231直线与平面垂直的判定与性质精编版

直线与平面垂直 的判定与性质 观察实例观察实例,发现新知发现新知 旗杆与地面的关系，旗杆与地面的关系，给人以直线与平面给人以直线与平面垂直的形象。垂直的形象。观察实例观察实例,发现新知发现新知 房屋的屋柱与地面的房屋的屋柱与地面的关系，给人以直线与关系，给人以直线与平面垂直的形象。平面垂直的形象。实例引入实例引入 生活中有很多直线与平面垂直的实例生活中有很多直线与平面垂直的实例 大桥的桥柱与水面垂直大桥的桥柱与水面垂直 直棱柱的侧棱与底面的位置关系 引入新课引入新课 一条直线与一个平面垂直的意义是什么？一条直线与一个平面垂直的意义是什么？A B 旗杆旗杆ABAB所在直线所在直线 直线垂直于平面内的直线垂直于平面内的 与地面内任意一条过点与地面内任意一条过点B B的直线垂直的直线垂直任意一条直线任意一条直线 与地面内任意一条不过点与地面内任意一条不过点B B的直线的直线B B1 1C C1 1也垂直也垂直 直线与平面垂直直线与平面垂直 定义：?内的任意一条直线都垂直，内的任意一条直线都垂直，如果直线如果直线 l 与平面与平面 l?互相垂直互相垂直，记作记作 我们说我们说直线直线 l 与平面与平面?的垂线的垂线 平面平面 垂足垂足 lP直线直线 l 的垂面的垂面?直线与平面的直线与平面的一条边垂直一条边垂直 思考：1.1.如果一条直线如果一条直线 l 和一个平面内的和一个平面内的无数条无数条直线都垂直线都垂直，则直线直，则直线 l 和平面和平面 互相垂直（互相垂直（?）l C?B 2.a?,b?a?b ()?直线直线 l 垂直于平面垂直于平面，则直线，则直线 l 垂直于垂直于平面平面中的任意一条直线中的任意一条直线 性质定理性质定理 线线垂直线线垂直 线面垂直线面垂直 直线与平面垂直直线与平面垂直 探究：探究：除定义外，如何判定一条直线与平面垂直呢？除定义外，如何判定一条直线与平面垂直呢？A 如图，准备一块三角形的纸片，做一个试验：如图，准备一块三角形的纸片，做一个试验：AAlPCCCAD?BBDD?C?BBD 当且仅当折痕当且仅当折痕 AD 是是 BC 边上的高时，边上的高时，AD所在直所在直 过过 的顶点的顶点A翻折纸片，得到折痕翻折纸片，得到折痕AD，将翻，将翻?ABC?垂直垂直 线与桌面所在平面线与桌面所在平面 折后的纸片竖起放置在桌面上（折后的纸片竖起放置在桌面上（BD，DC于桌面接触）于桌面接触）?3、归纳：、归纳：?一条直线与一个平面内的两条一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。此平面垂直。l b a A 符号语言符号语言:a?,b?,a?b?A,l?a,l?b?l?（1）定理中的）定理中的“两条相交直线两条相交直线”这一条件不可忽视；这一条件不可忽视；（2）定理体现了）定理体现了“直线与平面垂直直线与平面垂直”与与“直线与直线垂直直线与直线垂直”互相转化的数学思想。互相转化的数学思想。直线与平面垂直判定定理直线与平面垂直判定定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直则该直线与此平面垂直 l?al?ba?b?a?b?A?l?lb?Aa判定定理判定定理 线线垂直线线垂直 线面垂直线面垂直 4.直线和平面所成角直线和平面所成角 1.斜线斜线 和平面相交,但不垂直的直线叫做平面的斜线 2.斜足斜足 斜线和平面相交的交点 3.斜线在平面内的射影斜线在平面内的射影 过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线,过垂足垂足和斜足斜足的直线 P 平面的斜线斜线和它在平面内的射影射影所成的锐角锐角,叫做?直线和平面所成的角直线和平面所成的角 O B A 说明说明:1.若直线垂直垂直平面,则直线和平面所成的角为90 2.若直线和平面平行平行,或直线在平面在平面内内,则直线和平面所成的角为0 直线和平面所成角的取值范围为 0 0,90 异面直线所成角的取值范围？异面直线所成角的取值范围？斜线斜线 垂线垂线 例例1 已知已知 PO?,a?,a?AO求证 a?PA1D a?斜线在平面上的射影斜线在平面上的射影 C 1B 1C 找垂线找垂线 得射影得射影 A 11分别指出对角线分别指出对角线A1C 与六个面所成的角与六个面所成的角.A D B 1问题探究问题探究 1如果直线垂直于平面内的两条平行线，这条直如果直线垂直于平面内的两条平行线，这条直线垂直于这个平面吗？线垂直于这个平面吗？提示：不一定提示：不一定 垂直两条相交直线就可确定唯一垂直两条相交直线就可确定唯一平面若是平行直线，如图，直角三角尺的一直平面若是平行直线，如图，直角三角尺的一直角边放在平面角边放在平面内，另一直角边与内，另一直角边与倾斜一个角度，倾斜一个角度，则则在在内内，与与直直角角边边AC平平行行的的直直线线会会有有无无数数条也说明一条直线垂直于平面内无数直线，直条也说明一条直线垂直于平面内无数直线，直线不一定垂直于平面线不一定垂直于平面 2过一点垂直于某个平面的直线有几条？过一过一点垂直于某个平面的直线有几条？过一点垂直于某直线的平面有几个？点垂直于某直线的平面有几个？提示：提示：都是唯一一个都是唯一一个 3若直线若直线l垂直于平面垂直于平面，那么，那么l与平面与平面内的直内的直线有什么关系？线有什么关系？提示：提示：l垂直于平面内的所有直线垂直于平面内的所有直线 例例1 在正方体在正方体ABCDA B C D 中，求证：中，求证：BD平面平面 11111ACB1.【思路点拨】【思路点拨】解答本题从结论出发，要证解答本题从结论出发，要证BD1平面平面ACB1，只需证明只需证明BD1垂直于平面垂直于平面ACB1内某两条相交直线即可由于平面内某两条相交直线即可由于平面ACB1内的三条线段内的三条线段AC、B1C、AB1与与BD1的相对位置相同，因此的相对位置相同，因此只须证明只须证明BD1垂直于其中的任意一条，其余的同理可证垂直于其中的任意一条，其余的同理可证【证明】【证明】连结连结BD，ACBD.又又DD1平面平面ABCD，AC?平面平面ABCD，DD1AC，又又DD1BDD，AC平面平面D1DB，又又BD1?平面平面D1DB，ACBD1.同理可证同理可证BD1AB1，又又AB1ACA，例2 在正方体ABCD-ABCD中,求:(1)直线AB和平面ABCD所成的角(2)直线AB和平面ABCD所成的角 D A B O D A B C C 练习:P74 例例3 如图，在长方体如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，中，AA1ADa，AB2a，在棱，在棱D1C1上是否存在点上是否存在点E，使得，使得DE面面BCE.【思路点拨】【思路点拨】猜想猜想D1C1的中点，寻求的中点，寻求DE面面BCE的条件的条件【解】【解】若取若取D1C1的中点的中点E，BCCD，BCCC1，BC面面CDD1C1.又又DE?面面CDD1C1，DEBC.在在CDE中，中，CD2 a，CEDE2 a，222则有则有CDCEDE，DEC90.DEEC.又又BCECC，BC?平面平面BCE，EC?平面平面BCE，DE平面平面BCE.例例练习练习 在正方体在正方体ABCDABCDA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1 中，中，1.两直线与一个平面所成的角相等两直线与一个平面所成的角相等,它们平行吗它们平行吗？求直线求直线A A B B与平面与平面A A B B CDCD所成的角所成的角 1 11 1 1 12.两平行直线和一个平面所成的角相等吗？两平行直线和一个平面所成的角相等吗？D1 A1 Q C1 D1 A1 D A O C1 B1 F C E B 1B1 P 1D C A B 变式：（）求直线变式：（）求直线 ACAC与平面与平面A A1 1B B1 1CDCD所成的角所成的角 （）（）E E，F F分别是分别是BCBC，CCCC1 1的中点，求的中点，求EFEF与面与面ACCACC1 1A A1 1所成的角所成的角.三、实际应用，巩固深化 例例1：有一根旗杆有一根旗杆AB高高8米，它的顶端米，它的顶端A挂有一条长挂有一条长10米的绳子，拉紧绳子并把它的下端放在地面上的两点米的绳子，拉紧绳子并把它的下端放在地面上的两点（和旗杆脚不在同一条直线上）（和旗杆脚不在同一条直线上）C、D，如果这两点，如果这两点都和旗杆脚都和旗杆脚B的距离是的距离是6米，那么旗杆就和地面升起垂米，那么旗杆就和地面升起垂直，为什么？直，为什么？课堂练习：课堂练习：已知三角形已知三角形ABC，直线直线l AB，l AC，求证，求证l BC。C B D A 例例2：直线直线a、b和平面和平面有以下三种关系：（有以下三种关系：（1）a/b，（，（2）a，（，（3）b，如果任意取其中两个作为前提，另一个作为如果任意取其中两个作为前提，另一个作为结论构造命题，能构成几个命题？并判断其结论构造命题，能构成几个命题？并判断其真假。如果是真命题，请予以证明；如果是真假。如果是真命题，请予以证明；如果是假命题，请举一个反例。假命题，请举一个反例。命题命题1：如图，已知如图，已知a/b，a，求证：求证：b。a b?归纳归纳（直线与平面垂直的判定定理（直线与平面垂直的判定定理 2）?两条两条互相平行的直线互相平行的直线，如果有，如果有一条一条与一个平面与一个平面垂直垂直，则，则另一条另一条也与这个平面也与这个平面垂直垂直。命题命题2：如图，已知直线如图，已知直线a ，b ，那么那么a/b。a b 归纳（归纳（直线与平面垂直的性质直线与平面垂直的性质）：）：垂直垂直于于同一平面同一平面的的两条直线平行两条直线平行。课堂练习?1、如图，在三棱锥、如图，在三棱锥VABC中，中，VA=VC，AB=BC，求证：，求证：VBAC。V A B C 六课堂小结六课堂小结 1.1.定义：定义：如果一条直线垂于一个平面内的任何一条如果一条直线垂于一个平面内的任何一条直线，则此直线垂直于这个平面直线，则此直线垂直于这个平面.直线与平面垂直的判定方法直线与平面垂直的判定方法:2.2.判定定理判定定理:如果一条直线垂直于一个平面内的两条如果一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线，那么此直线垂直于这个平面。相交直线，那么此直线垂直于这个平面。线面垂直线面垂直?线线线线垂直垂直 3.3.如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一个平面。么另一条也垂直于同一个平面。4.4.如果直线和平面所成的角等于如果直线和平面所成的角等于 9090,则这条直线和则这条直线和平面垂直平面垂直 “平面化平面化”是解决立体几何问题的一般思路是解决立体几何问题的一般思路。