z变换与拉氏变换的比较分析论文

变换与拉氏变换比较分析z1z变换与拉氏变换性质分析z变换是将离散系统的数学模型一一差分方程转化为简单的代数方程，使其 求解过程得以简化。对离散信号x(n)进行z变换时，只有当级数收敛，即满足 1 x(n)z-n时，其z变换X (z) = x(n)z-n才有意义。对于任意给定的有界n=gn=s序列x(n)，使z变换定义式级数收敛的所有z值的集合成为z变换X(z)的收敛域。在收敛域内，z变换及它的导数是z的连续函数，即z变换函数是收敛域内 每一点的解析函数。对于单边变换，序列与变换式具有 对应的关系，同时也 具有惟一的收敛域。而在双边变换时，不同的序列在不同的收敛条件下可能映射 为同一变换式。拉氏变换是将线性时不变系统的时域模型简便地进行变换，经求解再还原为时间函数。对连续信号进行拉氏变换时引入了一个衰减因子e-ct(q为任意实数)使之与原函数f (t)相乘，取时间t T8的极限，若当cc时，该极限为零，则 0函数f(t)e-c?在cc的全部范围内收敛，其积分存在，可以进行拉氏变换。对 0于有界的非周期信号的拉氏变换一定存在，对于周期信号只要稍加衰减就可收敛，由f (t)的性质与c值得相对关系决定其收敛坐标C。与z变换情况类似，单 0边变换序列对于惟一变换式及收敛域，双边变换不同序列不同收敛域可能映射为 同一变换式。2 z变换与拉氏变换比较分析(一) z平面与s平面的映射关系z变换中复变量z与拉氏变换中复变量s具有一下关系：1z = esT (1-1)或 s 二 In zT2兀式中T为序列的时间间隔，重复频率二一。T将s表示成坐标形式，z表示成极坐标形式，即：s =c + j(1-2) z = rejQ于是得到:2冗cr 二 ecr 二 e s(1-3)9 =T = 2 兀上式表明sz平面有以下映射关系:(1) s平面上的虚轴Q二0,s二j)映射到z平面是单位圆，其右半平面映射到 z平面是单位圆的圆外，左半平面映射到z平面是单位圆的园内。s平面的实轴( = 0,s = 6映射到z平面是正实轴，平行于实轴的直线( 为常数)映射到z平面是始于原点的辐射线，通过j竺(k二1,3,)而平行于实 2轴的直线映射到z平面是负实轴。(3)由于ej是以为周期的周期函数，因此在s平面上沿虚轴移动对应于zs平面上沿单位圆周期性旋转，每平移，则沿单位圆转一圈。所以z s映射并s不是单值。此外，s平面是直角坐标平面，z平面则是极坐标平面。(二) z变换与拉氏变换表达式之对应z变换的定义可以借助抽样信号的拉氏变换引出。即在一定条件下，对连 续信号进行抽样后取拉氏变换与相应的离散信号的z变换的作用是等效的。如果序列x(n)各样值于x(t)6r(t)各冲击函数的强度相对应，就可借助符号z = esT，将抽样信号的拉氏变换移植来表示离散时间信号的z变换。若连续时间信号x(t)由N项指数信号相加组合而成X(t) = X (t) + X (t) +. + X (t)=迓X (t)=迓 Aep/u(t)(1-3)12Niii=1i=1它的拉氏变换为X(t)=兰丄一(1-4)i=1 s - P若序列X(nT)由N项指数信号相加而成X(nT) = x (nT) + x (nT) +. + x (nT)=迓x (nT)=迓 Aep(.nru(nT) (1-5)12Nii它的 z 变换为x(nT) = iAi(1-6)1 - epz -i i=1按抽样规律建立两者联系时满足x (t)u(t) I(当n 丰 0)it=nTx (nT)u(n) = x (t)u(t) I(当n = 0)时可以建立z变换与拉氏变换之间的对应关系。在已知式(1-4)时，弓I用A、p填入式(1-6)即可求得x(nT)的zi i变换。(三) z变换与拉氏变换的意义拉氏变换可以看作是傅里叶变换的一种推广。傅里叶变换的物理意义就是 将通常在时域表示的信号，分解为多个正弦信号的叠加。每个正弦信号用幅度、 频率、相位就可以完全表征。傅里叶变换之后的信号通常称为频谱，频谱包括 幅度谱和相位谱，分别表示幅度随频率的分布及相位随频率的分布。但对于傅 里叶变换而言其存在条件的约束(时域内绝对可积的信号才可能存在傅里叶变 换)使得其应用也受到一定程度的限制。而拉氏变换的引入正好摆脱了这一约 束，使其得到更为广泛的应用。从数学观点看，拉氏变换是将原始信号乘上一 个指数信号衰减因子，使信号满足绝对可积的条件，从而进行变换。因此我们 也可以将傅里叶变换看做是拉氏变换的一种特殊形式，即所乘的指数信号为eo。 从物理意义看，拉氏变换是将频率变换为复频率s，w只能描述振荡的重复 频率，而s不仅能给出重复频率，还可以表示振荡幅度的增长速率或衰减速率。 运用拉氏变换可以使对微分方程的求解得到简化，将时域中两函数的卷积运算 转换为变换域中两函数的乘法运算，并在此基础上建立了系统函数的概念，利 用系统函数代替了微分方程，并利用其零、极点分布简明、直观地表达出了系 统的特性。在经典控制理论中，对控制系统的分析和综合，都是建立在拉氏变 换的基础上的。因此，拉氏变换在线性系统、控制自动化上都有广泛的应用。z变换可以说是针对离散信号和系统的拉氏变换。它在离散系统中的地位 与作用，类似于连续系统中的拉氏变换。z变换中的z平面与拉氏变换的s平面 存在一对多的映射关系，即z = esT。在z变换中，单位圆上的结果即对应离散 时间傅里叶变换的结果。由于离散信号是对连续信号的抽样得到，因此z变换 的输出X(z)只确定了时间函数x(t)在抽样点瞬间的数值，不能反映x(t)在采样 点间的数值。而且在对连续信号的抽样信号进行拉氏变换来表示离散时间信号 的z变换时其脉冲响应在t 0处的波形必须没有跳变。3结论z变换和拉氏变换分别在离散系统和连续系统的分析中的具有重大意义。 而且这两种变换域方法之间并不是孤立的，而是存在着密切的联系。