li87空间直线及其方程

第七节第七节 空间直线及其方程空间直线及其方程一、空间直线方程一、空间直线方程二、两直线的夹角二、两直线的夹角三、直线与平面的夹角三、直线与平面的夹角一、空间直线方程一、空间直线方程xyzo01111DzCyBxA02222DzCyBxA1 2 L因此其一般式方程1.一般式方程一般式方程 直线可视为两平面交线，xyzo方向向量的定义：方向向量的定义：如果一非零向量平行于如果一非零向量平行于一条已知直线，这个向量称一条已知直线，这个向量称为这条直线的为这条直线的方向向量方向向量sL),(0000zyxM0M M,LM ),(zyxMsMM0/,pnms ,0000zzyyxxMM 2、空间直线的对称式方程与参数方程pzznyymxx000 直线的对称式方程直线的对称式方程tpzznyymxx 000令令 ptzzntyymtxx000直线的一组直线的一组方向数方向数方向向量的余弦称为方向向量的余弦称为直线的直线的方向余弦方向余弦.直线的参数方程直线的参数方程说明说明:某些分母为零时,其分子也理解为零.mxx000yyxxnyy0pzz0此式称为直线的对称式方程对称式方程(也称为点向式方程点向式方程)直线方程为),(0000zyxM),(zyxMs例如,当,0,0时pnm可将对称式方程拆为一般方程可将对称式方程拆为一般方程如对称式方程为如对称式方程为111101 zyx可写成一般方程可写成一般方程 可将直线的对称式方程可将直线的对称式方程又如又如110101 zyx注注 )0(zy即即可写成一般方程可写成一般方程pzznyymxx000 01 x11 zy 1 x1 y化为一般方程吗化为一般方程吗 各类直线方程的互换各类直线方程的互换xyzO11例例1 1 求过点求过点A(1,2,-3)(1,2,-3)和和B（2,-1,52,-1,5）的直线方程）的直线方程.解解 因为直线过点因为直线过点A和和B,所以所以:ABs 可取直线的方向向量可取直线的方向向量),8,3,1(:直线的对称式方程为直线的对称式方程为 11x 32y.83 z例例2.用对称式及参数式表示直线解解:先在直线上找一点.043201 zyxzyx632zyzy再求直线的方向向量2,0zy令 x=1,解方程组,得交已知直线的两平面的法向量为是直线上一点.)2,0,1(故.s,)1,1,1(1n)3,1,2(2n21ns,ns21nns故所给直线的对称式方程为参数式方程为tztytx32 41t41x1y32z解题思路解题思路:先找直线上一点;再找直线的方向向量.)3,1,4(21nns312111kji解解因因为为直直线线和和y轴轴垂垂直直相相交交,所以交点为所以交点为),0,3,0(B取取BAs ,4,0,2 所求直线方程所求直线方程.440322 zyx解解),1,3,1(的的参参数数方方程程为为直直线线1L例例4 4.22:13202:113121:21的交点的交点分别与平面分别与平面和和求直线求直线 zyxzxzyxLzyxL 得得联联立立,2213202 zyxzxzyx的交点为的交点为与与 2L,13121tztytx :,得得代入平面方程代入平面方程,32 t的的交交点点为为与与 1L).(,31,3 312L1L二、两直线间的夹角二、两直线间的夹角则两直线夹角 满足21,LL设直线 两直线的夹角指其方向向量间的夹角(通常取锐角)的方向向量分别为212121ppnnmm212121pnm222222pnm),(,),(22221111pnmspnms2121cosssss 1s2s特别有特别有:21)1(LL 21/)2(LL0212121ppnnmm212121ppnnmm21ss 21/ss直线直线:1L直线直线:2L,0,4,11 s,1,0,02 s,021 ss,21ss 例如，例如，.21LL 即即例例5.求以下两直线的夹角解解:直线直线二直线夹角 的余弦为13411:1zyxL0202:2zxyxL cos22从而4的方向向量为1L的方向向量为2L)1,2,2()1(1)2()4(212221)4(1222)1()2(2)1,4,1(1s2010112kjis 解解设所求直线的方向向量为设所求直线的方向向量为,pnms 根据题意知根据题意知,1ns,2ns 取取21nns ,1,3,4 .153243 zyx所求直线的方程所求直线的方程解解先作一过点先作一过点M且与已知直线垂直的平面且与已知直线垂直的平面 0)3()1(2)2(3 zyx再求已知直线与该平面的交点再求已知直线与该平面的交点N,令令tzyx 12131.1213 tztytx代入平面方程得代入平面方程得 ,73 t交点交点)73,713,72(N取所求直线的方向向量为取所求直线的方向向量为MNMN373,1713,272 ,724,76,712 所求直线方程为所求直线方程为.431122 zyx当直线与平面垂直时,规定其夹角线所夹锐角 称为直线与平面间的夹角;三三.直线与平面的夹角直线与平面的夹角当直线与平面不垂直时,设直线 L 的方向向量为 平面 的法向量为则直线与平面夹角 满足222222CBApnmpCnBmA直线和它在平面上的投影直),(pnms),(CBAn),cos(sinnsnsns L.2sn特别有特别有:L)1(/)2(L0pCnBmApCnBmAns/ns解解:取已知平面的法向量421zyx则直线的对称式方程为0432zyx直的直线方程.为所求直线的方向向量.132垂)1,3,2(nn例例8.求过点(1,2,4)且与平面解解,2,1,1 n,2,1,2 s222222|sinpnmCBACpBnAm 96|22)1()1(21|.637 637arcsin 为所求夹角为所求夹角.|sinnsns :直线与平面直线与平面.|cos2121nnnn :平平面面与与平平面面:直线与直线直线与直线.|cos2121ssss 关于夹角的说明:平面束平面束通过定直线的所有平面的全体称为通过定直线的所有平面的全体称为平面束平面束设直线设直线L L的方程为的方程为0022221111DzCyBxADzCyBxA不不成成比比例例、与与、其其中中系系数数222111CBACBA那么三元一次方程那么三元一次方程0)(22221111DzCyBxADzCyBxA称为通过直线称为通过直线L L的的平面束方程平面束方程注意：平面束方程（注意：平面束方程（3 3）中不包含平面（）中不包含平面（2 2）（2）（3）（1）)(为为任任意意常常数数其其中中.001,01上的投影直线的方程上的投影直线的方程在平面在平面求直线求直线 zyxzyxzyx的的平平面面束束的的方方程程为为过过直直线线 01,01zyxzyx,0)1()1(zyxzyx,0)1()1()1()1(zyx即即.为待定常数为待定常数其中其中 垂垂直直的的条条件件是是该该平平面面与与平平面面0 zyx例例1010解解,01)1()1(1)1(,01 即即.1 由此得由此得,0222 zy所所以以投投影影平平面面的的方方程程为为投影直线的方程为投影直线的方程为 .0,01zyxzy.01 zy即即1.1.空间直线方程空间直线方程一般式对称式参数式0022221111DzCyBxADzCyBxAtpzztnyytmxx000pzznyymxx000)0(222pnm 内容小结内容小结 ,1111111pzznyymxxL：直线0212121ppnnmm,2222222pzznyymxxL：212121ppnnmm2.线与线的关系线与线的关系直线夹角公式:),(1111pnms),(2222pnms 021ss21LL 21/LL021ss2121cosssss,0DzCyBxACpBnAm平面 :L L/夹角公式：0CpBnAmsin,pzznyymxx3.面与线间的关系面与线间的关系直线 L:),(CBAn),(pnms 0 ns0nsnsns L,031020123 zyxzyxL为为设直线设直线1995,数学一考研选择数学一考研选择,(3分分).(,0224则则为为平面平面 zyx 平平行行于于LA.上上在在 LB 垂垂直直于于LC.斜交斜交与与 LD.C),(pnms /提示提示)7,14,28()1,2,4()10,1,2()2,3,1(