第2讲充分条件与必要条件、全称量词与存在量词

第2讲充分条件与必要条件全称量词与存在虽词、知识梳理1 充分条件必要条件与充要条件的概念若P? q，则P是q的充分条 性,q是P的必要条件P是q的充分不必要条件P? q 且 q?/ PP是q的必要不充分条件p?/ q 且 q? pP是q的充要条件p?qP是q的既不充分也不必要条件p?/ q 且 q?/p注意不能将“若P，则与“P?q“混为一谈，只有“若P，则为真命题时，才有? q”，即“p? q ? “若p，则q“为真命题2全称命题和特称命题(1) 全称虽词和存在虽词虽词名称常见虽词符号表示全称量词所有、一切、任意、全部、每一个等9存在虽词存在一个、至少有一个、有些、某些等9(2)全称命题和特称命题名称形式全称命题特称命题结构对M中任意一个x，有p(x)成立存在M中的一个xo，使p(xo)成立简记? x 丘 M，p(x)?xoM j p(xo)否定? xo G M i p(xo)? xM i p(x)常用结论1 从集合的角度理解充分条件与必要条件若P以集合A的形式出现 q以集合B的形式出现 即A= x|p(x)，B= x|q( x)，则矢于充分条件，必要条件又可以叙述为：若A?B 则p是q的充分条件;若A?B，则p是q的必要条件；若A=B 贝IJ p是q的充要条件；若A B，则p是q的充分不必要条件；(5) 若A B，则p是q的必要不充分条件；(6) 若A?/B且A?B，则p是q的既不充分也不必要条件2全称命题与特称命题的否定(1) 改写量词：确定命题所含量词的类型省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写(2) 否定结论：对原命题的结论进行否定二教材衍化1 “ (x-1) (x+ 2) =0是 “ x=1的(A 充分不必要条件B 必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析：选B 若x=1，则(X 1)(x4- 2)= 0显然成立，但反之不成立，即若(x1)(x + 2) =0，则x的值也可能为2故选B 2 命题 “？ xoW R，Iog2xo + 2 p(xo)与?xEMp(x)的真假性相反()答案:厂(2) Z (3) J (4)厂二、易错纠偏常见| (1)全称命题或特称命题的否定出错；误区(2)对充分必要条件判断错误1 命题“全等三角形的面积一定都相等”的否定是答案：存在两个全等三角形的面积不相等2 设 x R * 则“ 2-x0-是 “(X1)201” 的 _条件答案：必要不充分考点一全称命题与特称命题(基础型)以I理解全称量词与存在量词的意义，能正确地对含有一个量词的命题进行否定指导 核心素养：数学抽象1 (2020 西安模拟)命题“？ X0，x-i0*的否定是()XA ?x0 ，WoD ? XV 0 ， OWxWx-1xx解析：选B 因为 0，所以x1 所以0的否定是0WxW4 所以x 1x 1命题的否定是？ x 0，0W xW 1，故选B 2下列命题中的假命题是()A - ?xR * ex0B - ?xN x207TC ? xo G R In xo1D ? xo G N* sin 2X0=1解析：选B 对于B 当x=0时，x2 = 0，因此B中命题是假命题3 已知命题p : ?meR f(x) = 2x-mx是增函数则一！ p为()A ?mER . f(x) = 2x-mx 是减函数B ?mER . f(x) = 2x-mx 是减函数C ?mWR，f(x)=2x-mx 不是增函数D - ?mGR f(x)=2x-mx 不是增函数解析：选D 由特称命题的否定可得p为“？ mWR，f(x) = 2x-mx不是増函数” 4 (2020宁夏石嘴山期中)若命题“？ tW R，t2-2t-a0是假命题，则实数a的取值 范围是解析：因为命题 “ ？tWR，t2-2t-a0当owb时诚立；当a0 b0时，满足a ba b aba ba b但0aa0”是“T”的充分不必要条件，故选A ab(2)当 x-2= 2-xH寸，两边平方可得(x-2)2=2-x gR(x-2)(x-1)= 0，解得 xi = 2，X2当x=1时，-1= 1，不成立，故舍去，则X=2,所以p是q的充要条件，故选C -【答案】AC充分条件、必要条件的2种判断方法(1)定义法：根据P? q，q? P进行判断(2)集合法：根据p，q成立的对应的集合之间的包含尖系逬行判断提醒判断充要条件需注意3点（1）要分清条件与结论分别是什么(2)要从充分性、必要性两个方面进行判断(3)直接判断比较困难时，可举出反例说明1 （2019 高考天津卷）设 xW R，则 “ x2_5x0” 是 “ |x1|1” 的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析：选B 由x2-5x0可得0vxv5由|x-1|1可得0x2.由于区间（0，2）是（0，5）的真子集，故*5x0”是牛一 1| 两条直线的方程分别为6x + 4y+1=0，3x + 2y 2 = 0，此时两条直线平行；若直线2kx+ a- 1） y=1与直线6x+（1- X） y = 4平行，则2入x（1入=一 6（1- X） 所以X=- 3或九=经检验，两者均符合综上，“入=一 3”是“直线2kx+ （X-1） y=1与直线6x+（1- X） y= 4平行”的充分不必要条件，故选A考点三充分条件、必要条件的探求及应用（综合型）复习指导|寻求充分必要条件的思路（1）寻求q的充分条件p，即求使q成立的条件P ；（2）寻求q的必要条件p，即求使q为条件可推出的结论P-已知条件P ：集合P= x|x2-8x-20 x2-a (T为真命题的一个充分不必要条件是()A 9B aW 9C 10D a10解析：选 C 命题 M?xS1，3 x2-aW(T ? 44?xe(i，3 x2aM ?9W a.则 a事 10是命题H?xG1，3，x2- aWO”为真命题的一个充分不必要条件故选C .若“ x2-x-60是“xa”的必要不充分条件，则a的最小值为解析：由X2- x- 60，解得x3.-8x-200，得 2WxW 10，所以 P = x| 2W xW 10，由P是q的必要条件，知S? P.1 -m1+m 则 1 2，所以 0W mW 3.1 +m10，所以当时，p是q的必要条件，即所求m的取值范围是0，3-【迁移探究】(变结论)若本例条件不变，问是否存在实数 m，使p是q的充要条件 解：若P是q的充要条件，则P = S，1 m= 2， m= 3，所以所以1 + m= 10 * m= 9，即不存在实数m，使p是q的充要条件根据充要条件求解参数范围的方法及注意事项(4)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的尖系，然后根据集合之间的尖系列出其于参数的不等式(组)求解(2)求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间 的尖系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍 ，处理不当容易出 现漏解或增解的现象因为 V-x-60是4xaM的必要不充分条件，所以a是x|x3的真子集，即a$3 故a的最小值为3答案：3基础题组练1(2020安.徽蚌埠第一次教学质虽检查)命题p :存在常数列不是等比数列，则命题P为()A任意常数列不是等比数列B存在常数列是等比数列C任意常数列都是等比数列D不存在常数列是等比数列解析：选C因为特称命题的否定是全称命题，命题p ：存在常数列不是等比数列的否定命题P :任意常数列都是等比数列，故选C 2 设U为全集，A，B是集合 则“存在集 C使得A? C B? uG是“ AHB= ?”合的()A充分不必要条件C充要条件B必要不充分条件D既不充分也不必要条件解析：选A由A?C，B?uC，易知ACI B = ?，但ADB = ?时未必有A? C B? uC 如图所示，所以“存在集合C使得A?C B?uG是“AClB = ?”的充分不必要条件3 已知 f(x)= sin x- x，命题 p ： ? xW 0，2，f(x)以 f (x) b2 *但是ab，但是a2bc2得cHO，则有ab成立，即充分性成立，故正确；对于D，当a=- 5，b=1 0寸， |a|b|成立，但是ab，但是|a|b|”是“b”的既不充分也不必要条件故选CD-解析：因为P是P的否定，所以只需将全称量词变为存在量词，再对结论否定即可答案：? xo G (0 4-oo ) xoW xo+ 110 SA ABC 中，“A=B” 是 K tan A=tan B的条件解析：由 A = B 得 tan A=tan B，反之 1 若 tan A=tan B 则 A= B+ kTi, kW Z.因为0Ati, 0B 3)C - (一3，+oo )D (-3 1)1解析：选B 原命题的否定为？ xeR，2x2+ 0 由题意知，其为真命题， 则8 侈选)(2021预测)下列命题说法错误的是()A - ?xo$R，B ?xe R，2xx2Ca + b = 0的充要条件是a=-1bD 若x，yWR，且x+ y2，贝IJ x，y中至少有一个大于1解析：选ABC 根据指数函数的性质可得ex0，故A错误；x = 2时，2*x2不成立，a故B错误；当a = b = 0时，ba没有意义，故C错误；因为“x+y2，则x，y中至少有一个11 条件 P ： xa，条件 q ：2.(“若戸是q的充分不必要条件，则a的取值范围是；(2)若p是q的必要不充分条件，则a的取值范围是解析：设 A= x|xa B= x|x2 (1) 因为P是q的充分不必要条件，所以AB，所以a2 ；(2) 因为p是q的必要不充分条件，所以B A，所以a2.答案:(1)(2，+oo )(2)( -oo，2)12 已知集合 A= x|a-2x B= x|xW_2或 x4)，则 ACB = ?|的充要条件 是3 =(a-1) 2-4x2x20，则一 2a- 1 则一 1ab2，t 是“ab”的充分条件BMa2b2，t 是“ab”的必要条件C “ac2bc2” 是“ab“的充分条件D是七的既不充分也不必要条件大于T的逆否命题为“x，y都小于等于1，则x+yW2”，是真命题，所以原命题为真命 题，故选ABC9若命题p的否定是“？ xW(O，+00)，xx+T，则命题p可写为 a+ 2W 4，解析：AC1 B = ? ?0W aW2.a-2-2答案:0，2综合题组练111 (2020 辽宁丹东质虽测试(一)已知x，yWR，则“ x+ yW T是“ xE且曲 的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件誓：选B 当“ x + yW*T 时，女 x= 4，y=4，满足x + yWl，但不满足“進2Wh当“xWJ且yW 9时，根据不等式的性质有“x+yW仁故“x+yWT是且1yW12”的必要不充分条件故选B2 (2020湖南雅礼中学3月月考)若矢于x的不等式|x-1|a成立的充分条件是0x4，则实数a的取值范围是()A aW 1B a3D a$3解析：选D|x 1|a? - ax- 1a? 1-ax1+a 因为不等式|x-1|a成立的充分4)? (1-a 1+a)，所以4aWO，1 件是 0vx4，所以(0 ?a$3故D正确1 +a$433 设p ： U ix0) ； q : xS或x若p是q的充分不必要条件，则实数 m的取值范围为一1 1解析：因为P是q的充分不必要条件，又m0，所以2 W所以OvmW 2.和兀四门卩疋丿兀万答案:(0 214 若？ XoW 2 -2 2x02-Xox+1 0成立是假命题，则实数入的取值范围是以？灼2,2，使津解析：因为咙宀，使得歸-加+K。成立是假命题，所2x2-X+x10恒成立是真命题，即？ xW 21J，使得X2x+ x恒成立是真命题，令f(x)= 2x“+&)囲密)=2 xs，当 XW2 时，厂(x) 0，所以R2 =2 2，贝IJ X2 2.答案：（一 oo，2 2