5.3.2几何应用

第五章第五章 一元一次方程一元一次方程5.3 5.3 应用一元一次方程应用一元一次方程水箱变高了水箱变高了第第2课时课时 几何应用几何应用1课堂讲解课堂讲解u长度关系长度关系u等积变形等积变形2课时流程课时流程逐点逐点导讲练导讲练课堂课堂小结小结作业作业提升提升列一元一次方程解实际问题的步骤有哪些？列一元一次方程解实际问题的步骤有哪些？复复习习回回顾顾 1知识点知识点长度关系长度关系预习准备预习准备1、长方形的周长、长方形的周长=_；面积；面积=_.2、长方体的体积、长方体的体积=_；正方体的体积；正方体的体积=_.3、圆的周长、圆的周长=_；面积；面积=_.4、圆柱的体积、圆柱的体积=_.知知1 1导导（长宽）（长宽）2长长宽宽长长宽宽高高棱长棱长32半径半径半径半径2底面积底面积高高知知1 1讲讲1.等长变形是指图形或物体的形状发生变化，但变等长变形是指图形或物体的形状发生变化，但变 化前后的物体的周长不变化前后的物体的周长不变2.一般用固定长度的线段围成不同形状的图形，关一般用固定长度的线段围成不同形状的图形，关 键是根据周长这一固定值列方程求解键是根据周长这一固定值列方程求解 例例1 用一根长用一根长60厘米的铁丝围成一个长方形厘米的铁丝围成一个长方形 使长使长 方形的宽是长的方形的宽是长的 ，求这个长方形的长、宽，求这个长方形的长、宽 (按长、宽的顺序填写按长、宽的顺序填写)解：解：设长方形的长为设长方形的长为x厘米，则宽为厘米，则宽为 厘米根据厘米根据 题意，得题意，得 解得解得x=18，答：答：长和宽分别为长和宽分别为18厘米，厘米，12厘米厘米知知1 1讲讲32x3260)32(2 xx1232 x总总 结结知知1 1讲讲 本题中总量是周长，各部分量是长方形的四条边本题中总量是周长，各部分量是长方形的四条边长；按照长；按照“总量各部分量的和总量各部分量的和”的思路列出方程的思路列出方程.知知1 1练练（来自（来自典中点典中点）1 一个长方形的周长是一个长方形的周长是16 cm，长比宽多，长比宽多2 cm，那么这个长方形的长与宽分别是那么这个长方形的长与宽分别是()A9 cm，7 cm B5 cm，3 cm C7 cm，5 cm D10 cm，6 cmB知知1 1练练（来自（来自典中点典中点）2 一个长方形的周长是一个长方形的周长是40 cm，若将长减少，若将长减少8 cm，宽增加宽增加2 cm，长方形就变成了正方形，则正方形，长方形就变成了正方形，则正方形的边长为的边长为()A6 cm B7 cm C8 cm D9 cm3 一个三角形的三条边的长度之比为一个三角形的三条边的长度之比为2:4:5，最，最 长的边比最短的边长长的边比最短的边长6 cm，求该三角形的周长，求该三角形的周长B设该三角形的边长分别为设该三角形的边长分别为2x，4x，5x5x2x6，即，即x2.该三角形的周长为该三角形的周长为2x4x5x22cm.2知识点知识点等积变形等积变形知知2 2讲讲 “等积变形等积变形”是以形状改变而体积不变为前提，是以形状改变而体积不变为前提，常用的关系有常用的关系有：（1）形状变了，体积没变；）形状变了，体积没变；（2）原材料体积）原材料体积=成品体积成品体积.知知2 2讲讲 某居民楼顶有一个底面直径和高均为某居民楼顶有一个底面直径和高均为4 m的圆的圆柱形储水箱柱形储水箱.现该楼进行维修改造，为减少楼顶原有现该楼进行维修改造，为减少楼顶原有储水箱的占地面积，需要将它的底面直径由储水箱的占地面积，需要将它的底面直径由4 m减减少为少为3.2 m.那么在容积不那么在容积不变的前提下，变的前提下，水箱的高水箱的高度将由原先的度将由原先的4 m变为多变为多少米？少米？知知2 2讲讲在这个问题中有如下的等量关系：旧水箱的容积在这个问题中有如下的等量关系：旧水箱的容积=新水新水箱的容积箱的容积.设水箱的高变为设水箱的高变为x m，填写下表：，填写下表：旧旧 水 箱水 箱新 水 箱新 水 箱底面半径底面半径/m高高/m容积容积/m3根据等量关系，列出方程：根据等量关系，列出方程：_.解得解得x=_.因此，水箱的高变成了因此，水箱的高变成了_m.列方程时，关键列方程时，关键是找出问题中的是找出问题中的 等量关系等量关系.知知2 2讲讲 等积变形指图形或物体的形状发生变化，但变等积变形指图形或物体的形状发生变化，但变化前后的体积或面积不变化前后的体积或面积不变等积变形问题中的等量等积变形问题中的等量关系是：变化前图形或物体的体积关系是：变化前图形或物体的体积(面积面积)变化后变化后图形或物体的体积图形或物体的体积(面积面积)知知2 2讲讲例例2 用一根长为用一根长为10 m的铁丝围成一个长方形的铁丝围成一个长方形.(1)使得该长方形的长比宽多使得该长方形的长比宽多1.4 m，此时长方形的，此时长方形的 长、宽各为多少米？长、宽各为多少米？(2)使得该长方形的长比宽多使得该长方形的长比宽多0.8 m，此时长方形的，此时长方形的 长、宽各为多少米长、宽各为多少米?它所围成的长方形与它所围成的长方形与(1)中中 所围长方形相比，面积有什么变化？所围长方形相比，面积有什么变化？(3)使得该长方形的长与宽相等，即围成一个正方使得该长方形的长与宽相等，即围成一个正方 形，此时正方形的边长是多少米？它所围成的形，此时正方形的边长是多少米？它所围成的 面积与面积与(2)中相比又有什么变化？中相比又有什么变化？（来自教材）（来自教材）知知2 2讲讲分析：分析：由题意可知，长方形的周长始终是不变的，由题意可知，长方形的周长始终是不变的，即长与宽的和为：即长与宽的和为：10 个问题的过程中，要抓住这个等量关系个问题的过程中，要抓住这个等量关系.解：解：(1)设此时长方形的宽为设此时长方形的宽为x m，则它的长为，则它的长为 (x 1.4)m.根据题意，得根据题意，得x x 1.4=10 解这个方程，得解这个方程，得x=1.8.1.8 1.4=3.2.此时长方形的长为此时长方形的长为3.2 m,宽为宽为1.8 m.（来自教材）（来自教材）1.2在在解解决决这这15(m).2=知知2 2讲讲(2)设此时长方形的宽为设此时长方形的宽为x m，则它的长为，则它的长为(x 0.8)m.根据题意，得根据题意，得x x 0.8=10 解这个方程，得解这个方程，得 x=2.1.2.1 0.8=2.9.此时长方形的长为此时长方形的长为2.9 m,宽为宽为2.1m，面积为，面积为2.9 2.1=6.09(m2)，(1)中长方形的面积为中长方形的面积为3.2 1.8=5.76(m2).此时长方形的面积比此时长方形的面积比(1)中长方形的面积中长方形的面积 增大增大 6.09 5.76=0.33(m2).（来自教材）（来自教材）1.2知知2 2讲讲(3)设正方形的边长为设正方形的边长为x m.根据题意，得根据题意，得x x=10 解这个方程，得解这个方程，得 x=2.5.正方形的边长为正方形的边长为2.5 m,正方形的面积为正方形的面积为2.5 2.5=6.25(m2),比比(2)中面积增大中面积增大6.25 6.09=0.16(m2).（来自教材）（来自教材）1.2同样长的铁丝可同样长的铁丝可以围更大的地方以围更大的地方.知知2 2讲讲例例3 将装满水的底面直径为将装满水的底面直径为40 cm，高为，高为60 cm 的圆柱形水桶里的水全部灌于另一个底面的圆柱形水桶里的水全部灌于另一个底面 直径为直径为50 cm的圆柱形水桶里，这时水面的的圆柱形水桶里，这时水面的 高度是多少厘米？高度是多少厘米？导引：导引：本题中的等量关系为：底面直径为本题中的等量关系为：底面直径为40 cm，高为高为60 cm的圆柱形水桶中水的体积底面的圆柱形水桶中水的体积底面 直径为直径为50 cm的圆柱形水桶中水的体积，故的圆柱形水桶中水的体积，故 可设这时水面的高度为可设这时水面的高度为x cm，用含，用含x的式子的式子 表示出水的体积即可表示出水的体积即可（来自（来自点拨点拨）知知2 2讲讲解：解：设这时水面的高度为设这时水面的高度为x cm，根据题意可得：根据题意可得：解得解得x38.4.答：答：这时水面的高度为这时水面的高度为38.4 cm.22405060=22x骣骣骣骣琪琪琪琪创创创创琪琪琪琪琪琪琪琪桫桫桫桫，（来自（来自点拨点拨）总总 结结知知2 2讲讲 此类题目要熟记体积公式，如此类题目要熟记体积公式，如V圆柱圆柱R2h，V长方体长方体abh，V正方体正方体a3.（来自（来自点拨点拨）知知2 2讲讲 例例4 在长为在长为10 m，宽为，宽为8 m的长方形空地中，沿的长方形空地中，沿 平行于长方形各边的方向分割出三个完全平行于长方形各边的方向分割出三个完全 相同的小长方形花圃，其示意图如图所示相同的小长方形花圃，其示意图如图所示 求小长方形花圃的长和宽求小长方形花圃的长和宽（来自（来自典中点典中点）知知2 2讲讲解：解：设小长方形的长为设小长方形的长为x m，则宽为，则宽为(102x)m.由题意得由题意得 x2(102x)8，x204x8，3x12，x4.所以所以102x2.答：答：小长方形花圃的长为小长方形花圃的长为4 m，宽为，宽为2 m.（来自（来自典中点典中点）总总 结结知知2 2讲讲 本题运用了本题运用了数形结合思想数形结合思想，将图形中存在的，将图形中存在的等量关系，通过列一元一次方程反映出来，进而等量关系，通过列一元一次方程反映出来，进而解决所求问题注意挖掘图形中隐含的等量关系解决所求问题注意挖掘图形中隐含的等量关系是解题的关键是解题的关键（来自（来自典中点典中点）知知2 2讲讲例例5 如图，有甲、乙两个容器，甲容器盛满水，乙如图，有甲、乙两个容器，甲容器盛满水，乙 容器里没有水，现将甲容器中的水全部倒入乙容器里没有水，现将甲容器中的水全部倒入乙 容器，问：乙容器中的水会不会溢出？如果不容器，问：乙容器中的水会不会溢出？如果不 会溢出，请你求出倒入水后乙容器中的水深；会溢出，请你求出倒入水后乙容器中的水深；如果水会溢出，请你说明理由如果水会溢出，请你说明理由(容器壁厚度忽容器壁厚度忽 略不计，图中数据的单位：略不计，图中数据的单位：cm)（来自（来自典中点典中点）知知2 2讲讲解：解：乙容器中的水不会溢出乙容器中的水不会溢出 设甲容器中的水全部倒入乙容器后，乙容器中的设甲容器中的水全部倒入乙容器后，乙容器中的 水深水深x cm.由题意，得由题意，得10220202x.解得解得x5.因为因为5 cm10 cm，所以水不会溢出，倒入水后，所以水不会溢出，倒入水后 乙容器中的水深乙容器中的水深5 cm.（来自（来自典中点典中点）1 欲将一个长、宽、高分别为欲将一个长、宽、高分别为150 mm、150 mm、20 mm的长方体钢毛坯，锻造成一个直径为的长方体钢毛坯，锻造成一个直径为100 mm的钢圆柱体，则圆柱体的高是的钢圆柱体，则圆柱体的高是()A1 200 mm B.mm C120 mm D120 mm知知2 2练练180（来自（来自典中点典中点）B1.“等积变形等积变形”是以形状改变而体积不变为前提，常用是以形状改变而体积不变为前提，常用 的关系有：的关系有：(1)形状变了，体积没变；形状变了，体积没变；(2)原材料的体积成品的体积原材料的体积成品的体积2.解决等积变形的问题时，通常利用体积相等建立方解决等积变形的问题时，通常利用体积相等建立方 程程1.必做必做:完成教材完成教材P144习题习题T1-T32.补充补充:请完成请完成典中点典中点剩余部分习题剩余部分习题