关于复变函数积分求解总结

关于求积分的各种方法的总结 摘要：函数的积分问题是复变函数轮的主要内容，也是其基础部分，因此有必要总结归纳求积分的各种方法.其主要方法有：利用柯西积分定理，柯西积分公式和用留数定理求积分等方法.现将这些方法逐一介绍.关键词：积分，解析，函数，曲线1. 利用定义求积分例1、计算积分，积分路径C是连接由0到的直线段.解：为从点0到点的直线方程，于是 .2. 利用柯西积分定理求积分柯西积分定理：设在单连通区域内解析，为内任一条周线，则.柯西积分定理的等价形式：设是一条周线，为之内部，在闭域上解析，则.例2、求，其中为圆周，解：圆周为，被积函数的奇点为，在的外部，于是，在以为边界的闭圆上解析，故由柯西积分定理的等价形式得.如果为多连通区域，有如下定理：设是由复周线所构成的有界多连通区域，在内解析，在上连续，则.例3.计算积分.分析：被积函数在上共有两个奇点和，在内作两个充分小圆周，将两个奇点挖掉，新区域的新边界就构成一个复周线，可应用上定理.解：显然，任作以与以为心，充分小半径的圆周及，将二奇点挖去，新边界构成复周线 . .3. 利用柯西积分公式求积分设区域的边界是周线或复周线，函数在内解析，在上连续，则有 ，即.例4.计算积分的值，其中解：因为在上解析， ，由柯西积分公式得. 设区域的边界是周线或复周线，函数在内解析，在上连续，则函数在区域内有各阶导数，并且有 即.例5.计算积分，其中是绕一周的周线.解：因为在平面上解析，所以 .例6. 求积分，其中为圆周.解： 另外,若为周线内部一点，则 （，且为整数）. 4. 应用留数定理求复积分在复周线或周线所围的区域内，除外解析，在闭域上除外连续，则.设为的阶极点，其中在点解析，则.例7.计算积分解：被积函数在圆周的内部只有一阶极点及， 因此，由留数定理可得.例8.计算积分.解：只以为三阶极点， 由留数定理得 .5. 用留数定理计算实积分某些实的定积分可应用留数定理进行计算，尤其是对原函数不易直接求得的定积分和反常积分，常是一个有效的办法，其要点是将它划归为复变函数的周线积分.5.1计算型积分 令，则，此时有.例9. 解：令，则， ，其中， 应用留数定理得.若为的偶函数，则之值亦可用上述方法求之，因为此时，仍然令. 例10.计算 （为实数且） 分析：因为， 直接令，则，于是.解： 应用留数定理，当时， 当时，.5.2计算型积分例11.计算. 解：函数在上半平面内只有一个四阶极点，令 ，则 即故.