空间向量与空间角用课堂PPT

1第3课时空间向量与空间角23空间三种角的向量求法空间三种角的向量求法|cos|cos|a ba b(02，|cos|cos|a na n02，4|cos|cos|1212nn.n n0,0,51.1.判一判判一判(正确的打正确的打“”,”,错误的打错误的打“”)”)(1)(1)两异面直线所成的角与两直线的方向向量所成的角相两异面直线所成的角与两直线的方向向量所成的角相等等.(.()(2)(2)若向量若向量n1 1,n2 2分别为二面角的两半平面的法向量分别为二面角的两半平面的法向量,则二面角则二面角的平面角的余弦值为的平面角的余弦值为coscos=(=()(3)(3)直线与平面所成角的范围为直线与平面所成角的范围为 ()1212.|n nnn(0).2，6【解析】【解析】(1)(1)错误错误.两异面直线所成的角的范围为两异面直线所成的角的范围为 ,两直线两直线的方向向量所成角的范围为的方向向量所成角的范围为0,.0,.(2)(2)错误错误.二面角的范围为二面角的范围为0,0,两向量所成角的范围为两向量所成角的范围为0,0,虽然范围一致虽然范围一致,但两向量所成的角与二面角不一定一致但两向量所成的角与二面角不一定一致,因平面的法向量的指向有两个因平面的法向量的指向有两个,两向量所成的角与二面角所成两向量所成的角与二面角所成的角同为直角、锐角、钝角时才相等的角同为直角、锐角、钝角时才相等.(3)(3)错误错误.当直线与平面垂直时所成角为当直线与平面垂直时所成角为 .答案答案:(1)(1)(2)(2)(3)(3)(02，272.2.做一做做一做(请把正确的答案写在横线上请把正确的答案写在横线上)(1)(1)已知两平面的法向量分别为已知两平面的法向量分别为m=(0,1,0),=(0,1,0),n=(0,1,1),=(0,1,1),则两平则两平面所成的二面角的大小为面所成的二面角的大小为.(2)(2)若直线的方向向量为若直线的方向向量为u1 1=(1,1,1),=(1,1,1),平面的法向量为平面的法向量为u2 2=(2,2,2),=(2,2,2),则直线与平面所成角的正弦值为则直线与平面所成角的正弦值为.(3)(3)若直线若直线l1 1的方向向量为的方向向量为u1 1=(1,3,2),=(1,3,2),直线直线l2 2的方向向量为的方向向量为u2 2=(2,-1,1),=(2,-1,1),则两直线所成的角的余弦值为则两直线所成的角的余弦值为.8【解析】【解析】(1)cos(1)cos=所以所以=45=45.所以二面角为所以二面角为4545或或135135.答案答案:4545或或135135(2)(2)因为因为u1 1=(1,1,1)=(1,1,1)与与u2 2=(2,2,2)=(2,2,2)共线易得直线与平面垂直共线易得直线与平面垂直,则直线与平面所成的角的正弦值为则直线与平面所成的角的正弦值为1.1.答案答案:1 11222，m nm n9(3)(3)因为因为u1 1u2 2=(1,3,2)=(1,3,2)(2,-1,1)=1,(2,-1,1)=1,|u1 1|u2 2|=|=则两直线所成的角的余弦值为则两直线所成的角的余弦值为|cos|cos|=|=答案答案:1 944 1 1842 21 ，121221.42|u uuu214210【要点探究】【要点探究】知识点知识点 向量法求空间角向量法求空间角1.1.两条异面直线所成的角的两个关注点两条异面直线所成的角的两个关注点(1)(1)余弦值非负余弦值非负:两条异面直线所成角的余弦值一定为非负值两条异面直线所成角的余弦值一定为非负值,而对应的方向向量的夹角可能为钝角而对应的方向向量的夹角可能为钝角.(2)(2)范围范围:异面直线所成的角异面直线所成的角 ,故两直线的方向向量故两直线的方向向量夹角夹角的余弦值为负时的余弦值为负时,应取其绝对值应取其绝对值.(02，112.2.对直线与平面所成角的两点说明对直线与平面所成角的两点说明(1)(1)互余关系互余关系:若直线与平面所成的角为若直线与平面所成的角为,直线的方向向量和直线的方向向量和平面的法向量夹角为平面的法向量夹角为,则其关系为则其关系为sin=|cossin=|cos|.|.(2)(2)对应关系对应关系:若直线若直线l(方向向量为方向向量为a)与平面与平面(法向量为法向量为n)所所成的角为成的角为,当当 时时,=-,=-;当当 时时,=,=-.-.02，(2，22123.3.二面角范围的辨别二面角范围的辨别若二面角为若二面角为,两平面的法向量夹角为两平面的法向量夹角为,则则|cos|=|cos|,|cos|=|cos|,需分辨角需分辨角是锐角还是钝角是锐角还是钝角,可由图形观察得出可由图形观察得出,也可由法向量也可由法向量特征得出特征得出.13【微思考】【微思考】(1)(1)若二面角若二面角-l-的两个半平面的法向量分别为的两个半平面的法向量分别为n1 1,n2 2,则二则二面角的平面角与两法向量夹角面角的平面角与两法向量夹角 的关系的关系.提示提示:相等或互补相等或互补(2)(2)利用向量法求空间角时利用向量法求空间角时,关键需找到哪些量关键需找到哪些量?提示提示:关键要找到直线的方向向量与平面的法向量关键要找到直线的方向向量与平面的法向量.14【微思考】【微思考】利用向量法求直线与平面夹角的基本步骤利用向量法求直线与平面夹角的基本步骤(1)(1)建立空间直角坐标系建立空间直角坐标系.(2)(2)求直线的方向向量求直线的方向向量(3)(3)求平面的法向量求平面的法向量n.(4)(4)计算：设线面角为计算：设线面角为，则，则sin sin AB.|AB|.|AB nn154.“4.“一作一作,二证二证,三求三求”计算空间角计算空间角一作一作:即作辅助线找到对应角如异面直线夹角关键是通过平移即作辅助线找到对应角如异面直线夹角关键是通过平移法求解法求解,线面角的关键是作出斜线在平面上的射影线面角的关键是作出斜线在平面上的射影,二面角的关二面角的关键是利用三垂线定理找二面角键是利用三垂线定理找二面角;二证二证:找到对应角后利用异面直线所成角找到对应角后利用异面直线所成角,线面所成角线面所成角,面面所面面所成角的定义证明对应角就是所求角成角的定义证明对应角就是所求角;三求三求:一般来说是通过解三角形求解一般来说是通过解三角形求解.要注意异面直线所成角要注意异面直线所成角,直线与平面所成角直线与平面所成角,二面角的范围二面角的范围.16【即时练】【即时练】已知点已知点A(1,0,0),B(0,2,0),C(0,0,3),A(1,0,0),B(0,2,0),C(0,0,3),则平面则平面ABCABC与平面与平面xOyxOy所所成锐二面角的余弦值为成锐二面角的余弦值为.17【解析】【解析】(1 1，2 2，0)0)，(1 1，0 0，3)3)设平面设平面ABCABC的法向量为的法向量为n(x(x，y y，z)z)由由n 0 0，n 0 0知知令令x x2 2，则，则y y1 1，z z所以平面所以平面ABCABC的一个法向量为的一个法向量为n(2(2，1 1，)平面平面xOyxOy的一个的一个法向量为法向量为 (0(0，0 0，3)3)由此易求出所求二面角的余弦值由此易求出所求二面角的余弦值为为答案：答案：AB AC AB AC x2y0 x3z0.，2.323OC 272718【题型示范】【题型示范】类型一类型一 异面直线所成的角异面直线所成的角【典例【典例1 1】(1)(2014(1)(2014天津高二检测天津高二检测)已知正四棱柱已知正四棱柱ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中,AAAA1 1=2AB,E=2AB,E是是AAAA1 1的中点的中点,则异面直线则异面直线D D1 1C C与与BEBE所成角的余弦值所成角的余弦值为为()13 10103A.B.C.D.51010519(2)(2)在三棱锥在三棱锥V-ABCV-ABC中，顶点中，顶点C C在空间直角坐标系的原点处，顶在空间直角坐标系的原点处，顶点点A A，B B，V V分别在分别在x x，y y，z z轴上，轴上，D D是线段是线段ABAB的中点，且的中点，且ACACBCBC2 2，VDCVDC.当当 时，求异面直线时，求异面直线ACAC与与VDVD所成角的余所成角的余弦值弦值320【解题探究】【解题探究】1.1.题题(1)(1)中如何建立空间直角坐标系中如何建立空间直角坐标系?异面直线异面直线D D1 1C C与与BEBE所对应的方向向量分别是多少所对应的方向向量分别是多少?2.2.题题(2)(2)中在坐标系中如何确定点中在坐标系中如何确定点A,C,V,DA,C,V,D的坐标的坐标?21【探究提示】【探究提示】1.1.以以A A为原点，为原点，ABAB，ADAD，AAAA1 1所在直线分别为所在直线分别为x x轴、轴、y y轴、轴、z z轴建立空间直角坐标系，设轴建立空间直角坐标系，设ABAB1 1，则异面直线，则异面直线BEBE与与D D1 1C C的方向向量分别为的方向向量分别为 (1 1，0 0，1)1)，(1 1，0 0，2).2).2.2.由由ACACBCBC2 2，D D是是ABAB的中点，所以的中点，所以C(0C(0，0 0，0)0)，A(2A(2，0 0，0)0)，B(0B(0，2 2，0)0)，D(1D(1，1 1，0)0)再结合再结合 可得可得V(0V(0，0 0，).).BE 1CD 3622【自主解答】【自主解答】(1)(1)选选B.B.以以A A为原点，为原点，ABAB，ADAD，AAAA1 1所在直线分别为所在直线分别为x x轴，轴，y y轴，轴，z z轴建立空间直角坐轴建立空间直角坐标系，设标系，设ABAB1 1，则，则B(1B(1，0 0，0)0)，D(0D(0，1 1，0)0)，C(1C(1，1 1，0)0)，因为，因为AAAA1 12AB2AB，所以，所以E(0E(0，0 0，1)1)，D D1 1(0(0，1 1，2)2)，所以，所以 (1 1，0 0，1)1)，(1 1，0 0，2)2)，所以所以 (2)AC(2)ACBCBC2 2，D D是是ABAB的中点，的中点，所以所以C(0C(0，0 0，0)0)，A(2A(2，0 0，0)0)，B(0B(0，2 2，0)0)，D(1D(1，1 1，0)0)BE 1CD 111BE CD33 10cosBE CD.10BE|CD|25 ，|23当当 时，在时，在RtRtVCDVCD中，中，CDCD故故V(0V(0，0 0，)所以所以 (2 2，0 0，0)0)，(1(1，1 1，)所以所以所以异面直线所以异面直线ACAC与与VDVD所成角的余弦值为所成角的余弦值为32，6AC VD6AC VD22cosACVD.42 2 2AC|VD|，2.424【方法技巧】【方法技巧】求异面直线夹角的两种方法求异面直线夹角的两种方法(1)(1)几何法几何法.方法：解决此类问题，关键是通过平移法求解方法：解决此类问题，关键是通过平移法求解.过某一点作过某一点作平行线，将异面直线所成的角转化为平面角，最后通过解三角平行线，将异面直线所成的角转化为平面角，最后通过解三角形求解形求解.主要以主要以“作，证，算作，证，算”来求异面直线所成的角，同时，来求异面直线所成的角，同时，要注意异面直线所成角的范围要注意异面直线所成角的范围.关注点：结合图形求角时，应注意平面几何知识的应用，如关注点：结合图形求角时，应注意平面几何知识的应用，如等腰等腰(边边)三角形的性质、中位线的性质及勾股定理、余弦定理三角形的性质、中位线的性质及勾股定理、余弦定理及有关推论及有关推论.25(2)(2)向量法向量法.方法方法:利用数量积或坐标方法将异面直线所成的角利用数量积或坐标方法将异面直线所成的角转化为转化为两直线的方向向量所成的角两直线的方向向量所成的角,若求出的两向量的夹角为钝角若求出的两向量的夹角为钝角,则异面直线的夹角应为两向量夹角的补角则异面直线的夹角应为两向量夹角的补角,即即cos=|coscos=|cos|.|.关注点关注点:求角时求角时,常与一些向量的计算联系在一起常与一些向量的计算联系在一起,如向量的如向量的坐标运算、数量积运算及模的运算坐标运算、数量积运算及模的运算.26【变式训练】【变式训练】如图所示如图所示,在三棱柱在三棱柱ABC-AABC-A1 1B B1 1C C1 1中中,AA,AA1 1底面底面ABC,AB=BC=AAABC,AB=BC=AA1 1,ABC=90,ABC=90,点点E,FE,F分别是棱分别是棱AB,BBAB,BB1 1的中点的中点,则则直线直线EFEF和和BCBC1 1所成角的大小是所成角的大小是.27【解析】【解析】分别以分别以BA,BC,BBBA,BC,BB1 1为为x,y,zx,y,z轴轴,建立空间直角坐标系建立空间直角坐标系,如图如图,设设AB=1,AB=1,则则B(0B(0，0 0，0)0)，E(E(，0 0，0)0)，F(0F(0，0 0，)，C C1 1(0(0，1 1，1)1)，所以所以 (0(0，1 1，1)1)所以直线所以直线EFEF和和BCBC1 1所成角的大小为所成角的大小为6060.答案：答案：6060121211EF(0)22，1BC 1111EF BC12cosEF BC22EF BC22 ，28【补偿训练】【补偿训练】如图所示如图所示,三棱柱三棱柱OAB-OOAB-O1 1A A1 1B B1 1中中,平面平面OBBOBB1 1O O1 1平平面面OAB,OOAB,O1 1OB=60OB=60,AOB=90,AOB=90,且且OB=OOOB=OO1 1=2,OA=,=2,OA=,求异求异面直线面直线A A1 1B B与与AOAO1 1所成角的余弦值的大小所成角的余弦值的大小.329【解析】【解析】建立如图所示的空间直角坐标系建立如图所示的空间直角坐标系,30则则O(0O(0，0 0，0)0)，O O1 1(0(0，1 1，)，A(A(，0 0，0)0)，A A1 1(，1 1，)，B(0B(0，2 2，0)0)，所以，所以所以所以所以异面直线所以异面直线A A1 1B B与与AO1AO1所成角的余弦值为所成角的余弦值为333311A B OB OA313 ，11O A OA OO313 ，11cosA BO A ，1111A B O A(313)(313)1.777A B|O A|，1.731类型二类型二 直线与平面所成的角直线与平面所成的角【典例【典例2 2】(1)(1)已知三棱柱已知三棱柱ABC-AABC-A1 1B B1 1C C1 1的侧棱与底面边长都相等的侧棱与底面边长都相等,A,A1 1在底面在底面ABCABC内的射影为内的射影为ABCABC的中心的中心,则则ABAB1 1与底面与底面ABCABC所成角的正弦值所成角的正弦值等于等于()1232A.B.C.D.333332(2)(2013(2)(2013湖南高考湖南高考)如图如图,在直棱柱在直棱柱ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中,ADBC,BAD=90ADBC,BAD=90,ACBD,BC=1,AD=AA,ACBD,BC=1,AD=AA1 1=3.=3.证明证明:ACB:ACB1 1D;D;求直线求直线B B1 1C C1 1与平面与平面ACDACD1 1所成角的正弦值所成角的正弦值.33【解题探究】【解题探究】1.1.题题(1)(1)中可利用哪个条件建立空间直角坐标系中可利用哪个条件建立空间直角坐标系?2.2.题题(2)(2)中可借助题目中的哪些条件建立空间直角坐标系中可借助题目中的哪些条件建立空间直角坐标系?直线直线B B1 1C C1 1与平面与平面ACDACD1 1所成角的正弦值用向量如何表示所成角的正弦值用向量如何表示?34【探究提示】【探究提示】1.1.可利用侧棱与底面边长都相等可利用侧棱与底面边长都相等,A,A1 1在底面在底面ABCABC内的射影为内的射影为ABCABC的中心的中心,建立空间直角坐标系建立空间直角坐标系.2.2.利用利用AB,AD,AAAB,AD,AA1 1两两垂直可以建立空间直角坐标系两两垂直可以建立空间直角坐标系.设设n是平是平面面ACDACD1 1的一个法向量的一个法向量,则直线则直线B B1 1C C1 1与平面与平面ACDACD1 1所成角的正弦值所成角的正弦值sin=|cossin=|cos|=,|=11B C1111B C.|B C|nn35【自主解答】【自主解答】(1)(1)选选B.B.如图如图,设设A A1 1在平面在平面ABCABC内的射影为内的射影为O,O,以以O O为坐标原点为坐标原点,OA,OA,OA,OA1 1分别为分别为x x轴、轴、z z轴建立空间直角坐标系轴建立空间直角坐标系,如图设如图设ABCABC边长为边长为1 1，则，则所以所以平面平面ABCABC的法向量的法向量n(0(0，0 0，1)1)，则则ABAB1 1与底面与底面ABCABC所成角所成角的正弦值为的正弦值为sin sin|cos|cos ，n|133 16A(0 0)B()3223，15 3 16AB()623，1AB 623.37516364936(2)(2)易知易知,AB,AD,AA,AB,AD,AA1 1两两垂直两两垂直.如图如图,以以A A为坐标原为坐标原点点,AB,AD,AA,AB,AD,AA1 1所在直线分别为所在直线分别为x x轴轴,y,y轴轴,z,z轴建立空间直角坐标轴建立空间直角坐标系系.37设设ABABt t，则相关各点的坐标为：，则相关各点的坐标为：A(0A(0，0 0，0)0)，B(tB(t，0 0，0)0)，B B1 1(t(t，0 0，3)3)，C(tC(t，1 1，0)0)，C C1 1(t(t，1 1，3)3)，D(0D(0，3 3，0)0)，D D1 1(0(0，3 3，3)3)从而从而 (t t，3 3，3)3)，(t(t，1 1，0)0)，(t t，3 3，0)0)1B D AC BD 38因为因为ACBDACBD，所以，所以 t t2 23 30 00.0.解得解得t t 或或t t (舍去舍去)于是于是因为因为 3 33 30 00 0，所以，所以即即AC BD 331B D3 33 AC310 ，1AC B D 1ACB D ，1ACB D.39由由知，知，(0(0，3 3，3)3)，(，1 1，0)0)，(0(0，1 1，0)0)设设n(x(x，y y，z)z)是平面是平面ACDACD1 1的一个法向量，的一个法向量，则则 即即令令x x1 1，则，则n设直线设直线B B1 1C C1 1与平面与平面ACDACD1 1所成角为所成角为，则，则sin sin|cos|cosn，|即直线即直线B B1 1C C1 1与平面与平面ACDACD1 1所成角的正弦值为所成角的正弦值为1AD AC 311B C1AC0AD0 ，nn3xy03y3z0.，133，11B C1111B C321.77|B C|nn21.740【方法技巧】【方法技巧】1.1.直线和平面所成的角的向量公式直线和平面所成的角的向量公式如图所示如图所示,设直线设直线l的方向向量为的方向向量为e,平面平面的法向量为的法向量为n,直线直线l与与平面平面所成的角为所成的角为,两向量两向量e与与n的夹角为的夹角为,则有则有sinsin=|cos|=|cos|=.|n ene412.2.利用向量法求直线与平面夹角的基本步骤利用向量法求直线与平面夹角的基本步骤(1)(1)建立空间直角坐标系建立空间直角坐标系.(2)(2)求直线的方向向量求直线的方向向量(3)(3)求平面的法向量求平面的法向量n.(4)(4)计算：设线面角为计算：设线面角为，则，则sin sin AB.|AB|.|AB nn42【变式训练】【变式训练】(2014(2014石家庄高二检测石家庄高二检测)正方体正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中,E,F,E,F分别为分别为AB,CAB,C1 1D D1 1的中点的中点,则则A A1 1B B1 1与平面与平面A A1 1EFEF夹角的正弦值为夹角的正弦值为()666A.B.C.D.223443【解题指南】【解题指南】建立空间直角坐标系建立空间直角坐标系,先计算直线先计算直线A A1 1B B1 1对应的方对应的方向向量向向量 ,再求出平面再求出平面A A1 1EFEF的法向量的法向量,然后利用向量公式求然后利用向量公式求出出A A1 1B B1 1与平面与平面A A1 1EFEF夹角的正弦值夹角的正弦值.11A B44【解析】【解析】选选B.B.建系如图，设正方体的棱长为建系如图，设正方体的棱长为1 1，则，则A A1 1(1(1，0 0，1)1)，E(1E(1，0)0)，F(0F(0，1)1)，B B1 1(1(1，1 1，1)1)(0(0，1 1，0).0).设平面设平面A A1 1EFEF的法向量的法向量n(x(x，y y，z)z)，则则 即即令令y y2 2，则，则 所以所以n(1(1，2 2，1)1)，coscosn，即所求角的正弦值为即所求角的正弦值为 .121211A B11A E0A F0，nn1yz02yx0.2，x1z1，11A B2636，6345【补偿训练】【补偿训练】在正方体在正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中,A,A1 1B B与平面与平面A A1 1B B1 1CDCD所成所成角的大小为角的大小为.【解析】【解析】以以D D为原点为原点,DA,DC,DD,DA,DC,DD1 1分别为分别为x,y,zx,y,z轴轴,建立如图所示的空间直角坐标建立如图所示的空间直角坐标系系,设正方体的棱长为设正方体的棱长为1,1,则则A A1 1(1,0,1),(1,0,1),C(0,1,0).C(0,1,0).所以所以 =(1,0,1),=(0,1,0).=(1,0,1),=(0,1,0).1DA DC 46设平面设平面A A1 1B B1 1CDCD的法向量为的法向量为n(x(x，y y，z)z)，则则令令z z1 1得得x x1.1.所以所以n(1(1，0 0，1)1)，又，又B(1B(1，1 1，0)0)，所以所以 (0(0，1 1，1)1)，1DA0 xz0y0.DC0 ，nn1A B 47coscosn，所以所以n，6060，所以所以A A1 1B B与平面与平面A A1 1B B1 1CDCD所成的角为所成的角为3030.答案：答案：30301A B 11A B11.222A B|nn1A B 48类型三类型三 二面角二面角【典例【典例3 3】(1)(1)在一个二面角的两个面内都和二面角的棱垂直的两个向量在一个二面角的两个面内都和二面角的棱垂直的两个向量分别为分别为(0,-1,3),(2,2,4),(0,-1,3),(2,2,4),则这个二面角的余弦值为则这个二面角的余弦值为()(2)PA(2)PA平面平面ABCABC，ACBCACBC，PAPAACAC1 1，BCBC 求二面角求二面角A-A-PB-CPB-C的余弦值的余弦值151515A.B C.D663以上都不对2.49【解题探究】【解题探究】1.1.题题(1)(1)中的都和二面角的棱垂直的两个向量分中的都和二面角的棱垂直的两个向量分别为别为(0,-1,3),(2,2,4),(0,-1,3),(2,2,4),所成的角与二面角是否相等所成的角与二面角是否相等?2.2.题题(2)(2)中建立空间直角坐标系的条件有哪些中建立空间直角坐标系的条件有哪些?求二面角的向量求二面角的向量法公式是什么法公式是什么?【探究提示】【探究提示】1.1.不一定相等不一定相等,依据向量的方向性可能相等也可依据向量的方向性可能相等也可能互补能互补.2.PA2.PA平面平面ABC,ACBCABC,ACBC是建立空间直角坐标系的条件是建立空间直角坐标系的条件.利用利用coscos=1212.n nn n50【自主解答】【自主解答】(1)(1)选选D.D.设二面角为设二面角为，则，则cos=cos=所以这个二面角的余弦值为所以这个二面角的余弦值为 或或(2)(2)方法一：如图，建立空间直角坐标系，方法一：如图，建立空间直角坐标系，则则A(0A(0，0 0，0)0)，B(B(，1 1，0)0)，C(0C(0，1 1，0)0)，P(0P(0，0 0，1)1)，所以所以 (0(0，0 0，1)1)，(，1 1，0)0)(013)2 2 41561 944 16，15615.62AP AB 251设平面设平面PABPAB的法向量为的法向量为n1 1(x(x1 1，y y1 1，z z1 1)，由由 得得令令x x1 11 1，则，则n1 1(1(1，0)0)(0(0，1 1，1)1)，(，0 0，0)0)11AP0AB0 ，nn111z02xy0.，2CP CB 252设平面设平面PBCPBC的法向量为的法向量为n2 2(x(x2 2，y y2 2，z z2 2)，由由 得得令令z z2 21 1，则，则n2 2(0(0，1 1，1)1)所以所以coscosn1 1，n2 2因为所求二面角为锐角，因为所求二面角为锐角，所以二面角所以二面角A-PB-CA-PB-C的余弦值为的余弦值为22CP0CB0 ，nn222yz02x0.，121223.332n nn n3.353方法二：如图所示，取方法二：如图所示，取PBPB的中点的中点D D，连结，连结CD.CD.因为因为PAPA平面平面ABCABC，所以，所以PAAC.PAAC.所以所以PCPC因为因为PCPCBCBC所以所以CDPB.CDPB.作作AEPBAEPB于于E E，那么二面角那么二面角A-PB-CA-PB-C平面角的大小就等于平面角的大小就等于 与与 的夹角的夹角.22PAAC2.2，DC EA 54因为因为PAPA平面平面ABCABC，BCACBCAC，所以所以PCBC.PCBC.所以所以PBPB 2.2.所以所以PDPD1 1，PEPE所以所以DEDEPDPDPEPE又因为又因为AEAE CDCD1 1，ACAC1 1，且且22PCBC2PA1.PB21.2AP AB3PB2，AC AE ED DC ，AEED EDDC ，55所以所以即即1 1 1 12 2 1 1cos cos，解得，解得cos cos 故二面角故二面角A-PB-CA-PB-C的余弦值为的余弦值为2222ACAEEDDC2|AE|DC|cos ，31443233，3.356【方法技巧】【方法技巧】利用向量法求二面角的两种方法利用向量法求二面角的两种方法(1)(1)若若AB,CDAB,CD分别是两个平面分别是两个平面,内与棱内与棱l垂直的异面直线垂直的异面直线,则则两个平面的夹角的大小就是向量两个平面的夹角的大小就是向量 与与 的夹角的夹角,如图如图.AB CD 57(2)(2)设设n1 1,n2 2分别是平面分别是平面,的法向量的法向量,则向量则向量n1 1与与n2 2的夹角的夹角(或或其补角其补角)就是两个平面夹角的大小就是两个平面夹角的大小,如图如图.此方法的解题步骤此方法的解题步骤如下如下:58【变式训练】【变式训练】(2014(2014北京高二检测北京高二检测)正方体正方体ABEF-DCEFABEF-DCEF中中,M,NM,N分别为分别为AC,BFAC,BF的中点的中点(如图如图),),求平面求平面MNAMNA与平面与平面MNBMNB所成角的所成角的余弦值余弦值.59【解析】【解析】方法一：设正方体棱长为方法一：设正方体棱长为1.1.以以B B为坐标原点，为坐标原点，BABA，BEBE，BCBC所在直线分别所在直线分别为为x x轴，轴，y y轴，轴，z z轴建立空间直角坐标系轴建立空间直角坐标系BxyzBxyz，则则 A(1A(1，0 0，0)0)，B(0B(0，0 0，0)0)取取MNMN的中点的中点G G，连接，连接BGBG，AGAG，则则111 1M(0)N(0)222 2，1 1 1G()2 4 4，60因为因为AMNAMN，BMNBMN为等腰三角形，为等腰三角形，所以所以AGMNAGMN，BGMN.BGMN.所以所以AGBAGB为二面角的平面角或其补角为二面角的平面角或其补角因为因为所以所以故所求两平面所成角的余弦值为故所求两平面所成角的余弦值为111GA()244，111GB()244 ，1GA GB18cosGA GB.333GA GB88 ，1.361方法二：设平面方法二：设平面AMNAMN的法向量的法向量n1 1(x(x，y y，z)z)即即令令x x1 1，解得，解得y y1 1，z z1 1，111 1AM(0)AN(0)222 2 ，11AM0AN0，nn11xz02211xy0.22，62所以所以n1 1(1(1，1 1，1)1)同理可求得平面同理可求得平面BMNBMN的一个法向量的一个法向量n2 2(1(1，1 1，1)1)所以所以 coscosn1 1，n2 2故所求两平面所成角的余弦值为故所求两平面所成角的余弦值为121211.333n nn n1.363【补偿训练】【补偿训练】(2014(2014汕头高二检测汕头高二检测)如图所示，四棱锥如图所示，四棱锥P-ABCDP-ABCD中，底面中，底面ABCDABCD为正方形，为正方形，PDPD平面平面ABCDABCD，PDPDABAB2 2，E E，F F，G G分别为分别为PCPC，PDPD，BCBC的中点的中点(1)(1)求证：求证：PAEF.PAEF.(2)(2)求二面角求二面角D-FG-ED-FG-E的余弦值的余弦值64【解析】【解析】以以D D为坐标原点为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz,Dxyz,则则D(0,0,0),A(0,2,0),C(-2,0,0),P(0,0,2),E(-1,0,1),D(0,0,0),A(0,2,0),C(-2,0,0),P(0,0,2),E(-1,0,1),F(0,0,1),G(-2,1,0).F(0,0,1),G(-2,1,0).65(1)(1)证明：由于证明：由于 (0(0，2 2，2)2)，(1(1，0 0，0)0)，则，则 1 10 00 02 2(2)2)0 00 0，所以所以PAEF.PAEF.PA EFPA EF 66(2)(2)易知易知 (0(0，0 0，1)1)，(1(1，0 0，0)0)，(2 2，1 1，1)1)，设平面设平面DFGDFG的法向量的法向量m(x(x1 1，y y1 1，z z1 1)，则则 解得解得令令x x1 11 1，得，得m(1(1，2 2，0)0)是平面是平面DFGDFG的一个法向量的一个法向量DF EFFG DF0FG0 ，mm1111z02xyz0.，67设平面设平面EFGEFG的法向量的法向量n(x(x2 2，y y2 2，z z2 2)，同理可得同理可得n(0(0，1 1，1)1)是平面是平面EFGEFG的一个法向量的一个法向量因为因为coscosm，n设二面角设二面角D-FG-ED-FG-E的平面角为的平面角为，由图可知，由图可知m，n，所以所以cos cos 所以二面角所以二面角D-FG-ED-FG-E的余弦值为的余弦值为 .2210|55210，m nmn105，10568【拓展类型】【拓展类型】空间角中的探索题空间角中的探索题 【备选典例】【备选典例】(1)(1)如图，在五面体如图，在五面体ABCDEFABCDEF中中 ，FAFA平面平面ABCDABCD，ADBCFEADBCFE，ABADABAD，AF=AB=BC=FE=AD.AF=AB=BC=FE=AD.求异面直线求异面直线BFBF与与DEDE所成角的余弦值所成角的余弦值.在线段在线段CECE上是否存在点上是否存在点M M，使得直线，使得直线AMAM与平面与平面CDECDE所成角的所成角的正弦值为正弦值为 若存在，试确定点若存在，试确定点M M的位置；若不存在，请说明的位置；若不存在，请说明理由理由.1363？69(2)(2)如图，矩形如图，矩形ABCDABCD和梯形和梯形BEFCBEFC所在平面互相垂直，所在平面互相垂直，BECFBECF，BCFBCFCEFCEF9090，ADAD EFEF2.2.求证：求证：AEAE平面平面DCFDCF；当当ABAB的长为何值时，二面角的长为何值时，二面角A-EF-CA-EF-C的大小为的大小为6060？3，70【解析】【解析】(1)(1)建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设AB=1AB=1，则则B(1B(1，0 0，0)0)，C(1C(1，1 1，0)0)，D(0D(0，3 3，0)0)，F(0F(0，0 0，1)1)，E(0E(0，1 1，1)1)=(-1 =(-1，0 0，1)1)，=(0=(0，-2-2，1)1)，所以异面直线所以异面直线BFBF与与DEDE所成角的余弦值为所成角的余弦值为BFDE cosBF DE ，BF DE1101025BF DE ，10.1071设平面设平面CDECDE的法向量为的法向量为n=(x=(x，y y，z)z)，=(-1=(-1，2 2，0)0)，=(0=(0，-2-2，1)1)，因为因为所以所以令令y=1y=1，得，得x=z=2x=z=2，所以，所以n=(2=(2，1 1，2)2)，CD DE CD0 DE0 ，nnx2y02yz0.，72设存在点设存在点M(pM(p，q q，r)r)满足条件，由满足条件，由 得得p=1-p=1-，q=1q=1，r=r=，即，即M(1-M(1-，1 1，)，所以，所以 =(1-=(1-，1 1，).).因为直线因为直线AMAM与平面与平面CDECDE所成角的正弦值为所成角的正弦值为所以所以 得得=故当点故当点M M为为CECE中点时，直线中点时，直线AMAM与平面与平面CDECDE所成角的正弦值为所成角的正弦值为CMCE AM 6AM6|cosAM|33AM|，|nnn12，63，6.373(2)(2)建系如图，设建系如图，设ABABa a，BEBEb b，CFCFc c，则，则C(0C(0，0 0，0)0)，D(0D(0，0 0，a)a)，F(0F(0，c c，0)0)，A(A(，0 0，a)a)，E(E(，b b，0)0)，B(B(，0 0，0)0)，(，b b，0)0)(，0 0，a)a)(0(0，b b，a)a)，(0(0，0 0，a)a)，(0(0，c c，0)0)，设设 则则(0(0，b b，a)a)(0(0，cc，a)a)，所以所以 1 1，所以，所以又又AEAE 平面平面DCFDCF，所以，所以AEAE平面平面DCF.DCF.333AE 33CD CFAECDCF ，bc，bAECDCFc ，74因为因为且且所以所以 解得解得b b3 3，c c4 4，所以所以E(E(，3 3，0)0)，F(0F(0，4 4，0)0)EF3cb 0 CE(3b 0)，EF CE 0 EF2.，23b cb03cb2，375设设n(1(1，y y，z)z)与平面与平面AEFAEF垂直，垂直，则则n 0 0，n 0 0，解得解得n又因为又因为BABA平面平面BEFCBEFC，(0(0，0 0，a)a)，所以所以得到得到a a 所以当所以当ABAB为为 时，二面角时，二面角A-EF-CA-EF-C的大小为的大小为6060.AE EF3 3(13)a，BA 2|BA|3 31|cosBA|2|BA|4a27 ，nnn92，9276【方法技巧】【方法技巧】关于空间角的探索问题的处理思路关于空间角的探索问题的处理思路利用空间向量解决空间角中的探索问题，通常不需要复杂的几利用空间向量解决空间角中的探索问题，通常不需要复杂的几何作图，论证，推理，只需先假设结论成立，设出空间的坐标，何作图，论证，推理，只需先假设结论成立，设出空间的坐标，通过向量的坐标运算进行推断，把是否存在问题转化为点的坐通过向量的坐标运算进行推断，把是否存在问题转化为点的坐标是否有解的问题来处理标是否有解的问题来处理.77【规范解答】【规范解答】利用向量法求空间角利用向量法求空间角【典例】【典例】(12(12分分)(2013)(2013新课标全国卷新课标全国卷)如图如图,直棱柱直棱柱ABC-ABC-A A1 1B B1 1C C1 1中中,D,E,D,E分别是分别是AB,BBAB,BB1 1的中点的中点,AA,AA1 1=AC=CB=AB.=AC=CB=AB.(1)(1)证明证明:BC:BC1 1平面平面A A1 1CD.CD.(2)(2)求二面角求二面角D-AD-A1 1C-EC-E的正弦值的正弦值.2278【审题】【审题】抓信息抓信息,找思路找思路79【解题】【解题】明步骤明步骤,得高分得高分8081【点题】【点题】警误区警误区,促提升促提升失分点失分点1:1:解题时若在解题时若在处不能利用三角形中的边长关系找到垂处不能利用三角形中的边长关系找到垂直的条件直的条件,从而不能正确恰当地建立空间直角坐标系从而不能正确恰当地建立空间直角坐标系,则本例最则本例最多得多得4 4分分.失分点失分点2:2:解题时若在解题时若在处不能利用中点坐标公式求解点的坐标处不能利用中点坐标公式求解点的坐标或坐标求错或坐标求错,则本例最多得则本例最多得6 6分分.失分点失分点3:3:解题时若在解题时若在处不能利用三角函数的知识把向量的余处不能利用三角函数的知识把向量的余弦值转化为二面角的正弦值弦值转化为二面角的正弦值,则本例最多得则本例最多得1010分分.82【悟题】【悟题】提措施提措施,导方向导方向1.1.利用条件建立空间直角坐标系利用条件建立空间直角坐标系充分利用题干中的垂直关系建立空间直角坐标系充分利用题干中的垂直关系建立空间直角坐标系,特别关注隐特别关注隐含条件的发现含条件的发现,如本例因三棱柱为直棱柱如本例因三棱柱为直棱柱,且且AC=CB=ABAC=CB=AB故可故可以以点以以点C C为坐标原点为坐标原点,分别以直线分别以直线CA,CB,CCCA,CB,CC1 1为为x x轴轴,y,y轴轴,z,z轴建立轴建立坐标系坐标系.22832.2.充分利用向量关系求点的坐标充分利用向量关系求点的坐标利用向量法求空间角问题利用向量法求空间角问题,确定直线方向向量与平面法向量是确定直线方向向量与平面法向量是关键关键,而确定向量的方法是确定点的坐标而确定向量的方法是确定点的坐标,充分利用向量关系如充分利用向量关系如中点坐标公式等条件可快速求出点的坐标中点坐标公式等条件可快速求出点的坐标.3.3.合理转化合理转化向量夹角与空间角转化要合理向量夹角与空间角转化要合理,范围要明确范围要明确,三角函数名称要注三角函数名称要注意意,如本例中先求出法向量夹角的余弦值如本例中先求出法向量夹角的余弦值,再求出正弦值再求出正弦值.84【类题试解】【类题试解】(2014(2014陕西高考陕西高考)四面体四面体ABCDABCD及其三视图如图所示及其三视图如图所示,过棱过棱ABAB的中点的中点E E作平行作平行于于AD,BCAD,BC的平面分别交四面体的棱的平面分别交四面体的棱BD,DC,CABD,DC,CA于点于点F,G,H.F,G,H.85(1)(1)证明证明:四边形四边形EFGHEFGH是矩形是矩形.(2)(2)求直线求直线ABAB与平面与平面EFGHEFGH夹角夹角的正弦值的正弦值.【解题指南】【解题指南】(1)(1)先证得四边形先证得四边形EFGHEFGH为平行四边形为平行四边形,再证得此再证得此平行四边形的邻边相互垂直平行四边形的邻边相互垂直,注意从三视图中推得已知注意从三视图中推得已知.(2).(2)利利用已知正确建立空间直角坐标系用已知正确建立空间直角坐标系,求得平面求得平面EFGHEFGH的法向量的法向量,代代入公式即可得解入公式即可得解.86【解析】【解析】(1)(1)因为因为BCBC平面平面EFGH,EFGH,平面平面EFGHEFGH平面平面BDC=FG,BDC=FG,平面平面EFGHEFGH平面平面ABC=EH,ABC=EH,所以所以BCFG,BCEH,BCFG,BCEH,所以所以FGEH.FGEH.同理同理EFAD,HGAD,EFAD,HGAD,所以所以EFHG,EFHG,所以四边形所以四边形EFGHEFGH是平行四边形是平行四边形.又由三视图可知又由三视图可知ADAD平面平面BDC,BDC,所以所以ADBC,ADBC,所以所以EFFG,EFFG,所以四边形所以四边形EFGHEFGH是矩形是矩形.87(2)(2)如图如图,以以D D为坐标原点建立空间直角坐标系为坐标原点建立空间直角坐标系,则则D(0,0,0),A(0,0,1),B(2,0,0),C(0,2,0),=(0,0,1),D(0,0,0),A(0,0,1),B(2,0,0),C(0,2,0),=(0,0,1),=(-2,2,0),=(-2,0,1).=(-2,2,0),=(-2,0,1).DABC BA 88设平面设平面EFGHEFGH的法向量的法向量n=(x,y,z),=(x,y,z),因为因为EFAD,FGBC,EFAD,FGBC,所以所以n =0 =0，n =0.=0.得得 取取n=(1,1,0),=(1,1,0),所以所以sin=sin=DABC z0,2x2y0,BA210|cosBA,|.552BA nnn899091