留数定理及应用

留数及其应用摘 要数定理得知，计算函数f (Z)沿C的积分，可归结为计算围线C内各孤立 奇点处的留数之和而留数又是该奇点处的罗朗级数的负一次幂的系数，因此我 们只关心该奇点处罗朗留数理论是复积分和复级数理论相结合的产物，利用留数定理可 以把沿闭路的积分转化为计算孤立点处的留数此外，在数学分析及实际问题中，往往一些 被积函数的原函数不能用初等函数表示，有时即便可以，计算也非常复杂我们利用留数定 理可以把要求的积分转化为复变函数沿闭曲线的积分，从而把待求积分转化为留数计算本 文首先介绍留数定义及留数定理，然后针对具体不同的积分类型有不同的计算方法以及留数 理论在定积分中的一些应用关键词 留数定理；留数计算；应用 引 言 对留数理论的学习不仅是前面知识的延伸，更为对原函数不易直接求得的定积分和 反常积分的求法提供了一个较为方便的方法一. 预备知识孤立奇点1. 设f (z)在点a的把计算闭曲线上的积分值的问题转化为计算各个孤立奇点上 的留数的问题，即计算在每一个孤立奇点处的罗朗展式中负幂一次项的系数C .-1 在一般情况下，求罗朗展式也是比较麻烦的，因此，根据孤立奇点的不同类型， 分别建立留数计算的一些简便方法是十分必要的.1.1若z 0为f (z)的可去奇点则f在o |z - z 0 R某去心邻域内解析，但在点a不解析, 则称a为f的孤立奇点.例如Sinz，e :以z = 0为孤立奇点.z1Lsin以z = 0为奇点(又由sin1 = 0,zz以z = 0为奇点，但不是孤立奇点，是支点.得z =(k = 1,2.,)故z = 0不是孤立奇k兀点)2 . 设 a 为 f ( z) 的 孤 立 奇 点 ，则 f(z) 在 a 的 某 去 心 邻 域 内 ， 有为f (z)在点a的主要部分，称f( Z)丄為 W Cn( Z - a)，称 艺為艺C (z-a)n为f (z)在点a的正则部分，nn=0当主要部分为0时，称a为f (z)的可去奇点;cCc当王要部分为有限项时，设为 m + -(m-1) H F -1 (c 丰0)(z - a) m (z - a) m-iz - a - m称a为f (z)的m级极点；当主要部分为无限项时，称a为本性奇点.二. 留数的概念及留数定理1. 留数的定义设函数f (z)以有限点a为孤立点，即f (z)在点a的某个去心邻域 0 |z - a| R 内解析，则积分 2J f (z )dz (T : |z -= p ,0 p R )为 f (z)在点 a 的r留数，记为： Res f (z)z=a2. 留数定理介绍留数定理之前，我们先来介绍复周线的柯西积分定理：设D是由复周线C = C + C-+ C- +C-所围成的有界连通区域，函数f (z) 012n在D内解析，在D = D + C上连续，贝叮f (zz = 0C定理1 ffl (留数定理)设f (z)在周线或复周线C所范围的区域D内，除a ,a ,a外解析，在闭域D = D + C上除a ,a ,a外连续，则(“大范围”12 n12 nJf (zz = 2兀 i艺Resf (z)积分)1)Ck =1 z=ak证明 以a为心，充分小的正数p为半径画圆周r : z-a = p ( k = 1,2,n ) kkk1 k使这些圆周及内部均含于D，并且彼此相互隔离，应用复周线的柯西定理得J f (z )dz =工 J f (zz ,Ck =1 rk由留数的定义，有J f (zbz = 2兀 i Res f (z) z=a rk特别地，由定义得J f Qdz = 2兀i Res，z=arkk代入(1)式得 Jf (zife = 2兀 i工Resf (z).Ck =1 z=ak定理2设a为f (z)的n阶极点，f（=4，z - a）n其中Q（z）在点a解析，申（a）h0，则()9(n-l)(a )Res f z =z=a(n -1)!这里符号申(0)(a )代表p(a)，且有g-1) (a)= limg-1)(z) zTa推论3设a为f (z)的一阶极点，申(z) = (z-a)f (z)，Res f (z ) = 9 (a ).z=a推论4设a为f (z)的二阶极点，申(z)=(z-a)2f (z)，Res f (z ) = 9 (a ).z=a3. 留数的引理引理1设f (z)沿圆弧S : z = Rei0 (0 00，R充分大)上连续，且R12lim zf (z)= 于S上一致成立(即与0 0 0中的0无关)，则RT+aR12lim J f (z)dz = i (0 -0 )九.RT+a S21R引理2（若尔当引理）设函数g （z）沿半圆周r : z二Re/0 （0 0 0）.r T+a rf (7)引理3 (1)设a为f (z)的n阶零点，则a必为函数说与的一阶极点，并且Resz=aPfSlf (_ )(2)设b为f (z)的m阶极点，则b必为函数;()的一阶极点，并且三. 留数的计算1. 函数在极点的留数法则1：如果z0为f (z)的简单极点，则Re sf (z), z = lim(z - z )f (z)0z-zo0法则2：设f (z)= 少，其中P(z), Q(z)在z处解析，如果P(z)丰0, z为Q(z)Q( z)00的一阶零点，则zo为f (z)的一阶极点，且P(z)Re s f (z)，z o=册-法则3 :如果zo为f (z)的m阶极点，贝y1d m -1Re sf (z), z = lim -(z - z ) mf (z).0 (m -1)! z-z0 dzm-102. 函数在无穷远点的留数定理1如果f (z)在扩充复平面上只有有限个孤立奇点(包括无穷远点在内)为z , z , z , g，则f (z)在各点的留数总和为零.12 n关于在无穷远点的留数计算，我们有以下的规则.法则 4：Resf(z),= Res f (1) 丄，0.z z2例1求函数f (z)=竺 在奇点处的留数.1 + z 2解 f (z)有两个一阶极点z = i，于是根据(6.5)得P(i)ei2eRe s(f, i)=P(i)Q(i)ei22例2求函数f (z)= 叱在奇点处的留数.z3叱y,=z3lim( - cos z)=2 z t0解f(z)有一个三阶极点z = 0，故由(6.7)得Re s(f ,0) = ilim(z3 2 z t0四. 留数定理在定积分中的应用利用留数计算定积分活反常积分没有普遍的实用通法，我们只考虑几种特殊 类型的积分1.形如I f (cos x,sin xx型的积分0这里f (cosx,sin x)表示cosx,sin x的有理函数，并且在o,2兀上连续，把握此类积分要注意，第一：积分上下限之差为2兀，这样当作定积分时x从0经历变到2兀，对应的复变函数积分正好沿闭曲线绕行一周.第二：被积函数是以正弦和余弦函数为自变量。当满足这两个特点之后，我们可设z = eix,则dz = izdx，eix eixz2 1sin x =2i2izeix + eixz 2 +1cos x =22 z2iz 丿 izI f (cos x,sin xjdx = Iz =1=2兀 i才 Resf (z).k =1 z=zk例i计算i =亍5+iCoso0解令z = ei，则1 =予 5OS0 = Q =i i(3z 2 +；0z + 3 产0=才 (dzi z =i(3 z + l)(z + 3 )= 2兀 i Re s iiz=3(3 z + l)(z + 3 )3兀2例2计算I = J0dx(2+3coSX解I=f0dxC + J3 cos x=J=1dziz4zrbi C z +、2 + s密)dzzdz訓=1 z 2 +z + 13由于分母有两个根 z =11,z2其中 |z | 1,因此4-2兀i Re s = 4兀3i 2形如J f (x)dx型的积分g把握此类积分要注意，首先分析其函数特点，函数必须满足一下两条才能适用。第一：f (z) =P (z)QO其中P(z), Q(z)均为关于z的多项式，且分母Q(z)的次数至少比分子P(z)的次数高两次；第二：f (z)在半平面上的极点为z ( kk=1, 2, 3,，n ),在实轴上的极点为x (k =1, 2, 3,，n )则有kf f (x )dx 二2兀i工 Re s f (z)-k=1 z=zk-例3计算I = fX2dx.X 4 + X 2 + 1g解取 f (z ) =(z2 z +1)(z 2 + z +1孤立点为z = 1 +工i, z =1 +竺i, z = L-辽i, z =1 竺i，其中落在上半12 2222322422平面的为z , z，故13I = 2兀i Resf (z) =k =1 z=zk例 4 计算 I =于(一_)dx (a 0).x2 + a2 2g解 由于limz() = 0，且上半平面只有一个极点a，因此z Sz2 + a2 2i+fgx2z2()=2兀 i Re s ()x 2 + a 2 2z = ai z 2 + a 2 2gz2z=ai兀2a3 .形如j尸()eimxdx型的积分 Q (x )g1)留数公式定理2 U (若尔当引理)设函数g(z)沿半径圆周r : z = Rei0 ( 00Rrt+s r”R证明心0,叫O ，使当R Ro时，有|g (J , Z話R于是f g (z)eimzdz =rRf g (ReiQ )eimReiO Rei0 d0 W Rsf e-mRsin0 d0这里利用了g (Re/e ) , Re/e i = R 以及eim Re0=e - mR sin Q+imR cos0=e - mR sin 0于是由若尔当不等式孕sine.e(0兄2)将化为f g (z)eimzdz 2Re rRf e - mR sin0 d00K8 () K8=1 e_mR 丿0.(z)eimz3)则有 f g (x)eimxdx = 2兀 i 工 Re s gz=a7一8imak k特别地，将(3)式分开实虚部，就可用得到形如f 巴2 COS mxdx 及 f 巴2 sin mxdx 的积分Q(x)Q(x)8 8例 6 计算I = T( COSx x.x 2 + 17 V 2 + 9 丿8解利用(1)T 0 (Z T8)以及若尔当引理，且分母在上半圆只有z 2 + 1 丿 V 2 + 9 丿两个孤立奇点 z = i 和 z = 3i ，得到卞8COS=C +1)(2 + 9)8=Re 2k i Re s ()() + Re s ()()z=ieizC 2 + 1) C 2 + 9 )+丿J z=i Q2 + 1 丿 V2 + 9 丿 z=3i Q2 + 1 丿 V2 + 9 丿丿= Re 2k i=Re2兀 i 士 + -、16i 48i 丿24e3例 7 计算I = +8 x站mxdx ( m 0,a 0 ).x4 + a 40解 被积函数为偶函数，所以+8 x Sin mx dx x4 + a 41 +8 x Sin mx1+8 xeimxdx = imdx,2 x4 + a 42x 4 + a 4设函数关系式为f (乙)=旦，它共有四个一阶极点，即z 4 + a 4托+ 2 k兀a = ae 4 1 ( k = 0,1,2,3 )kRe s f (z)=z=akZeimzz 4 + a 4z=akk = 0,1,2,3 )，因为a 0，所以f (z)在上半面只有两个一阶极点a及a ,01于是gxeimxdx =x 4 + a 4Resz=akzeimzz 4 + a 4zmak0a2sinmama2 sinma1 . +F xeimx兀 iimdx = e2 x 4 + a 42a 2g小结:正确的运用留数可以有效的解决一些复杂的定积分问题，留数定理是学习辐 角原理的基础，在复变函数的学习中有着重要的作用，是复变函数的基础理论之 一.上面举例说明了常见的几种可以用留数定理计算的定积分类型，计算比较简 捷，通过上面几例，可以看出实积分中是定积分计算与利用留数定理计算之间既 有区别，也有联系解题时应视具体情况而定，有使用实积分理论计算很困难甚 至无法计算时，利用留数定理能收到很好的效果.参考文献1钟玉泉复变函数论M高等教育出版社，2004.2盖云英复变函数与积分变换指导M科学出版社，2004.3王玉玉.复变函数论全程导学及习题全解M中国时代经济出版社，2008.4王瑞苹论留数与定积分的关系J荷泽学院学报,2005.5余家荣.复变函数论M高等教育出版社，2004.6李红,谢松发复变函数与积分变换M华中科技大学,2003.