贝叶斯统计与马航搜寻

贝叶斯统计与马航搜寻摘要：马航客机MH370已经失联超过一个月，中国在内的全球多国在南海与 印度洋连日海空搜寻未果，希望渐趋渺茫。马航客机的搜寻，牵动 着家属的 心，也牵动着世界各国人民的心。马航搜寻过程中，贝叶斯统 计起到了重要 作用。关键词：马航；贝叶斯；反演；概率。1.导言失踪多日的马航MH37C客机航向何方，如今位在何处，已经成为本世 纪至今最大的谜团。对于钻研数字，分析变项与评估机率的统计学者 看来， 找到失踪客机的可能性将涉及大量信息与数字分析。将概率学与 海洋模拟实 验相结合的方法，可以帮助人们尽快找到失联客机。1966年美国一架B-52轰炸机在西班牙的帕洛玛雷斯上空发生事故，与 加油机碰撞，飞行员失去对飞机的控制，轰炸机上的四枚氢弹找到一 枚基本 完好无损的，和两枚在人员稀少的地区爆炸的， 还有一枚失踪了。 一位名 为约翰克雷文的数学家被美国当局调派到当地进行搜寻工作。 克雷文博士 采取贝叶斯方法，做出各种假设，想象出各种情景，然后在 各种情境下猜测 出氢弹在各个位置的概率，以及每种情境出现的可能性， 他从专家那里得到 结果后，综合到一起，画了一张氢弹位置的概率图： 把整个可能的区域划分 成了很多个小方格，每一个小方格有不同的概率 值，有高有低，如同地图上 表示山峰和山谷的等高线一样，完成了贝叶 斯方法的第一步。在搜索的过程 中同时对每个格子的概率进行更新，不 过，概率最大的方格子指示的位置常 常是陆地上险峻的峡谷和深海区， 即使氢弹真的在那里，也未必找得到，所 以需要绘制另一张概率图，表 示“氢弹已经在那里，能找到的概率”而不是 氢弹位置的概率。最后氢 弹被找到，两张概率图和他的贝叶斯方法发挥了不 小作用。两年后，克 雷文又用同样的方法找到了失踪的潜艇 “天蝎号”， 下图为当时他在搜寻 过程中绘制的 20英里海域概率图：几十年间，贝叶斯方法应用越来越广泛，从搜索引擎筛选词条到无 人驾驶汽 车综合判断自己的行驶位置，钻进了各个角落。 2. 预备知识英国学者T.贝叶斯1763年在论有关机遇问题的求解中提出一种归 纳推理的理论，后被一些统计学者发展为一种系统的统计推断方法， 称为贝 叶斯方法。采用这种方法作统计推断所得的全部结果，构成贝叶 斯统计的内 容。认为贝叶斯方法是唯一合理的统计推断方法的统计学者， 组成数理统计 学中的贝叶斯学派，其形成可追溯到20世纪 30年代。到 50 60 年代，已发展为一个有影响的学派。时至今日，其影响日益扩 大。它的技术原理分为先验分布与后验分布两种。先验分布是总体分布参数，的一个概率分布。贝叶斯学派的根本观 点，是认为在关于二的任何统计推断问题中，除了使用样本 X 所提供的 信 息外，还必须对二规定一个先验分布，它是在进行推断时不可或缺的 一个要 素。贝叶斯学派把先验分布解释为在抽样前就有的关于二的先验信息的概率表述，先验分布不必有客观的依据，它可以部分地或完全地 基于 主观信念。例如，某甲怀疑自己患有一种疾病A,在就诊时医生对他测了诸如体 温、血压等指标，其结果构成样本X。引进参数二：有病时，二；无病时， 二=0。X的分布取决于二是0还是1,因而知道了 X有助于推断二是否为 1。按传统（频率）学派的观点，医生诊断时，只使用X提供的信息；而按 贝叶斯学派观点，则认为只有在规定了一个介于0与1之间的数p作为事件P-1的先验概率时，才能对甲是否有病（即二是否为1）进行推断。P这个数刻画了本问题的先验分布，且可解释为疾病A的发病 率。先验分布的规定对推断结果有影响，如在此例中，若疾病A的发病率很 小，医生将倾向于只有在样本X显示出很强的证据时，才诊断甲有病。在 这里先验分布的使用看来是合理的，但贝叶斯学派并不是基于“ P是发病率”这样一个解释而使用它的，事实上即使对本病的发病率毫无所知，也必须规定这样一个P,否则问题就无法求解。后验分布则是根据样本X的分布P（刃及二的先验分布二（旳，用概率 论中求条件概率分布的方法，可算出在已知X二x的条件下，二的条件分布 二L|x）。因为这个分布是在抽样以后才得到的，故称为后验分布。贝叶斯学派认为：这个分布综合了样本X及先验分布二（旳所提供的有关的信息。抽样的全部目的，就在于完成由先验分布到后验分布的转换。如上例，设p = PAA 0.001，而二（T|x） 86,则贝叶斯学派解释为：在某 甲的指标量出之前，他患病的可能性定为0.001,而在得到X后，认识发生 了变化：其患病的可能性提高为0.86，这一点的实现既与X有关，也离不 开先验分布。计算后验分布的公式本质上就是概率论中著名的贝叶斯公式。贝叶斯推断方法的关键在于所作出的任何推断都必须也只须根据后验分布二U|x），而不能再涉及X的样本分布P （R。3. 具体应用贝叶斯搜索理论利用贝叶斯统计理论搜索失踪物，曾被多次用于搜救 失踪的船只。一般的流程如下：1.提出所有关于船只失踪事件的假设。2.针 对每一假设，构造船只位置的空间分布概率。3.针对每一位置，假设已知船只位于此处，计算能找到失踪船只的概率分布。在海洋中，这一般 取决于水深：在浅水处找到失踪物的机会比在深水处大。4.结合上述两个概率分布，构造整体的搜索成功的概率分布。 5.构造搜索路径： 始于高概率区，经过居中概率区，最后搜索低概率区。6.在搜索过程中，持 续更新上述概率分布。例如，如果在某处未能找到失踪物，那么船只位置分 布于此的概率要被降低。这一更新过程需要用到贝叶斯定理。贝叶斯搜索不仅可以综合多个信息来源，而且可以自动估计搜索成功 的概率。即使在搜索前，我们可以估计“5天内找到失踪物的概率是65%在 搜索十天后，这个概率会升高到90% 15天后，升高到97%。如此，在分配 搜索资源前可以评估可行性。假定失踪物位于某区域的概率是P,在此处能搜索成功的概率是q。如果搜索此处后未能找到失踪物，根据贝叶斯定理，失踪物位于此处的概率被更新为pp(i-q)piq : p，对其它区域，女口(1-p)+ p(1-q)1-pq果其原本失踪物在其处的概率是r,那么这一概率将被更新为. 1r = r r。1 - pq2009 年的失联法航客机 447的搜寻过程中，以贝叶斯统计方法为基 础，经过三次失败的搜寻，终于在第四次找到了飞机。在正常的情况下， 地 面控制台每 5 分钟就会收到飞机发回的信息，其中包括飞机的位置、 高度、 航速和航向等。信号消失前飞机最后所在的位置乘以 5 分钟时间， 就能确 定出一个以飞机最后所在的位置为中心，以当时航速条件下5 分钟能走的距离为半径的一个圆，这就是飞机落水的最大海域范围。也就 是 说，如果是由飞机故障问题或飞行员操作失误所造成的飞机失事，这 架飞机 一定在这个圆的范围内，而这个圆的半径大约为40 海里(约 1.7万平方公里)。可是要在这个圆内找到飞机也不是一件容易的事。通常的做法是用声呐仪在附近进行高密度地寻找。在大多数情况下，飞机应当 离飞 机最后所在的位置不远的位置。但由于法航客机最后所在的位置范 围内的海 区有 4000 米之深，且处于复杂海脊带，所以用高密度寻找方法 未能找到。 当人们在海面上发现了有遇难者的遗体后，反演至飞机失事 时的位置，见下 图：1 JA0WRF wtnd (1% wind 広強，wifli i旺丁: LocMkNtt ol botMt匚口 of Df iii:丄2Q353031.5JF*3：d * LKP305 Longitude (沖、30295通过反演以及对当地水流的研究，专家确定出四个可能的地点：第 一 地点就在飞机最后所在位置附近，第二地点是在东北海域内，第三个 地点在 飞机航线后方（那里曾经发现过油迹），第四个地点在航线右后方 的最大圆 之外。最后经过依次的搜寻，终于在第一个地点的海底找到了 飞机残体。对于搜寻马航客机来说，采用贝叶斯定理，将整个海域被划分成很 多个小格子，每个小格子有两个概率值P和q, P是飞机在这个格子里 的概率，q是如果飞机在这个格子里，它被搜索到的概率。根据每一点新证 据的增加，来不断调整它可能所在位置的概率。举个例子说，搜寻 队伍上次 去搜索离澳洲 2000英里的一个地点，就是依据此来决策的。比 起整个搜索 区域 这个地方并不算大，但它之所以现在成为了焦点之一， 就是因为他们 算入了增加飞机朝南飞的概率，以及它能飞到这么远的可 能性、没能迫降的 概率和被劫持的概率等等。即便搜寻人员在这里发现 一些碎片，他们还得下潜两英里深，到达沟岭起伏的洋底，而且还有洋 流的 干扰，这是一个极大的挑战。按照经验，第二个概率值主要跟海域 的水深有关，在深海区域搜索时失事飞机“漏网”的可能性会更大。如 果一个格子被 搜索后，没有发现飞机的踪迹，按照贝叶斯原理更新后， 这个格子飞机存在 的概率就会降低 p p(1-q)=p1q : P，(1-p) + p(1-q) 1-pq其他各个格子的飞机存在的概率值就会上升r=r1 r 。1 - pq 每次寻找时会挑选整个区域内飞机存在概率值最高的一个格子进行搜 索，如 果没有发现，概率分布图会被“洗牌”一次，搜寻船只就会驶向 新的“最可 疑格子”进行搜索，这样一直下去，直到找到马航客机为止。4. 结束语：本文对搜寻马航失联客机所运用的贝叶斯方法进行了概述。从克雷 文 博士对失踪氢弹和潜艇的搜寻，至V法航失联客机的成功搜寻，再到马航 客机的搜寻。解释了搜寻的难度大的问题，和如何继续运用贝叶斯统 计法搜 寻。参考文献：1 百度百科贝叶斯统计词条2 维基百科贝叶斯定理词条3 刘乐，袁卫.现代贝叶斯分析与现代统计推断 经济理论与经济管理.2004,6