结构力学力法对称性的利用

5.8 对称性的利用对称性的利用第五章第五章 力力 法法1.结构对称性的概念结构对称性的概念对称结构对称结构：几何尺寸、支承情况、刚度分布对称的结构。：几何尺寸、支承情况、刚度分布对称的结构。几何对称几何对称支承对称支承对称刚度对称刚度对称 （2）荷载的对称性）荷载的对称性正对称荷载：作用在对称结构对称轴两侧，大小相等正对称荷载：作用在对称结构对称轴两侧，大小相等,方向和方向和 作用点对称的荷载。作用点对称的荷载。反对称荷载：作用在对称结构对称轴两侧，大小相等，作用点反对称荷载：作用在对称结构对称轴两侧，大小相等，作用点 对称，方向反对称的荷载。对称，方向反对称的荷载。PP对称荷载对称荷载PP反对称荷载反对称荷载对称结构在正对称、反对称荷载作用下的内力和变形对称结构在正对称、反对称荷载作用下的内力和变形qPP基本受力特点：基本受力特点：正对称荷载作用下，结构的内力和变形都是正对称的；正对称荷载作用下，结构的内力和变形都是正对称的；反对称荷载作用下，结构的内力和变形都是反对称的。反对称荷载作用下，结构的内力和变形都是反对称的。特殊截面特殊截面 对称轴通过的截面对称轴通过的截面位移位移内力内力AFNMFQA正对称正对称反对称反对称A反对称反对称A、F称为正对称内力称为正对称内力F称为反对称内力称为反对称内力2.对称性利用之对称性利用之选择对称基本结构选择对称基本结构2FPX2X2X1X1选取对称基本结构的正对称基本未知量和反对称选取对称基本结构的正对称基本未知量和反对称基本未知量基本未知量 000P3333232131P2323222121P1313212111XXXXXXXXX 2FPX3X30311311 X1M12 X2M13 X3M 000333323223232221111PPPXXXXX 基本方程分为两组：基本方程分为两组：一组只含反对称未知量一组只含反对称未知量一组只含正对称未知量一组只含正对称未知量021123.对称性利用之对称性利用之荷载分组荷载分组FPFPFPFP2FP +只要结构是对称的，只要结构是对称的，对称性的利用就成为对称性的利用就成为可能！可能！对称结构在正对称结构在正对称荷载作用对称荷载作用下，反对称未下，反对称未知量为零。其知量为零。其结构的内力和结构的内力和变形是对称的。变形是对称的。正对称荷载作用下正对称荷载作用下:FPFPFPX2X2X1X1X3X3FPFPFP11 X13 X12 X01 P01 X反对称荷载作用下反对称荷载作用下:对称结构在反对称结构在反对称荷载作用对称荷载作用下，对称未知下，对称未知量为零。其结量为零。其结构的内力和变构的内力和变形是反对称的。形是反对称的。FPFPX2X2X1X1X3X3FPFPFPFP11 X13 X12 X03 P02 X02 P03 X 三三.取半个结构计算取半个结构计算 要使半结构能等效代替原结构的受力要使半结构能等效代替原结构的受力和变形状态。和变形状态。关键关键在于在于被截开处被截开处应按原结应按原结构上的位移条件及相应的静力条件设置相构上的位移条件及相应的静力条件设置相应合适的支撑。应合适的支撑。1.奇数跨对称刚架奇数跨对称刚架 正对称荷载作用下的半刚架正对称荷载作用下的半刚架 qCqCqCCq 反对称荷载作用下的半刚架反对称荷载作用下的半刚架PPCPPCPCPC 2.2.偶数跨对称刚架偶数跨对称刚架 正对称荷载作用下的半刚架正对称荷载作用下的半刚架PCPPCPPCPCPCPFPFEIAPFPF2EI2EIPF2EI 反对称荷载作用下的半刚架反对称荷载作用下的半刚架qaa2a例例:用力法计算图示结构。用力法计算图示结构。EI常数。常数。PM 图图qa2/2X111M 图图半边结构半边结构82qaM图图418PqaEI EIa3311138qaX1111P0X【解解】1 基本体系基本体系2 力法方程力法方程3 求系数和自由项，解方程求系数和自由项，解方程11PMM XM4aEI2EIEIEIEI2EI2EIEIEIaaaaP2FEIEIEI24PFEIEIP8F+656856=563564356456356456563564PF例例:用力法计算图示结构。用力法计算图示结构。aEI2EIEIEIEI2EI2EIEIEIaaaaPF564563568566566568568564563563M图图(FPa)例例:用力法计算图示结构。用力法计算图示结构。EI常数。常数。qqqqllX1基本体系基本体系1/4结构结构ql2/8ql2/8PM 图图11M 图图01111PX【解解】1 基本体系基本体系2 力法方程力法方程2112Xql11l EI3112PqlEI 3 求系数，解方程求系数，解方程11PMM XM4qqqqllql2/12ql2/12ql2/12ql2/12M图图合理利用对称性的合理利用对称性的关键关键在于：在于：保证计算模型的保证计算模型的受力受力特性、特性、变形变形情况情况与与原结构完全一致原结构完全一致。