概率论第三章习题详解

第三章 多维随机变量及其分布习题八 二维随机变量一、判断题1、设是二维随机变量，事件表示事件与的积事件. （ 是 ）解：由P86定义2可得.2、是某个二维随机变量的分布函数. （ 否 ） 解：二、填空题YX1 2 3 12 1、若二维随机变量的概率分布律为 则常数 = 解：显然，即 于是 2、若二维随机变量恒取一定值（a,b），则其分布函数为解：显然当时，由于，则3、若随机变量的概率密度为 则. 解：1、由，有 2、121 12 3、如图：1x+y=1(y=1-x) 4、三、将三个球随机放入三个盒子中，用和分别表示放入第一个和第二个盒子中的球的个数，求的联合分布律。解：每个球有三种放法（放入三个盒子中的任意一个），则三个球共有种放法，于是 ； ； ； ； ； ； 即X Y0 12 3 0 1 2 3 四、设二维连续型随机变量的分布函数为 1、求常数的值；2、求的概率密度函数. 解：1、由 * ； 联立三式可解得 而带回*式得 即 2、 五、设随机变量的密度函数为1、求常数的值；2、求的联合分布函数；3、求和.解：1、 2、 当时 于是 3、 习题九 边缘分布、条件分布一、 判断题1、二维均匀分布的边缘分布不一定是均匀分布. （ 是 ） 解：详见P101 例题22、边缘分布是正态分布的随机变量，其联合分布一定是二维正态分布. （ 否 ） 解：边缘分布不能确定联合分布（P103）二、填空题YX1 2 3 12a 0.2 0.10.2 0.1 0.31、已知随机变量的联合分布律为 则a= 0.1 ,X的概率分布律为 ,Y的概率分布律为Y1 2 P0.4 0.6X1 2 3 P0.3 0.3 0.4 解：1、 2、 3、 2、设随机变量，则的概率分布为，的概率分布为解：P103面例题4的结论： 若3、设二维随机变量的联合密度函数为 则常数 的边缘密度为 ,的边缘密度为 解：1、由 2、 3、 三、已知随机变量的密度函数为1、求和的边缘密度函数；2、求条件密度函数和；3、求.解：由 1、 即 即 2、 3、 四、设二维连续型随机变量在区域D上服从均匀分布，其中 ，求. 解：由于是如图，D为边长等于的正方形，则由题意有x-y= -1 ， 于是对-11x+y=1-1x-y=11 当时 当时 x+y= -1 其它 即：五、设随机变量的密度函数为，求和.解：1），由题意有 当时， 当时， 即 y= x 2） 如图有1 当时，y= -x-1 当时， 当时， 即 3） 六、设=求.解：1）由已知得 y= x1 令，则D为如图所示 2）于是对 ，如图有 当时 当时 即 3） 习题十 随机变量的独立性一、 填空题YX1 2 3 12 b c1、设随机变量X与Y相互独立，其联合分布律为 则a=，b=，c= 解：由独立性有 2、设随机变量与相互独立，其概率分布分别为 X0 1 p Y0 1 p 则 解：由独立性有 3、设随机变量，则X与Y相互独立的充要条件是 解：P115 定理2 4、设随机变量与相互独立，则它们的函数与 是 （用“是”或“不是”填空）相互独立的随机变量.解：因为与均为连续函数，由P116结论可得.二、选择题 1、如下二维随机变量的分布律或密度函数给出，则X与Y不相互独立的是（ D ）YX-1 0 2 12 A、 B、 YX1 2 3 1230.01 0.03 0.060.02 0.06 0.120.07 0.21 0.42 C、联合密度 D、联合密度 解：对D选项有 当时，当时，即 当时，当时，即 于是 2、设二维连续型随机变量服从区域D上均匀分布，其中 ，则 （ C ） A、落入第一象限的概率为0.5 B、都不服从一维均匀分布C、相互独立 D、不相互独立1解：D表示的区域如图所示，即-1-11 则由题意有 1）对A选项， 故A错 2）对B选项，由P101 例2可知B错 3） 于是 故C对三、已知二维随机变量的密度函数为 1、判断X与Y是否相互独立； 2、判断与是否相互独立. 解：1、由 当时， 当时， 即 由 当时， 当时，即 于是 ，即X与Y相互独立. 2、因为与均为连续函数，则由P116结论可知它们相互独立.四、设随机变量X与Y相互独立，X在（0，1）上服从均匀分布，Y的概率密度为 1、 求X和Y的联合密度函数；2、 设含有a的二次方程，试求a有实根的概率。解：1、由题意 而X与Y相互独立 则 2、 如图所示 1 其中 习题十一 两个随机变量的函数的分布一、 判断题1、若X和Y都是标准正态随机变量 ，则. （ 否 ） 解：P125定理2X和Y需要相互独立，结论才成立.2、若，且X与Y相互独立 ，则. （ 是 ） 解：P125定理33、若X与Y相互独立且都服从指数分布，则. （ 否 ） 解：由题意有 令,则由卷积公式 当时 当x,z不在该区域时， 即，于是不服从指数分布.二、填空题 1、设相互独立的两个随机变量X和Y具有同一分布，且X的分布律为，则的分布律是 解：由题意有 ，且 2、设X和Y独立同分布，密度函数为，分布函数为，则的密度函数为. 解： 于是 三、选择题 1、设随机变量X和Y相互独立，则（ B ） A、 B、C、 D、解：令，于是 YX-2 -1 0 -13 0 0 四、若二维随机变量的概率分布律为 求下列随机变量的概率分布：1、 ;2、 .解：1、 其中 2、 其中五、1、已知二维随机变量的密度函数为 求概率密度函数； 解： 如图，当时， 2ZD X+Y=2Z 当时， 即 于是 2、已知二维随机变量的密度函数为 求概率密度函数； 解：Y=X图1 如图1， 当时，X-Y=Z 图2Y=X1Z X-Y=ZZ如图2，当时，D1 当时，即 Z于是 六、设随机变量X和Y相互独立，其概率密度函数分别为 求随机变量概率密度.解：由卷积公式 而由题可知只有在即的区域内，不为零 于是如图所示 当时，则1Z=X1Z当时，当时，X即：七、设某种商品一周的需求量是一随机变量，其密度函数为如果各周的需求量是相互独立的，试求：两周的需求量的概率密度；解：设分别表示某两周的需求量则,而表示两周的需求量，由卷积公式而只有在即的区域内不为零，Z=XZX于是如图当时，则 当时，即第三章 复习题一、填空题 1、设随机变量X和Y同分布，X的分布律，且，则 0 . 解：由题意有 XY-101-10 1 由 而 于是 且 而 所以 2、设平面区域D由曲线及直线围成，二维随机变量 在区域D上服从均匀分布，则关于X的边缘密度在处的值为Y 解：如图 1X 于是 当时 即 3、设二维随机变量的密度函数为其中G是区域，则系数A =，条件密度=， =解：1、Y2、 如图4 当时，X2 当时， 即 于是 3、 如上图当时， 当时， 即 于是 4、已知，X与Y独立，则a=， b=，联合分布为XY123-1-2 -3 （可将a,b代入算出具体值）概率分布为 -2 -1 0 1 2 p. （可将a,b代入算出具体值） 解：1、 2、 3、4、显然可得 5、设随机变量X和Y相互独立，其中，则概率密度函数为 解：由题意有， 则于是 二、选择题 1、设二维连续型随机变量与的联合密度分别为和令，要使函数是某个二维随机变量的联合密度，则当且仅当a,b满足条件（ D ） A、 B、C、 D、解：由定义知 于是 又，而 于是时，有 所以选D. 2、设随机变量X和Y都服从正态分布，且，则 （ A ）Y A、 B、 C、 D、11-1 解：由于X和Y都服从正态分布，则X和Y的分布关于坐标轴1对称X，于是如图有-1 3、设随机变量X和Y相互独立，且服从同一名称的概率分布（二者的分布参数未必相同），已知与服从同一名称概率分布，则服从（ D ）A、均匀分布 B、二项分布 C、指数分布 D、正态分布解：由P125定理2可得. 4、设X和Y是独立同分布连续型随机变量，则（ B ） A、 B、C、 D、解：由于X和Y是独立同分布，则它们的密度函数为 且X和Y的联合密度函数为，于是 （一条线上二重积分等于0） 5、随机变量X和Y相互独立，服从正态分布则（ D ） A、 B、C、 D、解： 三、设二维随机变量的联合密度函数为 1、求常数k； 2、求落在以为顶点的正方形内的概率； 3、问X与Y是否独立？ 解：1、已知，而 Y 于是 1 2、如图 1DX 3、 于是，即X与Y独立.四、已知随机变量X与Y概率分布分别为 X-1 0 1 p Y0 1 p 且.1、 求X和Y的联合分布；2、 问X与Y是否独立？并说明原因.解：1、设 XY -1 0 1 0 1 由 而 XY -1 0 1 0 1 又 于是 即： 2、显然 即X与Y不相互独立.五、设某仪器由两个部件构成，X与Y分别是这两个部件的寿命（千小时），已知的联合分布函数为 1、 求边缘分布函数，；2、 求联合密度和边缘密度，；3、 求两部件寿命均超过100小时的概率.解：1、 2、 3、 （注：X与Y的单位是千小时） 六、设随机变量X和Y同分布，其概率密度为 已知事件和事件相互独立，且，求常数a.解：由于X和Y独立同分布，所以且 于是 而 当时，七、设随机变量的密度函数为 求概率密度.解：由 其中被积函数只有满足Z=1+X1Z 时才不为0，于是如图Z=X1X 当时， 当时， 即八、设X和Y是两个独立同分布的随机变量，分别表示两个电子元件的寿命（小时），其密度函数为 求的概率密度. 解：Z 其中只有满足10001X 时才不为0，于是如图 当时， 当时， 即 九、在（0，a）线段上任意抛两点（抛掷两点的位置在（0，a）上独立地服从均匀分布）.试求两点间距离的分布函数.解：设两点的坐标分别为X和Y，则显然X和Y相互独立且都服从 则X和Y的联合概率密度为令,则Z为两点间的距离，于是当时，显然当时，显然当时，如图X=Y+zX=Y-zY Da-zazaS-z-zzX 即 第三章 自测题一、 填空题1、设随机变量的密度函数为则常数k=，又设，则概率=解：1、 2、 2、设二维随机变量的概率分布为 （0,0） （-1,1） （-1,2） （1,0） p 则X的边缘分布律为-1 0 1p Y的边缘分布律为0 1 2p 解：1、 2、 3、设二维随机变量的密度函数为则边缘密度=，=，=解：1、2、3、4、设二维随机变量的密度函数为Y1X+Y=1则Y=XX解：如图 5、若，且X与Y相互独立，则 解：由 （P77例5） 于是 （P125定理2）二、选择题1、设二维随机变量的密度函数为则（ B ）.A、 B、1Y=XYC、 D、1X解：如图 X-1 0 1 p 2、设随机变量X和Y有相同的概率分布： 并且满足：，则=（ A ）A、0 B、0.25 C、0.5 D、1解：设 X Y -1 0 1 -1 0 1 由 则 而 于是 3、关于事件和，有（ B ）.A、为对立事件 B、为互斥事件 Y C、为相互独立事件 D、Xa, Ybb 解：如图可知aX 4、设X与Y相互独立，且都服从区间（0，1）上的均匀分布，则服从区间或区域上的均匀分布的随机变量是（ A ）.A、 B、 C、 D、解：由X与Y都服从区间（0，1）上的均匀分布，有 ， 又X与Y相互独立，则 即服从上的均匀分布XY1 2 3 12 a b5、随机变量X和Y的联合分布律为 且X与Y相互独立，则a,b的值是（ B ）.A、 B、 C、 D、 解：由 而X与Y相互独立，即 三、盒子里有3只黑球，2只红球，2只白球。从中任取4只，以X表示取到黑球的数目，以Y表示取到红球的数目。求随机变量的联合分布律及其关于X和Y的边缘分布律. 解： XY0123 0 0 0 10 20 四、已知二维随机变量的联合密度函数为1、求常数c的值；2、求联合分布函数；3、求X和Y的边缘密度函数；4、求及；5、问X与Y是否独立.解：1、由 2、由，有 当或时， 当时， 当时， 当时， 当时， 于是 3、，当时，当时，即 当时， 当时， 即 4、 5、由 于是X与Y不独立.五、设随机变量X和Y相互独立，其概率密度函数分别为 1、求的联合密度函数；2、求.解：1、由独立性有 2、由条件概率公式和独立性有 X1 2 p0.3 0.7六、设随机变量X和Y相互独立，其中X的概率分布为 而Y的概率密度为，求的概率密度.解： （应用全概率公式有） 于是 七、1、设随机变量X和Y概率密度函数分别为和，且设 为二维随机变量 的联合密度函数，证明： 证明：由概率密度的性质有 而 于是2、设，且X与Y相互独立，试证. 注：代表X服从泊松分布. 解：由题意知 由独立性有 （二项式定理） 所以 第三章 考研训练题一、 填空题1、设X与Y为两个随机变量，且，则= 解：Y X 2、在区间（0，1）中随机地选取两个数，则事件“两数之和小于”的概率为 解：设两数分别为X，Y，显然，如图1Y 1X 3、设二维随机变量在半单位圆域上服从均匀分布，Z表示三次独立观察中事件出现的次数，则=y 解：由于服从均匀分布，于是 x 如图有 则 4、设变量X与Y独立，且，令要使X与Z独立，则p =解：由题意，显然X与Y均服从两点分布，于是 要使X与Z独立，则 二、选择题XY0 1 010.4 ab 0.11、若二维随机变量的概率分布为 已知随机事件与相互独立，则（ B ）. A、 B、 C、 D、 解：由题意 即 且 联立两式可得 2、X和Y是独立同分布随机变量：，则下列各式中成立的是（ A ）.A、 B、C、 D、解： 3、设X与Y为两个随机变量具有相同的分布函数。随机变量的分布函数为，则对任意实数x，必有（ C ）.A、 B、 C、 D、 解： 而 显然A,D错误 且 都为单调不减函数 于是选 C4、设和为随机变量设矩阵，已知其中分别表示矩阵X和Y的行列式。记，则p的值是（ A ）.A、0.2 B、0.6 C、0.16 D、0.64Y解： 如图X 三、设随机变量X在（0，1）上服从均匀分布，在的条件下，随机变量 在（0，x）上服从均匀分布，求：1、和的联合密度函数；2、的概率密度函数；3、.解：1、由题意 y=x 于是 Y 2、如图Y1Xy+x=1y=x1 3、 如图1X 于是 四、设随机变量和的联合分布是正方形上均匀分布，求的概率密度. 解：由题意有 于是由分布函数法有x-y= -ux-y=u3Y Du3u11X如图有：当时 当时 当时 于是 五、已知随机变量的联合密度函数为Y求和的联合分布函数.1解： 如图有1X 当或时， 当时， 当时， 当时， 当时， 于是 六、已知随机变量的联合密度函数为求的分布函数.解： 如图 Y 当时，x+2y=zzX 当时， 于是 七、设随机变量X和Y相互独立，其概率密度函数分别为 求的概率密度.Y解：（分布函数法）由独立性有:z 如图X 当时，12x+y=z 当时， 当时， 于是 则 八、设某班车起点站上车乘客人数X服从参数为的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率为，且中途下车与否相互独立。以Y表示在中途下车的人数，求： 1、在发车时有n个乘客的条件下，中途有m个人下车的概率；2、二维随机变量的联合概率分布.解：由题意有 1、所求概率为 （由独立性有） 2、