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-利用向量解决距离问题 3.2立体几何中的向量方法 (5) F 1 E 1 C 1 B 1 A 1 D 1 D A B C y z x O 空间两点之间的距离 根据两向量数量积的性质和坐标运算 ， 利用公式 或 (其中 ) ， 可将两点距离问题 转化为求向量模长问题 2aa 222 zyxa ),( zyxa 空间中的距离主要有 : 点点、点线、点面、线线、线面、面面 一、求点到平面的距离 一般方法： 利用定义先作出过 这个点到平面的垂 线段，再计算这个 垂线段的长度。 还可以用等积法求距离 . O d P 向量法求点到平面的距离 A O d n P sin |AP n AP n d |A P n n 其中 为斜向量， 为法向量。 n AP sin d AP s i n| APd 注 :点到平面的距离等于点和这个平面的任何一点所组成 向量与此平面法向量的数量积的 绝对值 除于法向量的模 . 二、直线到平面的距离 A O d n P d |AP n n 其中 为斜向量， 为法向量。 nAP l 三、平面到平面的距离 A O d n P d |AP n n 四、异面直线的距离 n a b d |AP n n ?n ?AP 是与 都垂直的向量 n ,ab A P ;上的任意两点、分别是直线、 baPA 点到平面的距离： 直线到平面的距离： 平面到平面的距离： 异面直线的距离： 四种距离的统一向量形式： d |AP n n .,60 ,90 ,1,.1 0 0 间的距离、求角 成与使折起将它沿对角线 中在平行四边形如图所示例 DB CDABACACD ACABABCD A D C B . ,2 ,4.2 的距离 到平面求点的中点、分别是、 平面的边长为已知正方形例 GE F BADABFECG ABCDCGABCD G B D A C E F x y z 例 3 : 如图，已知正方形 A B CD 的边长为 4 ， E 、 F 分别 是 AB 、 AD 的中点， GC 平面 A B CD ，且 GC 2 ，求 点 B 到平面 E F G 的距离 . D A B C G F E x y z 解：如图，建立空间直角坐标系 C xyz 由题设 C(0,0,0) , A(4,4,0 ) , B ( 0,4, 0) ， D(4,0,0) , E ( 2,4, 0) , F(4,2,0 ) , G ( 0,0, 2 ) ( 2 , 2 , 0 ) , ( 2 , 4 , 2 ) , B ( 2 , 0 , 0 ) EF EG E 设平面 E F G 的一个法向量 为 ( , , )n x y z n E F n E G， 2 2 0 2 4 2 z 0 xy xy 11( , , 1 ) 33n | B E | 2 1 1 11 nd n A B CD 1A 1B 1C 1D E x y z 求 B1到面 A1BE的距离； 例 4 .如图 ,在正方体 ABCD-A1B1C1D1中，棱长 为 1,E为 D1C1的中点， 11 1 2=(-1 , , 0 ), =(0 , 1解 -1: ,)A E A B 1 1 0, 0, n A E n A B 1 0, 2 0, xy yz 2, 2, 即 yx zx 1 ( 1 , 2 , 21 )取 ， 得 平 面 的 一 个 法 向 量 nx A B E 1 111 0 , 1 , 0 ,选 点 到 面 的 斜 向 量 为 ABB A B E 11 11 2 3 得 到 面 的 距 离 为 A B n B A BE d n 1( , , )设 为 面 的 法 向 量 , 则n x y z A B E A B CD 1A 1B 1C 1D E x y z 求 B1到面 A1BE的距离； 例 4 .如图 ,在正方体 ABCD-A1B1C1D1中，棱长 为 1,E为 D1C1的中点， 11 1 2=(-1 , , 0 ), =(0 , 1解 -1: ,)A E A B 1 1 0, 0, n A E n A B 1 0, 2 0, xy yz 2, 2, 即 yx zx 1 ( 1 , 2 , 21 )取 ， 得 平 面 的 一 个 法 向 量 nx A B E 1 111 0 , 1 , 0 ,选 点 到 面 的 斜 向 量 为 ABB A B E 11 11 2 3 得 到 面 的 距 离 为 A B n B A BE d n 1( , , )设 为 面 的 法 向 量 , 则n x y z A B E A B CD 1A 1B 1C 1D E x y z 求 B1到面 A1BE的距离； 例 4 .如图 ,在正方体 ABCD-A1B1C1D1中，棱长 为 1,E为 D1C1的中点， 11 1 2=(-1 , , 0 ), =(0 , 1解 -1: ,)A E A B 1 1 0, 0, n A E n A B 1 0, 2 0, xy yz 2, 2, 即 yx zx 1 ( 1 , 2 , 21 )取 ， 得 平 面 的 一 个 法 向 量 nx A B E 1 111 0 , 1 , 0 ,选 点 到 面 的 斜 向 量 为 ABB A B E 11 11 2 3 得 到 面 的 距 离 为 A B n B A BE d n 1( , , )设 为 面 的 法 向 量 , 则n x y z A B E .,2 ,2,.3 之间的距离与求异面直线 底边长的高正四棱锥如图例 SCBDAB SOAB CDS A S D C B O .)2( /:)1( . ,2, ,4,.4 间的距离与平面求 平面求证 的中点 是，设平面且的中点和 分别为、中的正三角形已知边长为如图例 PFQAE PFQAE CEQAB CPAPAACBC FEAB C x y z A P B C E F Q .)2( ;/:)1( . ,4.5 11111111 1111 间的距离与平面求平面 平面平面求证 的中点、分别是、 、的边长为正方体例 E F B DA M N E F B DA M N CBCDBADAFE NMDCBAA B C D
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