空间直角坐标系及向量运算的坐标表示ppt课件

（一一）空空间间直直角角坐坐标标系系 ox、oy、oz坐标轴坐标轴；7.2 7.2 空间直角坐标系及向量运算的坐标表示空间直角坐标系及向量运算的坐标表示7 7.2 2.1 1 空空间间直直角角坐坐标标系系1 1.空空间间直直角角坐坐标标系系的的建建立立（1）O 点坐坐标标原原点点；（2）三条互相垂直的数轴xyzo（3）xoy面、yoz面、zox面坐坐标标平平面面。x的横坐标点 M；y的纵坐标点 M；z的竖坐标点 M。2 2空空间间点点的的坐坐标标3 3特特殊殊点点的的坐坐标标（1）原点O（0，0，0）；（2）坐标轴上的点zzyyxx,0 ,0:0 ,0:0 ,0 ,:轴上的点轴上的点轴上的点；xyzoMxyz zPQR（1）M空间点),(zyx有序实数组。（2）的坐标点 M（1）卦限的概念（3）坐标平面上的点zxzoxzyyozyxxoy,0,:,0:0,:面上的点面上的点面上的点。4 4卦卦限限（2）各卦限中点的坐标的符号 卦限 坐标 一 二 三 四 五 六 七 八 x+-+-+y+-+-z+-ozyx5 5与与点点 分别关于各坐标平面、各坐标轴分别关于各坐标平面、各坐标轴 以以及及原原点点对对称称的的点点的的坐坐标标。),(zyxM（1）),(1zyxMxoyM面对称的点为关于与点；（2）),(2zyxMyozM面对称的点为关于与点；（3）),(3zyxMxozM面对称的点为关于与点；（4）),(4zyxMxM轴对称的点为关于与点；（5）),(5zyxMyM轴对称的点为关于与点；（6）),(6zyxMzM轴对称的点为关于与点；（7）),(7zyxMM原点对称的点为关于与点。6 6空空间间两两点点间间的的距距离离（1）设),(1111zyxM，),(2222zyxM为空间两点，.)()()(21221221221zzyyxxMMd则（2）点),(zyxM到原点的距离222zyxOMd。例 1求点 M（4，-3，5）到原点及各坐标轴的距离。255)3(4222MO，345)3(22MA，415422MB，5)3(422MC。解：轴点分别作过 oxM，轴 oy，轴 oz的垂线，垂 足分别为CBA ,，则它们的坐标分别为)0 ,0 ,4(A，)0 ,3 ,0(B，)5 ,0 ,0(C。故所求距离分别为 7 7坐坐标标轴轴的的平平移移czzbyyaxx 或 czzbyyaxx。设有两个坐标系)()(新和旧zyxoxyzo，且 这两个坐标系的各轴对应平行且指向相同。设点M的旧坐标为),(zyxM，新坐标为),(zyxM，新坐标系的原点在旧坐标系中的坐标为),(cba，则（二二）向向量量的的坐坐标标表表示示 1 1向向量量的的坐坐标标（1 1）基基向向量量（或或基基本本坐坐标标向向量量）（2 2）向向量量OM的的坐坐标标表表示示式式 设),(y,zxM为空间一点，作向量OM，CBA ,分别为点在 M轴 x上，轴 y上，轴 z上的投影点，则A点在轴 x上的坐标x 为，B点在轴 y上的坐标y 为，C点在轴 z上的坐标z 为，则有与轴 x、轴 y、轴 z的正向同向的单位向量，分别 kji ,记为，称为基向量基向量。由向量的加法得 OCOBOAQMAQOAOM kzj yi xOM 即。ixOA，jyOB，kzOC。式称为向量OM的坐标表示式，记作 ,y,zxOM 或),(y,zxOM，其中)(,y,zx称为向量的坐标 OM。),(zyxMoxyzAoBQCxyzijk ),(zyxkzj yi xOMM三元有序数组点一般地，设zyxaaaa,分别为在三个坐标轴上的投影向量，平移将向量 a，使其起点移到O坐标原点，因平移后的向 量与原向量相等，故它在坐标轴上的投影zyxaaa,仍为，故 a向量的坐标表示式为：kajaiaazyx ,zyxaaaa或 ix(2+jy2+kz 2）ix(1+jy1+kz 1）解：OAOBABa（2 2）以以),(111zyxA为为起起点点，),(222zyxB为为终终点点的的向向量量 ABa 的的坐坐标标表表示示式式。ixx)(12+jyy)(12kzz)(12，,121212zzyyxxABaABxyzao2 2向向量量的的模模和和方方向向余余弦弦 设非零的向量 a起点为坐标原点，终点为),(zyxaaaM，则 ,zyxaaaa，222zyxaaaOMa。a的方向可由该向量与三坐标轴正向的夹角 ,（其中,0)0 ,0 ，或这三个角的 余弦cos ,cos ,cos来表示。、称为的向量 a方方向向角角；cos、cos 、cos 称为的向量 a方向余弦方向余弦。OAM，OBM，OCM都是直角三角形，coscoscoscoscoscosaaaaaaaaaaaazyxzyx且 1coscoscos222。zyxoMaxayazaABC向量cos ,cos ,cos的模等于 1，由方向余弦所组成的向量是单位向量，即 cos ,cos ,cos a。解：4 ,4 ,3 31 ),2(2 ,1421MM，41)4(4322221MM，413cos，414cos，414cos，例 2已知)3 2,1 (1M、)1 2,4 (2M，21 MM求的 方向余弦以及与aMM 21同向的单位向量。.414 ,414 ,413 a例 3设的向量 a两个方向余弦为31cos，32cos，又6 a，的坐标求向量 a。解：1coscoscos222，31cos，32cos，32)32()31(1coscos1cos2222。2316cos aax，4326cos aay，4)32(6cos aaz，4 4,2 a 或 4 4,2 a。解：设C分点的坐标为),(zyx，则有21CMCM，有向线段21MM分成两个部分，使)1(21CMCM，xoyz1M2MC即 ,222111zzyyxxzzyyxx，例 4设有两点),(1111zyxM和),(2222zyxM，将点 C 求C分点的坐标。故有)(21xxxx，)(21yyyy，)(21zzzz，解之得C分点的坐标：1 21xxx，1 21yyy，1 21zzz。特别地，当1时，得C中点的坐标：2 21xxx，2 21yyy，2 21zzz。7 72 21 1 向向量量运运算算的的坐坐标标表表示示1 1向向量量的的加加减减法法与与数数乘乘的的坐坐标标表表示示设 kajaiaazyx ，kbjbibbzyx ，即 ,zyxaaaa，,zyxbbbb，则（1）,zzyyxxbabababa，（2）,zyxaaaa.两个非零向量ab的充要条件是ab，则可写成 ,xxab ,yyab ,zzab 或 zzyyxxababab。例 5已知 3 ,1 ,2a，4 ,1 ,2b，求ba，ba，ba23。解：ba7 ,0 ,44)(3 ,11 ,22；ba1 ,2 ,04)(3 ,11 ,22；ba23 9 ,3 ,61 ,5,28 ,2 ,4。2 2数数量量积积的的坐坐标标表表示示 若 ,zyxaaaa，,zyxbbbb，则 bazzyyxxbababa。.0 zzyyxxbababababa3 3两两非非零零向向量量夹夹角角余余弦弦的的坐坐标标表表示示式式若 ,zyxaaaa，,zyxbbbb 均为非零向量，则.),cos(222222zyxzyxzzyyxxbbbaaababababababa例 6已知kjia，kjib223，求ab、),cos(ba。解：1 ,1 ,1a，2 ,2 ,3b，ab1)2(12)1(31；511)2(231)1(11),cos(222222bababa。例 7求在xoy平面上与向量kjia734垂直的单位向量。解：7 ,3 ,4a，设所求的单位向量为 0 ,yxb，则有1 b，ab=0，从而得5453034122yxyxyx，0 ,54 ,53 b或 0 ,54 ,53 b。4 4向向量量积积的的坐坐标标表表示示 设kajaiaazyx ，kbjbibbzyx ，则 )()(kbjbibkajaiabazyxzyx )()()(kibajibaiibazxyxxx )()()(kjbajjbaijbazyyyxy )()()(kkbajkbaikbazzyzxz kbabajbabaibabaxyyxxzzxyzzy)()()(，即若,zyxaaaa、,zyxbbbb，则zyxzyxbbbaaakjiba。当 ,zyxbbb中出现零时，仍用式表示，但约定 相应的分子为零，例如 zzyyxbabaa0，应理解为xa=0，zzyybaba。若,zyxaaaa、,zyxbbbb 为两非零向量，则 ab0bazzyyxxbababa （其中 ,zyxbbb都不为零。）例 8求以)0 ,2 ,2(A，)1 ,0 ,1(B，)2 ,1 ,1(C为 顶点的三角形的面积。解：ABC的面积ACABS21。AB1 ,2 ,3，AC2 ,3 ,1，ABACkjikji75231123=7 ,5 ,1，325)7(512121222ACABS。问问：如何求hAB 边上的高？例 9求同时垂直于向量轴和 8 ,6 ,3xa 的单位向量。ca i=001863kji=6 ,8 ,0，10)6()8(0222c，与c平 行 的 单 位 向 量 有 两 个：解：取cia，ac 则，ic)(轴即xc。)(53 ,54 ,0同向与ccccc，)(53 ,54 ,0反向与ccc。5 5混混合合积积的的坐坐标标表表示示设),(zyxaaaa，),(zyxbbbb，),(zyxcccc，则kccbbjccbbiccbbcccbbbkjicbyxyxzxzxzyzyzyxzyx即 zyxzyxzyxcccbbbaaacba)(。yxyxzzxzxyzyzyxccbbaccbbaccbbacba)(故（1）三向量cba,共面0zyxzyxzyxcccbbbaaacba；（2）四点)4 ,3 ,2 ,1)(,(izyxMiiii共面 0141414131313121212zzyyxxzzyyxxzzyyxx.例 12已知不在一平面上的四点),(111zyxA，),(222zyxB，),(333zyxC，),(444zyxD，求四面体ABCD的体积。解：由立体几何知识可知，四面体的V 体积等于以向量 AB、AC和AD为棱的平行六面体的体积的六分之一。因而 61ADACABV，,121212zzyyxxAB，,131313zzyyxxAC，,141414zzyyxxAD，14141413131312121261zzyyxxzzyyxxzzyyxxV。上式的符号的选择必须与行列式的符号一致。作作 业业 习习 题题 二二P76P76 3 3；5 5；7 7；8 8；10 10；11 11；12 12；14 14；15 15；16 16；19 19。