人教版高一数学必修一各章知识点总结

人教版高一数学必修一各章知识点总结一、集合与简易逻辑： 一、理解集合中的有关概念 （1）集合中元素的特征： 确定性 ， 互异性 ， 无序性 。 （2）集合与元素的关系用符号=表示。 （3）常用数集的符号表示：自然数集 ；正整数集 ；整数集 ；有理数集 、实数集 。 （4）集合的表示法： 列举法 ， 描述法 ， 韦恩图 。 （5）空集是指不含任何元素的集合。 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。 二、函数 一、映射与函数： （1）映射的概念： （2）一一映射：（3）函数的概念： 二、函数的三要素：相同函数的判断方法：对应法则 ；定义域 (两点必须同时具备) （1）函数解析式的求法： 定义法（拼凑）：换元法：待定系数法：赋值法： （2）函数定义域的求法： 含参问题的定义域要分类讨论； 对于实际问题，在求出函数解析式后；必须求出其定义域，此时的定义域要根据实际意义来确定。（3）函数值域的求法： 配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；常转化为型如： 的形式； 逆求法（反求法）：通过反解，用 来表示 ，再由 的取值范围，通过解不等式，得出 的取值范围；常用来解，型如： ； 换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想； 三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域； 基本不等式法：转化成型如： ，利用平均值不等式公式来求值域； 单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域。 数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域。 三、函数的性质： 函数的单调性、奇偶性、周期性 单调性：定义：注意定义是相对与某个具体的区间而言。 判定方法有：定义法（作差比较和作商比较） 导数法（适用于多项式函数） 复合函数法和图像法。 应用：比较大小，证明不等式，解不等式。 奇偶性：定义：注意区间是否关于原点对称，比较f(x) 与f(-x)的关系。f(x) f(-x)=0 f(x) =f(-x) f(x)为偶函数； f(x)+f(-x)=0 f(x) =f(-x) f(x)为奇函数。 判别方法：定义法， 图像法 ，复合函数法 应用：把函数值进行转化求解。 周期性：定义：若函数f(x)对定义域内的任意x满足：f(x+T)=f(x),则T为函数f(x)的周期。 其他：若函数f(x)对定义域内的任意x满足：f(x+a)=f(xa),则2a为函数f(x)的周期. 应用：求函数值和某个区间上的函数解析式。 四、图形变换：函数图像变换：（重点）要求掌握常见基本函数的图像，掌握函数图像变换的一般规律。 常见图像变化规律：（注意平移变化能够用向量的语言解释，和按向量平移联系起来思考） 平移变换 y=f(x)y=f(x+a),y=f(x)+b 注意：（）有系数，要先提取系数。如：把函数yf(2x)经过 平移得到函数yf(2x4)的图象。 （）会结合向量的平移，理解按照向量 （m，n）平移的意义。 对称变换 y=f(x)y=f(x),关于y轴对称 y=f(x)y=f(x) ,关于x轴对称 y=f(x)y=f|x|,把x轴上方的图象保留，x轴下方的图象关于x轴对称 y=f(x)y=|f(x)|把y轴右边的图象保留，然后将y轴右边部分关于y轴对称。（注意：它是一个偶函数） 伸缩变换：y=f(x)y=f(x), y=f(x)y=Af(x+)具体参照三角函数的图象变换。 一个重要结论：若f(ax)f(a+x)，则函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称； 五、反函数： （1）定义： （2）函数存在反函数的条件：（3）互为反函数的定义域与值域的关系：（4）求反函数的步骤：将 看成关于 的方程，解出 ，若有两解，要注意解的选择；将 互换，得 ；写出反函数的定义域（即 的值域）。 （5）互为反函数的图象间的关系：（6）原函数与反函数具有相同的单调性； （7）原函数为奇函数，则其反函数仍为奇函数；原函数为偶函数，它一定不存在反函数。 七、常用的初等函数： （1）一元一次函数：（2）一元二次函数： 一般式两点式顶点式二次函数求最值问题：首先要采用配方法，化为一般式， 有三个类型题型： (1)顶点固定，区间也固定。如： (2)顶点含参数(即顶点变动)，区间固定，这时要讨论顶点横坐标何时在区间之内，何时在区间之外。 (3)顶点固定，区间变动，这时要讨论区间中的参数 等价命题 在区间 上有两根 在区间 上有两根 在区间 或 上有一根 注意：若在闭区间 讨论方程 有实数解的情况，可先利用在开区间 上实根分布的情况，得出结果，在令 和 检查端点的情况。 （3）反比例函数： （4）指数函数： 指数函数：y= (ao,a1)，图象恒过点（0，1），单调性与a的值有关，在解题中，往往要对a分a1和0ao,a1) 图象恒过点（1，0），单调性与a的值有关，在解题中，往往要对a分a1和0a0，则 。即不等式两边同号时，不等式两边取倒数，不等号方向要改变。 如果对不等式两边同时乘以一个代数式，要注意它的正负号，如果正负号未定，要注意分类讨论。 图象法：利用有关函数的图象（指数函数、对数函数、二次函数、三角函数的图象），直接比较大小。 中介值法：先把要比较的代数式与“0”比，与“1”比，然后再比较它们的大小 二、均值不等式：两个数的算术平均数不小于它们的几何平均数。 基本应用：放缩，变形； 求函数最值：注意：一正二定三相等；积定和最小，和定积最大。 常用的方法为：拆、凑、平方； 三、绝对值不等式： 注意：上述等号“”成立的条件； 四、常用的基本不等式： 五、证明不等式常用方法： （1）比较法：作差比较： 作差比较的步骤： 作差：对要比较大小的两个数（或式）作差。 变形：对差进行因式分解或配方成几个数（或式）的完全平方和。 判断差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号。 注意：若两个正数作差比较有困难，可以通过它们的平方差来比较大小。 （2）综合法：由因导果。 （3）分析法：执果索因。基本步骤：要证只需证，只需证 （4）反证法：正难则反。 （5）放缩法：将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的。 放缩法的方法有： 添加或舍去一些项，将分子或分母放大（或缩小） 利用基本不等式，（6）换元法：换元的目的就是减少不等式中变量，以使问题化难为易，化繁为简，常用的换元有三角换元和代数换元。（7）构造法：通过构造函数、方程、数列、向量或不等式来证明不等式； 十、不等式的解法： （1）一元二次不等式： 一元二次不等式二次项系数小于零的，同解变形为二次项系数大于零；注：要对 进行讨论： （2）绝对值不等式：若 ，则 ； ； 注意：(1）解有关绝对值的问题，考虑去绝对值，去绝对值的方法有： 对绝对值内的部分按大于、等于、小于零进行讨论去绝对值；(2).通过两边平方去绝对值；需要注意的是不等号两边为非负值。 (3）.含有多个绝对值符号的不等式可用“按零点分区间讨论”的方法来解。 （4）分式不等式的解法：通解变形为整式不等式； （5）不等式组的解法：分别求出不等式组中，每个不等式的解集，然后求其交集，即是这个不等式组的解集，在求交集中，通常把每个不等式的解集画在同一条数轴上，取它们的公共部分。 （6）解含有参数的不等式： 解含参数的不等式时，首先应注意考察是否需要进行分类讨论.如果遇到下述情况则一般需要讨论： 不等式两端乘除一个含参数的式子时，则需讨论这个式子的正、负、零性. 在求解过程中，需要使用指数函数、对数函数的单调性时，则需对它们的底数进行讨论. 在解含有字母的一元二次不等式时，需要考虑相应的二次函数的开口方向，对应的一元二次方程根的状况（有时要分析），比较两个根的大小,设根为 （或更多）但含参数，要讨论。 十一、数列 本章是高考命题的主体内容之一，应切实进行全面、深入地复习，并在此基础上，突出解决下述几个问题：（1）等差、等比数列的证明须用定义证明，值得注意的是，若给出一个数列的前 项和 ，则其通项为 若 满足 则通项公式可写成 .（2）数列计算是本章的中心内容，利用等差数列和等比数列的通项公式、前 项和公式及其性质熟练地进行计算，是高考命题重点考查的内容.（3）解答有关数列问题时，经常要运用各种数学思想.善于使用各种数学思想解答数列题，是我们复习应达到的目标. 函数思想：等差等比数列的通项公式求和公式都可以看作是 的函数，所以等差等比数列的某些问题可以化为函数问题求解. 分类讨论思想：用等比数列求和公式应分为 及 ；已知 求 时，也要进行分类； 整体思想：在解数列问题时，应注意摆脱呆板使用公式求解的思维定势，运用整 体思想求解. （4）在解答有关的数列应用题时，要认真地进行分析，将实际问题抽象化，转化为数学问题，再利用有关数列知识和方法来解决.解答此类应用题是数学能力的综合运用，决不是简单地模仿和套用所能完成的.特别注意与年份有关的等比数列的第几项不要弄错. 一、基本概念： 1、 数列的定义及表示方法： 2、 数列的项与项数： 3、 有穷数列与无穷数列： 4、 递增（减）、摆动、循环数列： 5、 数列an的通项公式an： 6、 数列的前n项和公式Sn: 7、 等差数列、公差d、等差数列的结构： 8、 等比数列、公比q、等比数列的结构： 二、基本公式： 9、一般数列的通项an与前n项和Sn的关系：an= 10、等差数列的通项公式：an=a1+(n-1)d an=ak+(n-k)d (其中a1为首项、ak为已知的第k项) 当d0时，an是关于n的一次式；当d=0时，an是一个常数。 11、等差数列的前n项和公式：Sn= Sn= Sn= 当d0时，Sn是关于n的二次式且常数项为0；当d=0时（a10），Sn=na1是关于n的正比例式。 12、等比数列的通项公式： an= a1 qn-1 an= ak qn-k (其中a1为首项、ak为已知的第k项，an0) 13、等比数列的前n项和公式：当q=1时，Sn=n a1 (是关于n的正比例式)； 当q1时，Sn= Sn= 三、有关等差、等比数列的结论 14、等差数列an的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m - S3m、仍为等差数列。 15、等差数列an中，若m+n=p+q，则 16、等比数列an中，若m+n=p+q，则 17、等比数列an的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m - S3m、仍为等比数列。 18、两个等差数列an与bn的和差的数列an+bn、an-bn仍为等差数列。 19、两个等比数列an与bn的积、商、倒数组成的数列 an bn、 、 仍为等比数列。 20、等差数列an的任意等距离的项构成的数列仍为等差数列。 21、等比数列an的任意等距离的项构成的数列仍为等比数列。 22、三个数成等差的设法：a-d,a,a+d；四个数成等差的设法：a-3d,a-d,a+d,a+3d 23、三个数成等比的设法：a/q,a,aq； 四个数成等比的错误设法：a/q3,a/q,aq,aq3 24、an为等差数列，则 (c0)是等比数列。 25、bn（bn0）是等比数列，则logcbn (c0且c 1) 是等差数列。 四、数列求和的常用方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等。关键是找数列的通项结构。 26、分组法求数列的和：如an=2n+3n 27、错位相减法求和：如an=(2n-1)2n 28、裂项法求和：如an=1/n(n+1) 29、倒序相加法求和：30、求数列an的最大、最小项的方法： an+1-an= 如an= -2n2+29n-3 an=f(n) 研究函数f(n)的增减性 31、在等差数列 中,有关Sn 的最值问题常用邻项变号法求解： (1)当 0,d0时，满足 的项数m使得 取最大值. (2)当 0时，满足 的项数m使得 取最小值。 在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。 十二、平面向量 1基本概念： 向量的定义、向量的模、零向量、单位向量、相反向量、共线向量、相等向量。 2 加法与减法的代数运算： (1)若a=（x1,y1 ）,b=（x2,y2 ）则a b=（x1+x2,y1+y2 ） 向量加法与减法的几何表示：平行四边形法则、三角形法则。 向量加法有如下规律： = (交换律); +( +c)=( + )+c （结合律）; 3实数与向量的积：实数 与向量 的积是一个向量。 (1) = ; (2) 当 a0时， 与a的方向相同；当a0时， 与a的方向相反；当 a=0时，a=0 两个向量共线的充要条件： (1) 向量b与非零向量 共线的充要条件是有且仅有一个实数 ，使得b= (2) 若 =（ ）,b=（ ）则 b 平面向量基本定理： 若e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 ，有且只有一对实数 ， ，使得 = e1+ e2 4P分有向线段 所成的比： 设P1、P2是直线 上两个点，点P是 上不同于P1、P2的任意一点，则存在一个实数 使 = ， 叫做点P分有向线段 所成的比。 当点P在线段 上时， 0；当点P在线段 或 的延长线上时， 0； 分点坐标公式：若 = ； 的坐标分别为（ ）,（ ）,（ ）；则 （ 1）， 中点坐标公式： 5 向量的数量积： （1）向量的夹角： 已知两个非零向量 与b，作 = , =b,则AOB= （ ）叫做向量 与b的夹角。 （2）两个向量的数量积： 已知两个非零向量 与b，它们的夹角为 ，则 b= bcos 其中bcos 称为向量b在 方向上的投影 （3）向量的数量积的性质： 若 =（ ）,b=（ ）则e = e= cos (e为单位向量); b b=0 （ ，b为非零向量）; = ; cos = = (4) 向量的数量积的运算律： b=b ;( )b= ( b)= ( b);( b)c= c+bc 6.主要思想与方法： 本章主要树立数形转化和结合的观点，以数代形，以形观数，用代数的运算处理几何问题，特别是处理向量的相关位置关系，正确运用共线向量和平面向量的基本定理，计算向量的模、两点的距离、向量的夹角，判断两向量是否垂直等。由于向量是一新的工具，它往往会与三角函数、数列、不等式、解几等结合起来进行综合考查，是知识的交汇点。 十三、立体几何 1.平面的基本性质：掌握三个公理及推论，会说明共点、共线、共面问题。 能够用斜二测法作图。 2.空间两条直线的位置关系：平行、相交、异面的概念； 会求异面直线所成的角和异面直线间的距离；证明两条直线是异面直线一般用反证法。 3.直线与平面 位置关系：平行、直线在平面内、直线与平面相交。 直线与平面平行的判断方法及性质,判定定理是证明平行问题的依据。 直线与平面垂直的证明方法有哪些？ 直线与平面所成的角：关键是找它在平面内的射影，范围是00.900 三垂线定理及其逆定理：每年高考试题都要考查这个定理. 三垂线定理及其逆定理主要用于证明垂直关系与空间图形的度量.如：证明异面直线垂直，确定二面角的平面角，确定点到直线的垂线. 4.平面与平面 (1)位置关系：平行、相交，（垂直是相交的一种特殊情况） (2)掌握平面与平面平行的证明方法和性质。 (3)掌握平面与平面垂直的证明方法和性质定理。尤其是已知两平面垂直，一般是依据性质定理，可以证明线面垂直。 (4)两平面间的距离问题点到面的距离问题 (5)二面角。二面角的平面交的作法及求法： 定义法，一般要利用图形的对称性；一般在计算时要解斜三角形； 垂线、斜线、射影法，一般要求平面的垂线好找，一般在计算时要解一个直角三角形。 射影面积法，一般是二面交的两个面只有一个公共点，两个面的交线不容易找到时用此法?