttjpzijzsjpjjjntjzijy tC eytC eC eytC eC综上所述，系统的全响应可分为自由 固有 响应和强迫响应，也可分为零输入响应和零状态响应。若微分方程的特征根均为单根，它们的关系是式中11 1,2,jjnnttjzsjjjjzijzsjeC eCCCjn即，zijjCC可见，两种分解方式有明显的区别。虽然自由响应和零输入响应都是齐次方程的解，但二者系数各不相同，仅由系统的初始状态所决定，而要由系统的初始状态和激励信号共同来确定。在初始状态为零时，零输入响应等于零，但在激励信号的作用下，自由响应并不为零。也就是说，系统的自由响应包含零输入响应和零状态响应的一部分。2.1-7 LTI 3 226 2.1-4702 01 1 ziyty ty tftf tyyf ttyt例描述某系统的微分方程为已知，求该系统的零输入响应、零状态响应和全响应。解零输入响应满足方程 -12 320 2.1-48 2.1-45 0 000 2 00 0 12.1-481ziziziziziziziytytytyyyyyy由式知，其值式的特征根-，212122 0 2.1-49 02 0ttziziziziziziziziyC eCeyCCyC-，故零输入响应将初始值代入上式及其导数，得 121222153 2.1-49 530 2.1-50 zizizittziCCCyteet由上式解得，-。将它们代入式，得系统的零输入 响应为，-+0 22.1-47 3 226 2.1-5100000 zszszszszszszszszszsytf ttytytytytttyyyytytatrt零状态响应是初始状态为零，且时，式的解，即满足方程及初始状态。先求和，由于上式等号右端含有，令 12 2.1-52a-2.1-52b zszstytr tytrt积分 从到得 -00-0100-2.1-52c 2.1-512 2.1-52a 2.1-52b00d0d0 0-02,zszszszszsytytytarttr ttyya将、和代入式可求得。对式、等号两端从到积分，并考虑到，可求得-0-00 02 0002.1-51zszszszsyyyyt解上式，得，。对于，式可写为 212212 3 263 3 2.1-53 zszszsttzszsttzszszsytytytC eCeytC eCe不难求得其齐次解为，其特解为常数。于是有将初始值代入上式及其导数，得 1212122 03 0 0224,12.1 53 430 2.1-543 zszszszszszszszsttzsyCCyCCCCyteety t 由上式可求得-，将它们代入式，得系统的零状态响应为，全响应 222 2.1-50 2.1-54 53430 230zizstttttty tytyteeeeteet由式和可得系统的全响应为，强迫响应自由响应零状态响应零输入响应自由响应强迫响应 LTI 2.2 1th tt一、冲激响应一个系统，当其初始状态为零时，输入为单位冲激函数所引起的响应称为单位冲激响应，简称冲激响应，用表示，如图所示。就是说，冲激响应是激励为单位冲激函数时，系统的零状态响应，即 1-2.2 ,0tTthdef下面研究系统冲激响应的求解方法。2.2 冲激响应和阶跃响应冲激响应和阶跃响应 2.2-1 LTI 5 6 2.2-2 2.2-25 6 zsyty ty tf th tf ttyth th thth th tt例设描述某二阶系统的微分方程为求其冲激响应。解 根据冲激响应的定义，当时，系统的零状态响应，由式可知满足 2.2-3 000 00000hhtttttt由于冲激函数仅在处作用，而在区间函数为零。也就是说，激励信号的作用是在的瞬间给系统输入了若干能量，储存在系统中，而在时 或者说以后 系统的激励为零，只有冲激引入的那些储能在起作用 1223120 2.2-323 2.2-4attth tC eC et，因而系统的冲激响应由上述储能唯一地确定。因此，系统的冲激响应在时与该系统的零输入响应 即相应的齐次解 具有相同的函数形式。式微分方程的特征根-，-。故系统的冲激响应 1212+-000 02.2-3002.23 2.2-4bCCCChhthtatr t式中、为待定常数。为确定常数和，需要求出 时刻的初始值和。由式可见，等号两端奇异函数要平衡，根据前面讨论的由 值求值的方法，由于式右端含，故设:12 2.2-4c th tr th tr t从到 积分得 012-2.2-4d 2.2-4b 2.2-4c 2.2-4d 2.2-3 12.2-4b2.2-4c00r tr tr tta其中、和不含及其各阶导数。将式、式和式代入式的微分方程，并根据等号两端冲激函数及其各阶导数相平衡，可求得对式和式等号两端从到积分，并考虑 -0000100-0-d0d0 0 0d 000 0 01 r ttr tthhattahhhha到，可求得-故 -12121223 0 002.2-4a 00 02 3111 tthhhCChCCCCh teet 将以上初始值代入式，得-由上式解得，最后得系统的冲激响应 110110 2.2-5 000,1,2,nnnnnnjnf tytayta y tf tf tth thtahta h tthj一般，若 阶微分方程的等号右端只含激励，即若则当时，其零状态响应 即冲激响应满足方程，1 2.2-6,10 000,1,2,2 2.2-7 012.2-6jnjnhjnhj用前述类似的方法，可推得各初始值为，如果式的微分方程特征根 11101,2,2.2-8 2.2-70 LTIjntjjjnnmnmmnh tC etCytayta y tb ftb均为单根，则冲激响应式中各常数由式的初始值确定。一般而言，若描述系统的微分方程为 110111111011 2.2-9 12.29 2.2-10 2.2-10mnnnftb f th ty tf ty tytayta y tf th求解系统的冲激响应可分两步进行：选新变量，使它满足的微分方程为左端与式相同，而右端只含，即满足方程令式系统的冲激响应为 111 10 1,2.2-5)(2.2-7)2LTI2.2-9 2.2-11mmmmth tb htbhtb ht它可按前述方法求得 参见式（至。根据系统零状态响应的线性性质和微分特性，可得式（）的冲激响应 teetthteetteeteethteeteeteethteethththththththtftytytytythtftftftytytyttttttttttttttttn323232321323232132111111111163 12-2.214-2.2949432 3232 2-2.21-2.213-2.214-2.2 32 12-2.2 11-2.2 13-2.2 65 12-2.2 3265 LTI 2-2.2所述系统的冲激响应，得式将它们代入到式别为它的一阶、二阶导数分相同，即相同，故其冲激响应也中式与例。由于式现在求系统的冲激响应知，式，则由式设其冲激响应为，它满足方程选新变量解法一。求其冲激响应系统的微分方程为描述某二阶例 def LTIg2.2-2 0 2.2-16 tt g tTt二、阶跃响应一个系统，当其初始状态为零时，输入为单位阶跃函数所引起的响应称为单位阶跃响应，简称阶跃响应，用表示，如图所示。就是说，阶跃响应是激励为单位阶跃函数时，系统的零状态响应，即，若 1102.2-5 2.2-17 00,0121nnnjnf tf ttg tgtagta g ttgjn阶微分方程等号右端只含激励，如式。当激励时，系统的零状态响应 即阶跃响应满足方程，10 1 0000,1,2,1 2.2-202.2-191 g jnjjntjjtgtg tnggjntC eta由于等号右端只含，故除外，及其直到阶导数均连续，即有，若方程式的特征根均为单根，则阶跃响应 0 2.2-2112.2-192.2-200 2.2-9LTI d jCaf tttt t式中为式的特解，待定常数由式的初始值确定。如果微分方程的等号右端含有及其各阶导数，如式，则可根据系统的线性性质和微分特性求得阶跃响应。由于单位阶跃函数与单位冲激函数的关系为 d dLTId 2.2-22ad tttxxg th tt根据系统的微 积 分特性，同一系统的阶跃响应与冲激响应的关系为 d 2.2-22b tg th xx 3-2.21 LTI3-2.2 3-2.2输出图所示。左端加法器的，如端积分器的输入为，左，则其输入为为出设图中右端积分器的输统的微分方程所示系列写图解系统，求其阶跃响应。所示的如图例txtxtx 3 2 3 2 2.2-23a 2 2.2-23b 1.5xtx tx tf txtx tx tf ty tx tx t 即右端加法器的输出用的方法，不难求 2.23 3 22 2.2-24yty ty tftf t 得描述图所示系统的微分方程为 2 2.2-232.2-23a2.2-32.2-24 2 2.2-25 2.2-23a xxxxbgtg tgtgtgt求阶跃响应由式可见，若设式所述系统的阶跃响应为，则图所示系统即式所述系统的阶跃响应-由式可知，阶跃响应满足方程 1,2212 3 ()2 2.2-26 0 0 011,221 22.2-202.2-2600 xxxxxttxxgtgtgttgggtC eC etgg其特征根-，其特解为，于是得由式知，式的初始值均为零，即1212001 0 02 020 xxxgCCgCC。将它们代入到上式，有 的关系。满足式与容易验证，系统的冲激响应实际上，图所示系统的阶跃响应，最后得图将它们代入到式其一阶导数，于是得，可解得20-2.243 3-2.21232 3-2.223-2.2 2121 2121 21122222221thtgteet hteetgt gt gteeteeteetgteetgCCttttxxttttttxttx tutututuuLCuLCuCGuuu uGuCuiiitutuGCLscccscccscLccGCLcs25256 4-2.211 KVLKCL4-2.2 1S6.0F1.0H4.04-2.2 4-2.2所示电路的微分方程为将元件值代入，得图由于有和，由按图列写电路方程解激响应和阶跃响应。为输出，求该电路的冲为输入，以，若以，所示的二阶电路，已知如图例 有和，由按图列写电路方程解激响应和阶跃响应。为输出，求该电路的冲为输入，以，若以，所示的二阶电路，已知如图例KVLKCL4-2.2 1S6.0F1.0H4.04-2.2 4-2.2tutuGCLcsscLccGCLuu uGuCuiii d dKVL 11 2.24 62525LLcccccscccsiuLLCuLGutGuuuuCLCLCutututut由于将它们代入到方程并整理，得将元件值代入，得图所示电路的微分方程为 2 6 2525 2.2-27 0 000 sutth thth th tthh求冲激响应按冲激响应的定义，当时，电路的冲激响应满足方程用前述方法，不难求得其值分别为 21,2 00 0252.2-27 625 03j4002.2-27hhtth t 式的特征方程为其特征根。考虑到时，冲激响应与式的齐次方程。333321 cos 4sin 4 cos 4sin 4 4 sin 44cos 4 3 cos 4sin 4 00 tttth teCtDtth teCtDtteCtDtteCtDttt形式相同，由表，有其导数令，并代入时刻的初始值，有 3 00 0432506.25 6.25sin 4 2.2-28thchDCCDh tett可解得，于是得该二阶电路的冲激响应为 3 6 2525 2.2-290 002.2-2000 00 2.2-2912-1 suttg tgtgtg tt g gg g求阶跃响应按阶跃响应的定义，当，电路的阶跃响应满足方程由式可知，其值。式的特征根同前，其特解为。由表，阶跃响应可写为 33333 cos 4sin 41 cos 41cos 414sin 43cos 4tttttg teCtDttg tAett g tAettAetAett 或其导数 300 0cos10 04 sin3 cos031 arctan36.91.254cos2.24 1 1.25cos 4ttgAgAAAg te 令并代入值，有可解得，-最后得图所示电路的阶跃响应为 336.9 1cos 40.75sin 4tttettt 2.3 LTI 1.411LTInnptpt卷积积分卷积方法在信号和系统理论中占有重要地位。这里所要讨论的卷积积分是将输入信号分解为众多的冲激函数之和 这里是积分，利用冲激响应，求解系统对任意激励的零状态响应。一、卷积积分在中定义了强度为 即脉冲波形下的面积为，宽度很窄的脉冲。设当作用于 2.3 1nht系统时，其零状态响应为，如图所示。为整数。式中即，和近似地等于成。所有这些窄脉冲的不同的窄脉冲组列强度不同，接入时刻近似地看作是由一系这样，可以将。为脉冲下的面积时刻，其强度个脉冲出现在。其中第脉冲，如图的窄分解为许多宽度。把激励。为了方便令现在考虑任意激励信号系统，其冲激响应所以，对于显然，由于kktpkftftftfrrkrktkrtfnrtftht htpt nknnnn3-2.3 2-3.22 2-2.3 lim LTI1-2.3 lim 2-2.3 lim LTI1-2.3 lim tht htpt nnnn系统，其冲激响应所以，对于显然，由于 即，和近似地等于成。所有这些窄脉冲的不同的窄脉冲组列强度不同，接入时刻近似地看作是由一系这样，可以将。为脉冲下的面积时刻，其强度个脉冲出现在。其中第脉冲，如图的窄分解为许多宽度。把激励。为了方便令现在考虑任意激励信号tftfrrkrktkrtfnrtf 2-3.22 lim 2.3-1LTI lim nnnn tpt h tht显然，由于所以，对于系统，其冲激响应 2.3-2 22.32 f tf tnktkf kf tf t 现在考虑任意激励信号。为了方便令。把激励分解为许多宽度的窄脉冲，如图。其中第 个脉冲出现在时刻，其强度 脉冲下的面积 为。这样，可以将近似地看作是由一系列强度不同，接入时刻不同的窄脉冲组成。所有这些窄脉冲的和近似地等于，即 为整数。式中kktpkftfnk3-2.3 LTILTI 1.6 2.3-40dnnzsnkpthtytf khtknk 如果系统在窄脉冲作用下的零状态响应为，那么，根据系统的零状态线性性质和激励与响应间的时不变特性 见，在以上一系列窄脉冲作用下，系统的零状态响应近似为在即的极限情况下，将写，002.3 12.32 lim d 2.3-5 lim d 2.3-6zsnknzsnknf tytf tf kptkftytf khtkfh t 写作，它是时间变量，同时求和符号改写为积分符号。利用式和，则和可写为 1212122.36LTI d 2.3-72.3-7 zsytf th tftftf tfftftftf t它们称为卷积积分。式表明，系统的零状态响应是激励与冲激响应的卷积积分。一般而言，如有两个函数和，积分称为与的卷积积分，简称卷积。式常记作 12 def 1212 d 2.3-8ftftf tftftfft即 是锯齿波。形脉冲，的矩是幅度为所示。函数如图和设有函数对卷积概念的理解。明卷积的含义，有助于形能直观地表数学方法，它的有关图卷积积分是一种重要的二、卷积的图示tftftftf212123-3.2 12 2.3-8ff在卷积积分式中，积分变量是，函数、与原波形完全相同，只需将横坐标换为 即可。11tf22tf 的波形如虚线所示；，这里的位置将不同，譬如，的值不同时，变量线所示。请注意，当参中实，如图，就得到函数轴平移时间沿正将函数所示；，如图镜像对称的函数就得到与以纵坐标为轴线反转，代换，然后将函数的自变量用、将函数的值，其步骤如下：，这里譬如在任意时刻为了求出tfttttfttftfffftftfttttftf2222121222221112164c4-3.22 b4-3.21 20 11tf22tf2f 1f 221tff21ft22tf 121tff tftftf21 d d4-3.23 1211121121tfftftfftff值。实线所示，然后求积分如图，相乘，得函数与反转并平移后的函数将函数 11211112122 ac002.3-4 ed24tffttf tffttttt由图和可见，当及时被积函数等于零，因而上式积分限为由到，其积分值为，如图所示。该数值恰好是乘积曲线下的面积。需要注意，当参变量 取值不同时，上式的积分限也不相同，譬如，由图可见，其积分限由到；1f 1f 121fft11tf22tf 122fft tftftf21 a d e c b 协助确定。形。这可借助于简略的图下限是十分关键的步骤区间和相应的积分上、的取值正确地选取参变量、下限也不同。因此，的波形不同，积分的上分中被积函数取不同的值时，卷积积由上可见，当参变量的函数。，它是的卷积积分时刻轴平移，就得到在任意连续地沿将波形ttfftttftftfttf21212 4 d 221tff 121tff tftftf21 e2f 1f 221tff21ft22tf 121tff tftftf21 a d e c b 的卷积积分。和所示函数求图例tftf215-2.3 1-3.22f tf1 2f 12 2.3-5 0 2 2 22 2.3-90 20 03 02 40 2ff 解 图的函数可以写为 以 为自变量，2.3-10 tf1tt 22222121210 03 0240 22.35 b ffftfttfttfftftftf tft 将反转，得，其波形如图中虚线所示。将平移，就得到。当 从-逐渐增大时，沿轴从左向右平移。对应不同的 值，将与相乘并积分就得到与的卷积积分 212d 2.3-11ftfft 221212212 2.3622.362.39202.3 10002.3 110220 tftftttfttftfftf tttft 其计算结果如下：在该时间区间所处的位置参看图中左下角图形。函数图形的前沿是，后沿是，由图或式可知，当时，；由式知，当，即时，所以式的被积函数与的乘积等于零，因而。随着时间 的增加，移到此时间区 1212122222.36200022.3-62.3-1133 d2d2423 022.36ttfttftfftttf tfftttft 间，所处的位置参看图左上方几个图形。由于，和，即时，故被积函数仅在区间不等于零 即两函数图形的重叠部分，如图中所示。故由式得在该时间区间参见图中正上方的图形。由于当 2212202002023 2d34ttfttftfftttf t和时，而当和时，所以被积函数仅在区间不等于零，于是 122212124 24 222.3-633 2d4425 4 202404002.36 ttf t fttf tttfttfttfftf t 这时被积函数在区间不等于零（参看图右上方的几个图形），所以由于时，而这里时，所以当时，故参看图中右下角的图形。以上过程和计算结果都画在图 21222.360 2332d2 2t0423 2d3 024332d4 242tttttf tf tftttt 上。将以上各段的计算结果归纳在一起，得，2240 4tt，2123121312212-2.3-2 32221 2 12.3-8 32 d0000tf tetfttfttf tftf tftf tftf tftet ttt 例设，。求卷积积分；。解将、代入到式有上式中，对于，当时为零，故从-到 的积分为零，因而积分下限可改写为；对于，当，即时为零 22t120221201)6 d 3 1e 0 323 1tttttttf tftetf tftettet，故从 到 的积分为零，因而积分上限可改写为，于是有(考虑到在区间，显然，上式适用于积分上限大于下限，故应写为。到分应由区间不等于零，因而积积在时，二者的乘，因而积分为零；当时，二者的乘积等于零当的波形。不难看出，、时和画出了参变量图tttttfftt0000007-3.221 13213221302 2.3-8 322 d00220220221 6dttf tftf tftetttttttf tfte 将和代入到式有上式中，对于，当时为零，故积分下限可改写为；对于，当，即当时为零，故积分上限可改写为，于是得 在区间，223 1te 2221313220 3223 122.3822220202ttttf tftettetttffttttt 显然，上式适用于积分上限大于下限，即，故应写为图画出了参变量和时，、的波形。不难看出，当时，二者乘积为零，积分也为零；当时，二者的乘积在区间不为零，故积分限应由 到。视具体情况而定。譬如，否则，那么二者的卷积存在，、，积函数，即若可，若二函数均为有始的的存在条件。可以指出这里不去研究卷积积分与该函数的性状有关，或收敛卷积积分是否存在一般而言，两个函数的00 2211tftttftt 查阅。分列于附录一中，以备几种常用函数的卷积积存在。，因而其卷积积分不时，上述极限趋于无限，即而当故有时，即当不存在。又如等等，而 0-14-2.3 -eee 0elim 0-1elim-e 0e-edeeee 12-2.3 21d 12-2.3 dd t-t-t-t-t-0-t-t-t-t-200ttttttttttttttttttt tftftffftftftftttfftftftftftftf121-22-1212-1211221 d d d 8-2.31-2.4 ，这样上式可写为应换为，则换为将变量这可证明如下，由式交换律一、卷积的代数运算。与积分的次序也可交换的次序可以交换，导数，这时二重积分或存在的收敛的的讨论均设卷积积分是能简化系统分析。以下，灵活地运用它们运算规则质算，它有许多重要的性卷积积分是一种数学运2.4 卷积积分的性质卷积积分的性质 下的面积相等。曲线下的面积与，乘积函数时刻律的几何含义是对任意波型。由图可见，交换分别画出了以上运算的图而，故上式为时；而时考虑到，故上式为时；而时考虑到按式解。和，分别求，设例tfftfftteetetftfteetftfttteetftfttttetftftftftftfttftetftttttttttttt12210-12012021211221211-4.211dd 11d 00011d 000d 8-3.2 1-4.2 所示。应，如图产生的零状态响的两个子系统相并联所和为冲激响应应等于激励分别作用于的系统产生的零状态响响应为表明，激励作用于冲激，那么式是系统的冲激响应是激励，而响应之和；或者假如等于每个激励的零状态的零状态响应将表明几个输入信号之和是激励，那么式和是系统的冲激响应，理解，假如它的物理含义可以这样可直接导出，由这个关系式由卷积定义分配律2-4.22-4.22-4.2 dd d 2-2.4 332232112131213-12-132-13213121321tfthtfthththtftftftftftftfftfftfftfftftfftftftftftftftftftftf 。，亦即式中，得换为将中括号内的交换上式积分的次序并这可证明如下结合律tftfxxtfxftfxxtfxftftftftftffxxtfxfftffftftftfxtffftftftftftftftftftf12-3223-3223321231321321321321321321321dd d dd dd dd 32.4 所示。、以交换次序，如图可、统应用交换律可知，子系的系统的零状态响应。响应为状态响应等于一个冲激的两系统相级联，其零，和别为表明，如有冲激响应分式3-423-4.2 32323322ththtftfthtfthtfth th3 tyf tyf ththtftfth3132 tyf 5-2.4 -4-2.4 .5-3.23.2 4-2.4 d 111ttftftttttftftftttftftfttftttf，可得之一，将它进一步推广是卷积运算的重要性质式。较直观地得出的结论式开始时，比身。这正是激函数的卷积就是它本上式表明，某函数与冲即，可得持和卷积运算的交换律利用冲激函数的取样性激函数。况是两个函数之一是冲卷积积分中最简单的情卷积二、函数与冲激函数的 请读者自行证明。所示。式其图形如图此外还有，则有中如令式7-4.25-4.27-22.4 6-22.4 5-4.2 2112212112212tttttttfttttfttttttttttttttf 212121212211221112211221221122112112212211 5-2.4 8-2.4 6-4.25-2.4 tttfttttftttttftftttftttfttfttfttfttftttftttftttftttfttfttftttfttfttfttfttf而且有，上式可写为这可证明如下：根据式结论。即若合律可得以下的重要以及卷积的交换律、结、应用式 所示。的图形表示如图。式相同，其延时为的系统，其零状态响应延时为的激励作用于冲激响应的系统，与延时为为的激励作用于冲激响应那么延时为，的系统之零状态响应作用于冲激响应为表明，如激励式6-4.28-4.28-4.221122121tttttttytfthtff 25353 8-4.221-3.22253 2 3-52d53 053033d5353 8-2.3153e2 53 1 2-2.4 532ttttttttttttttttttttttttttttttttt可得，。再应用式的结果，即也可直接利用式区间，即有即区间，故上式适用于由于积分上限大于下限，故上式可写为，；，考虑到按卷积定义式解。；计算下列卷积积分例例例 2e12e 2e-121e 2ee 53ee 53ee53e e121e 1-2.4 22-t2-6262626326222tttttttttttttttttttttt-t-t可得由例 。所示，试求如图为整数。函数式中，它可写为表示有此文献用表示梳状函数，它可用符号序列，可称为的周期性单位冲激函数画出了周期为图例ttftftfmt-mTtttTTTT00-mTb7-4.29-2.4 comba7-2.4 3-4.2 mmmTmTtfmTttfmTttfttftf0000 5-4.2 可得，并应用式根据卷积运算的分配律解 将互相重叠。的波形中，各相邻脉冲那么的宽度意的是，如果数的表示方法，需要注本例提供了一个周期函相同。波型与号，它在每个周期内的的周期信也是周期为。由图可见，卷积的波形就是图与所示，那么，如图假定其宽度的波形如果ttfTtftfTttfttfTtfTTT000000 c7-4.2b7-4.2 15-2.4 14-2.4 13-2.4 12-2.4 d 11-2.4 dd 1-2121-11-12121111221t-def 1 def 111tftftftft ftftftftft ftftftftft fxxftfttftftftftf积分则其导数若积分，即表示一次号表示其一阶导数，用符，用符号对任一函数、积分运算不同。与普通函数乘积的微分都卷积的微分戒积分运算则与普通乘法类似，但上述卷积代数运算的规三、卷积的微分与积分 tftfxxffxxffxxfftftftftffttftftftftftffttfttt121212121121112112121211 dd dd dd 14-4.2ddd dddddd ，对于积分有即得式同理可得先证导数 。系统的微分和积分特性中正是和式式多重积分的运算规则。明了卷积的高阶导数和表分的次数。式阶数，取负整数时为积取正整数时表示导数的或式中当用类似推导还可得成立的条件。可看作是式，故式则有。若故必须使为前提条件，由于分后仍能还原为进行一次微分、一次积对注意：上式的成立是以求积分，则有求导数或对式如果对式即得式同理可得LTI1.6 15-4.214-2.4 17-4.217-2.4 a16-4.2b16-4.20lim16b-2.4 0 0limlimddd 16a-2.4 14-4.215-2.4 15-4.2 dd 2121212121211-21212112111211211112121jitftftftftffftftftftftftffftftftftftftftftftftftftftfxxfftfiiitttt 阶跃响应的积分。响应等于相应的一系理作用下，系统的零状态不变性，在激励系统的零状态线性和时，根据为在时刻函数不同、幅值不同的阶跃分解成一系列接入时间励义是：把激的卷积积分。其物理含与系统的阶跃响应导数激励的系统的零状态响应等于，它表示上式称为杜阿密尔积分可得卷积积分，利用式激励与系统冲激响应的系统的零状态响应等于tftftftgtftgftgtfthtfthtftyzsLTIdLTI18-2.4 d 16a-2.4LTI?-1111 的卷积。与中函数求图例tftf218-2.4 4-4.2 所示。，如力所示。卷积，其波形如图求积