导数公式例题课堂PPT

基本初等函数的导数公式基本初等函数的导数公式(x )=x -1.(ax)=ax lna.(ex)=ex.0(cc为任意常数).ln1)(logaxxa .1)(lnxx (sin x)=cos x.(cos x)=-sin x.(tan x)=sec2x.(cot x)=-csc2x.(sec x)=sec x tan x.(csc x)=-csc x cot x.导数公式导数公式,11)(arcsin2xx-反三角函数的导数公式：反三角函数的导数公式：,11)(arccos2xx-,11)(arctan2xx .11)cotarc(2xx-定理定理2.2.1设函数设函数 u(x)、v(x)在在 x 处可导，处可导，)0)()()(xuxuxv在在 x 处也可导，处也可导，(u(x)v(x)=u(x)v (x);(u(x)v(x)=u(x)v(x)+u(x)v(x);.)()()()()()()(2xuxvxuxvxuxuxv-导数的四则运算导数的四则运算且且则它们的和、差、积与商则它们的和、差、积与商推论推论 1(cu(x)=cu(x)(c 为常数为常数).推论推论 2.)()()(12xuxuxu-()uvwu vwuv wuvw乘法法则的推广：乘法法则的推广：【例题例题】求下列函数的导数：求下列函数的导数：解解根据推论根据推论 1 可得可得(3x4)=3(x4)，(5cos x)=5(cos x)，(cos x)=-sin x，(ex)=ex，(1)=0，故故f (x)=(3x4-ex+5cos x-1)=(3x4)-(ex)+(5cos x)-(1)=12x3-ex-5sin x.f (0)=(12x3-ex-5sin x)|x=0=-1又又(x4)=4x3，例例 1设设 f(x)=3x4 ex +5cos x-1，求，求 f (x)及及 f (0).例例 2设设 y=xlnx，求求 y .解解根据乘法公式，有根据乘法公式，有y =(xlnx)=x(lnx)(x)lnxxxxln11 .ln1x 解解根据除法公式，有根据除法公式，有22222)1()1()1()1)(1(11-xxxxxxxy例例 3设设,112-xxy求求 y .2222)1()1()1()()1()(1(-xxxxx.)1(12)1()1(2)1(222222 -xxxxxxx例例4 4 求下列函数的导数：求下列函数的导数：3(1)cosyxx-2(2)xyx e2(3)1xyx-32(4)23 sinyxxxe解：解：332(1)(cos)()(cos)3sinyxxxxxx-2222(2)()()()2(2)xxxxxxyx exex exex exxe22222(1)(1)(3)()1(1)xxxxxyxx-2221(2)(1)xxxx-222)1(1xx-32(4)(2)(3 sin)()yxxxe0)sin(3)(23-xxx)cos(sin362xxxx-高阶导数高阶导数如果可以对函数如果可以对函数 f(x)的导函数的导函数 f (x)再求导，再求导，所得到的一个新函数，所得到的一个新函数，称为函数称为函数 y=f(x)的二阶导数，的二阶导数，.dd22xy记作记作 f (x)或或 y 或或如对二阶导数再求导，则如对二阶导数再求导，则称三阶导数，称三阶导数，.dd33xy记作记作 f (x)或或 四阶或四阶以上导四阶或四阶以上导数记为数记为 y(4)，y(5)，y(n),dd44xy,ddnnxy或或 ，而把而把 f (x)称为称为 f(x)的一阶导数的一阶导数.例例5 5 求下列函数的二阶导数求下列函数的二阶导数(1)cosyxx(2)arctanyx(1)cos(sin)cossinyxxxxxx-xxxxxxxycossin2)cos(sinsin-21(2)1yx222)1()1(xxy-22)1(2xx-解：解：二阶以上的导数可利用后面的数学软件来计算二阶以上的导数可利用后面的数学软件来计算 2.2 ()()()()()dydy dudxdu dxdyfuu xduu xxyf uuyf u xxx定理若函数在点 可导，函数 在点 处可导，则复合函数在点 可导，且或记作：推论推论设设 y=f(u)，u=(v)，v=(x)均均可导，则复合函数可导，则复合函数 y=f (x)也可导，也可导，.xvuxvuyy 复合函数的求导法则复合函数的求导法则以上法则说明：复合函数对自变量的导数等于复合以上法则说明：复合函数对自变量的导数等于复合函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数.23tan4.1(31);2)sin(2);3)lncos;4);5)2xxyxyxyxyey-例 求下列函数的导数：）32322222222(1)(),()31,()3()()3(31)(31)3(31)618(31)yux u xxyuxuxu xxxxxxx解：函数可以分解为(2)2 cos(2)(2)1cos(2)2cos(2)2xyxxxxxx-把当作中间变量，(3)cos1sin(cos)tancoscosxxyxxxx-把当作中间变量，tantan2tan(4)tan()(tan)secxxxxyeexxe把当作中间变量，(5)(2)2 ln2()2 ln2xxxxyx-把当作中间变量，先将要求导的函数分解成基本初等函数先将要求导的函数分解成基本初等函数,或或常数与基本初等函数的和、差、积、商常数与基本初等函数的和、差、积、商.任何初等函数的导数都可以按常数和基本任何初等函数的导数都可以按常数和基本初等函数的求导公式和上述复合函数的求导初等函数的求导公式和上述复合函数的求导法则求出法则求出.复合函数求导的关键复合函数求导的关键:正确分解初等函数正确分解初等函数的复合结构的复合结构.求导方法小结：求导方法小结：2 3221(1);(2)cos3 (3)32 4 lgcos(32)xyxyyxxx-练习：求下列函数的导数(课堂练习)（）；（）222222222(1)6(1)(2)3 ln3 sin323(3)232cos(32)sin(32)(4)(32)4 tan(32)cos(32)cos(32)xxyxxyxyxxxxyxxxxx-解:例例5 5：求下列函数的导数：求下列函数的导数（1）（2）（3）（4）2cosxy 232-xxeyxylnlnln)1ln(2xxy2.2.5 隐函数的导数00()yxF xyF xyyy x与 的关系由方程（，）确定，未解出因变量的方程（，）=所确定的函数称为隐函数6()1.ydyyy xyxedx 例 设函数由方程所确定，求(1)(),()(1)1yyyyyyyyyxyxeyexeex eyxeyeeyxe -解：上式两边对 求导，则有 即1;2.xyyy隐函数的求导步骤：（）方程两边对 求导，求导过程中把 视为中间变量，得到一个含有 的等式（）从所得等式中解出227()cos().dyyy xyxyxdx-例 设函数由方程所确定，求222222222222222222 sin()()1 sin()(22)1 2 sin()2 sin()12 sin()1 2 sin()1 2 sin()12 sin()xxyxyxyyxyxyyyxxyyxyyyxyyxxyxxyyyxy -解：方程两边分别对 求导，得2()2.dyyy xxyyxdx练习：设函数由方程所确定，求2 ()()2 22(2)222xxyyyx yy yxyyyyyxy-解：两边分别对 求导，得 二元函数的偏导数的求法二元函数的偏导数的求法求 对自变量 (或 )的偏导数时,只须将另一自变量 (或 )看作常数,直接利用一元函数求导公式和四则运算法则进行计算.),(yxfz xyyx例例1 1 设函数设函数324(,)23,f x yxx yy-求求(,),xfx y(,),yfx y(1,1),xf(1,1),yf-解：解：xyxyyxxyxfxx43)32(),(2423-32423122)32(),(yxyyxxyxfyy-111413)1,1(2-xf14)1(1212)1,1(32-yf例例2 2 设函数设函数 求),ln()(2222yxyxzxzyz解：解：xxyxyxyxyxxz)ln()ln()(222222222222222212 ln()()()xxxyxyxyxy222 ln()2xxyx222 ln()1xxy类似可得类似可得2222222)()ln(2yxyyxyxyyz222 ln()1yxy 二元函数的二阶偏导数二元函数的二阶偏导数函数函数 z=f(x,y)的两个偏导数的两个偏导数),(yxfxzx ),(yxfyzy 一般说来仍然是一般说来仍然是 x,y 的函数，的函数，如果这两个函数关于如果这两个函数关于 x,y 的偏导数也存在，的偏导数也存在，则称它们的偏导数是则称它们的偏导数是 f(x,y)的二阶偏导数的二阶偏导数.依照对变量的不同求导次序，依照对变量的不同求导次序，二阶偏导数有四二阶偏导数有四个：（用符号表示如下）个：（用符号表示如下）xzxxzx22xz ),(yxfxx ;xxz xzyxzyyxz 2),(yxfxy ;xyz yzxyzxxyz 2),(yxfyx ;yxz yzyyzy22yz ),(yxfyy .yyz 其中其中 及及 称为二阶混合偏导数称为二阶混合偏导数.),(yxfxy ),(yxfyx 类似的，可以定义三阶、四阶、类似的，可以定义三阶、四阶、n 阶偏导数，阶偏导数，二阶及二阶以上的偏导数称为高阶偏导数，二阶及二阶以上的偏导数称为高阶偏导数，),(,),(yxfyyxfx而称为函数称为函数 f(x,y)的一阶偏导数的一阶偏导数.注：当两个二阶导数连续时，它们是相等的注：当两个二阶导数连续时，它们是相等的 即即 ),(yxfxy (,)yxfx y例例 3arctan,xy设 z试求函数的四个二阶偏导函数试求函数的四个二阶偏导函数yxz 2xyz 222zy22zx思考题一思考题一 求曲线求曲线 上与上与 轴平行轴平行的切线方程的切线方程.32xxy-x思考题一解答思考题一解答232xy-令令0 y0322-x321 x322-x切点为切点为 964,32 -964,32所求切线方程为所求切线方程为964 y964-y和和