第二章 一元二次函数、方程和不等式复习讲义(精心整理、好用、经典)

第二章第二章 一元二次函数、方程和不等式复习讲义学生版一元二次函数、方程和不等式复习讲义学生版【基础知识】【基础知识】一不等式与不等关系一不等式与不等关系1.应用不等式（组）表示不等关系；不等式的主要性质：(1)对称性：a b b a(2)传递性：a b,b c a c(3)加法法则：a b a c bc；a b,c d a c b d(同向可加)(4)乘法法则：a b,c 0 ac bc；a b,c 0 ac bca b 0,c d 0 ac bd(同向同正可乘)(5)倒数法则：a b,ab 0 11(6)乘方法则：a b 0 an bn(n N*且n 1)ab(7)开方法则：a b 0 na nb(n N*且n 1)2.应用不等式的性质比较两个实数的大小：作差法（作差变形判断符号结论）3.应用不等式性质证明不等式二基本不等式二基本不等式ab ab2a bab(当且仅当a b时取号).221若 a,bR R,则 a2+b22ab,当且仅当 a=b 时取等号.2如果 a,b 是正数，那么 a b变形：有:a+b2 ab；ab,当且仅当 a=b 时取等号.23如果 a,bR+R+,ab=P(定值),当且仅当 a=b 时,a+b 有最小值2 P;S2如果 a,bR+R+,且 a+b=S(定值),当且仅当 a=b 时,ab 有最大值.4注：（1）当两个正数的积为定值时，可以求它们和的最小值，当两个正数的和为定值时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”（2）求最值的重要条件“一正，二定，三取等”4.常用不等式有：22a ba bab 2(根据目标不等式左右的运算结构选用)；（1）2211ab1（2）a、b、cR R，a2 b2 c2 ab bc ca（当且仅当a b c时，取等号）；（3）若a b 0,m 0，则bbm（糖水的浓度问题）。aam三二次函数与二次方程、二次不等式三二次函数与二次方程、二次不等式一元二次不等式ax bx c 0或ax bx c 0a 0的解集：222设相应的一元二次方程ax bx c 0a 0的两根为x1、x2且 x1 x2，b 4ac，则不等式的解2的各种情况如下表：二次函数 0 0 0y ax2bx cy ax2bx cy ax2bx cy ax2bx c（a 0）的图象一元二次方程有两相异实根有两相等实根无实根ax2bxc 0a 0的根ax2bxc 0(a 0)的解集ax2bxc 0(a 0)的解集x1,x2(x1 x2)x1 x2 b2ax x x 或x x12b x x 2aRx x1 x x2四四分式不等式的解法分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。f(x)0 f(x)g(x)0;g(x)【基本题型】【基本题型】f(x)g(x)0f(x)0 g(x)g(x)0题型一题型一 不等式的性质不等式的性质例 1.下列命题中正确的是（）A若a b，则ac bcB若a b，c d，则ac bd222C若ab 0，a b，则11abD若a b，c d，则abcd变式训练 1.如果a 0，b 0，则下列不等式中正确的是（）A11abBa bCa bDa b22题型二题型二 比较大小（作差法、函数单调性、中间量比较，基本不等式）比较大小（作差法、函数单调性、中间量比较，基本不等式）例 2.已知a b 0,c 0,求证变式训练 2.用“”“”号填空：如果a b 0 c，那么题型三题型三 均值不等式均值不等式利用均值不等式求最值或证明不等式是高中数学的一个重点。在运用均值不等式解题时,我们常常会遇到题中某些式子不便于套用公式，或者不便于利用题设条件，此时需要对题中的式子适当进行拼凑变形。均值不等式等号成立条件具有潜在的运用功能。以均值不等式的取等条件为出发点，为解题提供信息，可以引发出种种拼凑方法。1 1、拼凑定和、拼凑定和通过因式分解、纳入根号内、升幂等手段，变为“积”的形式，然后以均值不等式的取等条件为出发点，通过因式分解、纳入根号内、升幂等手段，变为“积”的形式，然后以均值不等式的取等条件为出发点，均分系数，拼凑定和，求积的最大值。均分系数，拼凑定和，求积的最大值。例例3.3.当cc。abcc _ba时，求y x(82x)的最大值变式训练 3.已知x,y R，且x 4y 1，则x y的最大值为2 2、拼凑定积、拼凑定积通过裂项、分子常数化、有理代换等手段，变为“和”的形式，然后以均值不等式的取等条件为出发点，通过裂项、分子常数化、有理代换等手段，变为“和”的形式，然后以均值不等式的取等条件为出发点，配项凑定积，创造运用均值不等式的条件配项凑定积，创造运用均值不等式的条件例例 4 4.设x 1，求函数y x5x2x1的最小值。x27x10(x 1)的值域为变式训练变式训练 4.4.求y x13 3、约分配凑、约分配凑通过“通过“1 1”变换或添项进行拼凑，使分母能约去或分子能降次。”变换或添项进行拼凑，使分母能约去或分子能降次。例例 5 5已知x 0,y 0，且191，求x y的最小值。xy3变式训练 5.已知x,y(0,),且111,则xxy2y的最小值为4 4、对勾函数单调性：在应用基本不等式求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数、对勾函数单调性：在应用基本不等式求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数af(x)x的单调性。的单调性。xk对勾函数y x,(k 0)x定义域(,0)(0,)，值域(-,-2 k 2 k,)奇函数渐近线：直线y x和直线x 0拐点：(-k,-2 k)，(k,2 k)1abAx2 BxCDx适合类型：x、2DxxbaAx BxC例例例例 6 6求函数y x25x 42的值域。四、一元二次不等式的解法四、一元二次不等式的解法例例 7 7解下列不等式（1）3x 4x4 0（2）变式训练 7.不等式 2x2x10 的解集是（）A、B、（1，+）C、（，1）（2，+）D、（1，+）21232（3）x1x3 2x x2x x 022五五.含参数的一元二次不等式的解法含参数的一元二次不等式的解法解含参数的一元二次不等式，通常情况下，均需分类讨论例例 8 8解不等式x(a)x1 0(a 0)421a思维点拨:含参数不等式,应选择恰当的讨论标准对所含字母分类讨论,要做到不重不漏.变式训练变式训练 8.8.解关于解关于 x x 的不等式的不等式ax(a 1)x1 0六六.不等式的恒成立不等式的恒成立：不等式恒成立问题的常规处理方式？（常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题，也可抓住所给不等式的结构特征，利用数形结合法）若不等式fx A在区间D上恒成立,则等价于在区间D上fxmin A若不等式fx B在区间D上恒成立,则等价于在区间D上fxmax B例 9.若关于 x 的不等式 a x2+a x+10恒成立，则 a 的取值范围是 0 x4变式训练 9.已知x 0,y 0且【巩固训练】【巩固训练】1.如果a 0，b 0，则下列不等式中正确的是（）A2191，求使不等式x y m恒成立的实数m的取值范围xy11abBa bCa bDa b222.下列命题中正确的是（）A若a b，则ac bcB若a b，c d，则ac bdC若ab 0，a b，则2211abD若a b，c d，则abcd3.已知实数a和b均为非负数，下面表达正确的是（）Aa 0且b 0Ba 0或b 0Ca 0或b0Da 0且b04.设a,bR，若a|b|0，则下列不等式中正确的是（）A、ba 0B、a b 0C、a b 0D、ba 05已知a,b为非零实数，且a b，则下列命题成立的是(C)A、a bB、a b abC、2222332211baD、abab2a2b6.已知a,b,c,d为实数，且c d。则“a b”是“ac bd”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C充要条件 D.既不充分也不必要条件.57.不等式|x 1|1的解集是8.设 Ax|x21，则 A B 等于()A.x|1x5B.x|x2C.x|1x0 或 2x5D.x|1x0,0。ab1111cc于是a b，即由 c_ba例 2.已知a b 0,c 0,求证题型三题型三 均值不等式均值不等式利用均值不等式求最值或证明不等式是高中数学的一个重点。在运用均值不等式解题时,我们常常会遇到题中某些式子不便于套用公式，或者不便于利用题设条件，此时需要对题中的式子适当进行拼凑变形。均值不等式等号成立条件具有潜在的运用功能。以均值不等式的取等条件为出发点，为解题提供信息，可以引发出种种拼凑方法。1 1、拼凑定和、拼凑定和通过因式分解、纳入根号内、升幂等手段，变为“积”的形式，然后以均值不等式的取等条件为出发点，通过因式分解、纳入根号内、升幂等手段，变为“积”的形式，然后以均值不等式的取等条件为出发点，均分系数，拼凑定和，求积的最大值。均分系数，拼凑定和，求积的最大值。例例3.3.当时，求y x(82x)的最大值解：当，即 x2 时取等号当 x2 时，y x(82x)的最大值为 8。变式训练 3.已知x,y R，且x 4y 1，则x y的最大值为2 2、拼凑定积、拼凑定积116通过裂项、分子常数化、有理代换等手段，变为“和”的形式，然后以均值不等式的取等条件为出发点，通过裂项、分子常数化、有理代换等手段，变为“和”的形式，然后以均值不等式的取等条件为出发点，配项凑定积，创造运用均值不等式的条件配项凑定积，创造运用均值不等式的条件例例 4 4.设x 1，求函数y x5x2x1的最小值。解：解：y x14x11 x145 2x1x11 0 x1459。x1当且仅当x 1时，上式取“=”。故ymin 9。x27x10(x 1)的值域为变式训练变式训练 4.4.求y x1当,即时,y 2（x1)45 9（当且仅当 x1 时取“”号）。x13 3、约分配凑、约分配凑通过“通过“1 1”变换或添项进行拼凑，使分母能约去或分子能降次。”变换或添项进行拼凑，使分母能约去或分子能降次。例例 5 5已知x 0,y 0，且191，求x y的最小值。xy19 y9x解解：x 0,y 0,191，x y x y10 610 16xyxyxy当且仅当19y9x时，上式等号成立，又1，可得x 4,y 12时，x ymin16xyxy变式训练 5.已知x,y(0,),且111,则xxy2y的最小值为3 2 24 4、对勾函数单调性：在应用基本不等式求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数、对勾函数单调性：在应用基本不等式求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数af(x)x的单调性。的单调性。xk对勾函数y x,(k 0)x定义域(,0)(0,)，值域(-,-2 k 2 k,)奇函数渐近线：直线y x和直线x 0拐点：(-k,-2 k)，(k,2 k)1abAx2 BxCDx适合类型：x、2DxxbaAx BxC例例1 1例例 6 6求函数y x25x 42的值域。1 t (t 2)tx2 412解：令x24 t(t 2)，则y x 5x2 4 x2411因t 0,t1，但t 解得t 1不在区间2,，故等号不成立，考虑单调性。tt15因为y t 在区间1,单调递增，所以在其子区间2,为单调递增函数，故y。t25所以，所求函数的值域为,。2四、一元二次不等式的解法四、一元二次不等式的解法例例 7 7解下列不等式123（3）x1x3 2x2x2x x 02222解：（1）原不等式化为3x 4x4 0，解集为 x 23（1）3x 4x4 0（2）2（2）原不等式化为x 2x3 0，解集为 R（3）原不等式化为x x1 0，解集为变式训练 7.不等式 2x2x10 的解集是（D）A、B、（1，+）C、（，1）（2，+）D、（1，+）22五五.含参数的一元二次不等式的解法含参数的一元二次不等式的解法解含参数的一元二次不等式，通常情况下，均需分类讨论例例 8 8解不等式x(a)x1 0(a 0)21a1)0，故对应的方程必有两解。本题只需讨论两根的大小即可。a11解：解：原不等式可化为：x a(x)0，令a，可得：a 1aa分析：分析：此不等式可以分解为：x a(x 当0 a 1时，a 1，故原不等式的解集为x|a x a1；a当a 1时，a 或a 1时,a 1,可得其解集为；a11,解集为x|x a。aa思维点拨:含参数不等式,应选择恰当的讨论标准对所含字母分类讨论,要做到不重不漏.1 2变式训练变式训练 8.8.解关于解关于 x x 的不等式的不等式ax(a 1)x1 0解：当 a0 时，不等式的解集为x x 1；当 a0时，a(x1)(x1)0；a211)(x1)0不等式的解集为x x 1或x；aa11当0a1时，1，不等式的解集为x 1 x；aa当 a0时，原不等式等价于(x当 a1时，111，不等式的解集为x x 1；aa当 a1时，不等式的解为六六.不等式的恒成立不等式的恒成立：不等式恒成立问题的常规处理方式？（常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题，也可抓住所给不等式的结构特征，利用数形结合法）若不等式fx A在区间D上恒成立,则等价于在区间D上fxmin A若不等式fx B在区间D上恒成立,则等价于在区间D上fxmax B例 9.若关于 x 的不等式 a x2+a x+10恒成立，则 a 的取值范围是 0 x4变式训练 9.已知x 0,y 0且191，求使不等式x y m恒成立的实数m的取值范围。xym,16【巩固训练】【巩固训练】1.如果a 0，b 0，则下列不等式中正确的是（A）A11abBa bCa bDa b222.下列命题中正确的是（C）A若a b，则ac bcB若a b，c d，则ac bdC若ab 0，a b，则2211abD若a b，c d，则abcd3.已知实数a和b均为非负数，下面表达正确的是（D）Aa 0且b 0Ba 0或b 0Ca 0或b0Da 0且b04.设a,bR，若a|b|0，则下列不等式中正确的是（D）A、ba 0B、a b 0C、a b 0D、ba 01 33322【解析】利用赋值法:令a 1,b 0排除 A,B,C,选 D.5已知a,b为非零实数，且a b，则下列命题成立的是(C)A、a bB、a b abC、222211baD、22ababa b6.已知a,b,c,d为实数，且c d。则“a b”是“ac bd”的BA.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C充要条件 D.既不充分也不必要条件.7.不等式|x 1|1的解集是20，8.设 Ax|x21，则 AB 等于(C)A.x|1x5B.x|x2C.x|1x0 或 2x5D.x|1x09.已知x,y,0,281，则xy的最小值为 64。xya(x 0,a 0)在x 3时取得最小值，则a _36_。x10.已知函数f(x)4x11.已知下列四个结论，则其中正确的个数为 1 个当x 0且x 1时,lg x 1 2；当x 0时,x 1 2；lg xx当x 2时,x 11的最小值为 2；当0 x 2时,x 无最大值。xx12.已知下列四个结，其中正确的是若a,bR,则ba 2ba 2；若x,y R,则lgxlg y 2 lgxlg y；aba b若x R,则x 4 2 x4 4；若x R,则2x 2x 2 2x2x 2。xx5213.已知lgxlg y 1，则的最小值是 2xy14.已知x 0，y 0，且x 2y xy 30，求xy的最大值法 二：x,yR，x 2y 2 2xy 2 2 xy，代 入x 2y xy 30中 得：2 2 xy xy 30解此不等式得0 xy 1815.函数fx x43在,2上（D）xA.无最大值，有最小值 7B.无最大值，有最小值-1C.有最大值 7，有最小值-1 D.有最大值-1，无最小值-116.不等式 x2ax40 的解集为空集，则 a 的取值范围是（A）.1 4A 4，4B（4，4）C（,44,)D（,4)(4,)17.不等式x0 的解为2x 110，.218.关于x的不等式x2 2ax 8a2 0(a 0)的解集为(x1,x2)，且x2 x115，则a(A)A.515715B.C.D.242219.若实数满足ab 2，则3a 3b的最小值是 6 .解：3a和3b都是正数，3a 3b2 3a3b 2 3ab 6当3a 3b时等号成立，由ab 2及3a 3b得a b 1即当a b 1时，3a 3b的最小值是 620.函数y a1x(a 0，a 1)的图象恒过定点A，若点A在直线mxny 1 0(mn 0)上，则11的最小值为4mnt24t 121.已知t 0，则函数y 的最小值为_.tt24t 11 t 4 2(t 0)，当且仅当t 1时，ymin 2解析：y tt1 5