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2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷考生请注意：1答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题（本大题共12小题，共60分）1已知函数在上存在零点，则的取值范围为（）A.B.C.D.2菱形ABCD在平面内，PC，则PA与BD的位置关系是（ ）A.平行B.相交但不垂直C.垂直相交D.异面且垂直3已知函数为定义在上的偶函数，在上单调递减，并且，则实数的取值范围是（ ）A.B.C.D.4经过点的直线到，两点的距离相等，则直线的方程为A.B.C.或D.都不对5下列函数中，在区间上是增函数的是（ ）A.B.C.D.6已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.7表示不超过x的最大整数，例如，若是函数的零点，则（）A.1B.2C.3D.48若圆上至少有三个不同的点到直线的距离为，则的取值范围是（）A.B.C.D.9函数的增区间是A.B.C.D.10已知A(4,2,3)关于xOz平面的对称点为，关于z轴的对称点为，则等于( )A.8B.12C.16D.1911全集U1，2，3，4，5，6，Mx|x4，则M等于（ ）A.1，3B.5，6C.1，5D.4，512某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了了解该单位职工健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本若样本中的青年职工为14人，则样本中的中年职工人数为（）A.10B.30C.50D.70二、填空题（本大题共4小题，共20分）13若在幂函数的图象上，则_14如果满足对任意实数，都有成立，那么a的取值范围是_15若，则_.16有一批材料可以建成360m长的图墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样材料隔成三个面积相等的小矩形如图所示，则围成场地的最大面积为_围墙厚度不计三、解答题（本大题共6小题，共70分）17如图，甲、乙是边长为的两块正方形钢板，现要将甲裁剪焊接成一个正四棱柱，将乙裁剪焊接成一个正四棱锥，使它们的全面积都等于一个正方形的面积（不计焊接缝的面积）（1）将你的裁剪方法用虚线标示在图中，并作简要说明；（2）试比较你所制作的正四棱柱与正四棱锥体积的大小，并证明你的结论18已知函数（06）的图象的一个对称中心为（1）求f（x）的最小正周期；（2）求函数f（x）的单调递增区间；（3）求f（x）在区间上的最大值和最小值19如图为函数的一个周期内的图象.（1）求函数的解析式及单调递减区间；（2）当时，求的值域.20已知函数的图象关于原点对称，且当时，（1）试求在R上的解析式；（2）画出函数的图象，根据图象写出它的单调区间.21已知函数（1）求函数的单调递减区间；（2）若关于的方程有解，求的取值范围22如图，在中，点在的延长线上，点是边上的一点，且存在非零实数，使.（）求与的数量积；（）求与的数量积.参考答案一、选择题（本大题共12小题，共60分）1、A【解析】根据零点存在定理及函数单调性可知,解不等式组即可求得的取值范围.【详解】因为在上单调递增,根据零点存在定理可得,解得.故选:A【点睛】本题考查了函数单调性的判断,零点存在定理的应用,根据零点所在区间求参数的取值范围,属于基础题.2、D【解析】由菱形ABCD平面内,则对角线,又, 可得平面,进而可得,又显然，PA与BD不在同一平面内，可判断其位置关系.【详解】假设PA与BD共面，根据条件点和菱形ABCD都在平面内，这与条件相矛盾.故假设不成立，即PA与BD异面.又在菱形ABCD中，对角线，则且，所以平面平面.则,所以PA与BD异面且垂直.故选：D【点睛】本题考查异面直线的判定和垂直关系的证明,属于基础题.3、D【解析】利用函数的奇偶性得到，再解不等式组即得解.【详解】解：由题得.因为在上单调递减，并且，所以，所以或.故选：D4、C【解析】当直线的斜率不存在时，直线显然满足题意；当直线的斜率存在时，设直线的斜率为则直线为，即由到直线的距离等于到直线的距离得：，化简得：或（无解），解得直线的方程为综上，直线的方程为或故选5、B【解析】根据函数单调性的定义和性质分别进行判断即可【详解】解：对于选项A.的对称轴为，在区间上是减函数，不满足条件对于选项B.在区间上是增函数，满足条件对于选项C.在区间上是减函数，不满足条件对于选项D.在区间上是减函数，不满足条件故满足条件的函数是故选：B【点睛】本题主要考查函数单调性的判断，要求熟练掌握常见函数的单调性，属基础题6、C【解析】求出函数的定义域，由单调性求出a的范围，再由函数在上有意义，列式计算作答.【详解】函数定义域为，因在，上单调，则函数在，上单调，而函数在区间上单调递减，必有函数在上单调递减，而在上递增，则在上递减，于是得，解得，由，有意义得：，解得，因此，所以实数的取值范围是.故选：C7、B【解析】利用零点存在性定理判断的范围，从而求得.【详解】在上递增，所以，所以.故选：B8、D【解析】先整理圆的方程为可得圆心和半径,再转化问题为圆心到直线的距离小于等于,进而求解即可【详解】由题,圆标准方程为,所以圆心为,半径,因为圆上至少有三个不同点到直线的距离为,所以,所以圆心到直线的距离小于等于,即,解得,故选:D【点睛】本题考查直线与圆的位置关系的应用,考查圆的一般方程到圆的标准方程的转化,考查数形结合思想9、A10、A【解析】由题可知故选A11、B【解析】M即集合U中满足大于4的元素组成的集合.【详解】由全集U1，2，3，4，5，6，Mx|x4则M = 5，6.故选：B【点睛】本题考查求集合的补集，属于基础题.12、A【解析】利用分层抽样的等比例性质，结合已知求样本中中年职工人数.【详解】由题意知，青年职工人数：中年职工人数：老年职工人数350：250：1507：5：3由样本中的青年职工为14人，可得中年职工人数为10故选：A二、填空题（本大题共4小题，共20分）13、27【解析】由在幂函数的图象上，利用待定系数法求出幂函数的解析式，再计算的值【详解】设幂函数，因为函数图象过点，则，幂函数，故答案为27【点睛】本题主要考查了幂函数的定义与解析式，意在考查对基础知识的掌握情况，是基础题14、【解析】根据题中条件先确定函数的单调性，再根据函数的单调性求解参数的取值范围.【详解】由对任意实数都成立可知，函数 为实数集上的单调减函数.所以解得 .故答案为.15、【解析】由，根据三角函数的诱导公式进行转化求解即可详解】，则，故答案为：16、8100【解析】设小矩形的高为，把面积用表示出来，再根据二次函数的性质求得最大值【详解】解：设每个小矩形的高为am，则长为，记面积为则当时，所围矩形面积最大值为故答案8100【点睛】本题考查函数的应用，解题关键是寻找一个变量，把面积表示为此变量的函数，再根据函数的知识求得最值本题属于基础题三、解答题（本大题共6小题，共70分）17、 (1)见解析(2) 正四棱柱的体积比正四棱锥的体积大【解析】该四棱柱的底面为正方体，侧棱垂直底面，可知其由两个一样的正方形和四个完全相同的长方形组成，对图形进行切割，画出图形即可，画法不唯一；正四棱柱的底面边长为，高为，正四棱锥的底面边长为，高为，结合体积公式求得体积，然后比较大小即可；解析：（1）将正方形甲按图中虚线剪开，以两个正方形为底面，四个长方形为侧面，焊接成一个底面边长为，高为的正四棱柱将正方形乙按图中虚线剪开，以两个长方形焊接成边长为的正方形为底面，三个等腰三角形为侧面，两个直角三角形合拼成为一侧面，焊接成一个底面板长为，斜高为的正四棱锥（2）正四棱柱的底面边长为，高为，其体积，又正四棱锥的底面边长为，高为，其体积，即，故所制作的正四棱柱的体积比正四棱锥的体积大（说明：裁剪方式不唯一，计算的体积也不一定相等）点睛：本题考查了四棱锥和四棱柱的知识，需要掌握二者的特征以及其体积的求法，对于图形进行分割，画出图形即可，注意画法不唯一，结合体积公式求得体积，然后比较大小即完成解答18、（1）；（2），kZ；（3）最大值为10，最小值为【解析】（1）先降幂化简原式，再利用对称中心求得，进而得周期；（2）利用正弦函数的单调区间列出不等式即可得解；（3）利用（2）的结论，确定所给区间的单调性，再得最值【详解】解：（1）=4sin（sincos-cossin）-1=2sin2-1-2sincos=-cosx-sinx=-2sin（x），是对称中心，-，得=2-12k，kZ，06，k=0，=2，其最小正周期为；（2）由，得，f（x）的单调递增区间为：，kZ，（3）由（2）可知，f（x）在递减，在递增，可知当x=时得最大值为0；当x=时得最小值故f（x）在区间上的最大值为0，最小值为【点睛】此题考查了三角函数式的恒等变换，周期性，单调性，最值等，属于中档题19、（1），；（2）.【解析】（1）由图可求出，令，即可求出单调递减区间；（2）由题可得，则可求得值域.【详解】(1)由题图，知，所以，所以.将点(1，0)代入，得.因为，所以，所以.令,得.所以的单调递减区间为.(2)当时，此时，则，即的值域为.【点睛】方法点睛：根据三角函数部分图象求解析式方法：（1）根据图象的最值可求出A；（2）求出函数的周期，利用求出；（3）取点代入函数可求得.20、（1）（2）函数图象见解析，单调递增区间为和，单调递减区间为；【解析】（1）依题意是上的奇函数，即可得到，再设，根据时的解析式及奇函数的性质计算可得；（2）由（1）中的解析式画出函数图形，结合图象得到函数的单调区间；【小问1详解】解：的图象关于原点对称，是奇函数，又的定义域为，解得设，则，当时，所以；【小问2详解】解：由（1）可得的图象如下所示：由图象可知的单调递增区间为和，单调递减区间为；21、（1）；（2）.【解析】（1）由二倍角正余弦公式、辅助角公式可得，根据正弦函数的性质，应用整体法求单调减区间.（2）由正弦型函数的性质求值域，结合题设方程有解，即可确定参数范围.【小问1详解】，令，解得，所以函数的单调递减区间是.【小问2详解】，又有解，所以m的取值范围22、 ()-18；().【解析】()在中由余弦定理得，从而得到三角形为等腰三角形，可得，由数量积的定义可得()根据所给的向量式可得点在的角平分线上，故可得，所以，因为，所以得到设设，则得到，根据数量积的定义及运算率可得所求试题解析：（）在中，由余弦定理得，所以，所以是等腰三角形，且，所以, 所以（）由,得，所以点在的角平分线上，又因为点是边上的一点，所以由角平分线性质定理得，所以.因为， 所以.设，则，由，得，所以，又，所以 点睛：解题时注意在三角形中常见的向量与几何特征的关系：（1）在中，若或，则点是的外心；（2）在中，若，则点是的重心；（3）在中，若，则直线一定过的重心；（4）在中，若，则点是的垂心；（5）在中，若，则直线通过的内心.
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