统计学中常见分布的应用

统计学中常见分布的应用1引言在数理统计中，常见的分布包括指数分布，普哇松分布，正态分布，力-分布，f分布，F-分布.这些常见分布的参数的区间估计和假设检验问题是在口常生产生活中我们常用到的问题，在大部分的文献资料中对正态分布的这一问题讨论较多，本文将就其它五个常见分布的参数的区间估计和假设检验问题进行详细的介绍.其中包扌舌这五种分布的密度函数、性质及其在数理统计中的应用.2五中常见分布的定义及其相关性质2.1才-分布定义1L1称随机变量X服从力-分布，自由度为，如果它有密度函数12-1-1rW八%02r(-)fx(%)=v$.0x0性质假设X1,X2,X3,-,X,独立同标准正态分布，则随机变量X=X；+X；+服从分布，自由度等于.2.2f一分布定义2=3称随机变量X服从f分布，自由度为，如果它有密度函数J+1T()疋一空/x(X)=(1+)2,(-cox称随机变量X服从尸一分布，自由度为(加M),如果它有密度函数加”幻”/2斜厂fx(X)=Yx0x-（/?+nix）B（鼎）22x设连续随机变量X的概率密度为rAe,xoL0,x0为常数，这种分布叫作指数分布.显然，我们有匸念皿=Aedx=-严|訂=1指数分布含有一个参数久，通常把这分种分布记作“久).如果随机变量X服从指数分布,则记为Xe(2),因为F(X)=P(yXx)=ffx)dx(连续随机变量的分布函数F(x)等于概率密度/(x)在区间-上的反常积分)由此可得指数分布讯久)的分布函数为0,x02.5普哇松分布定义53J(?m)称随机变量X服从普哇松分布，如果P(X=02参数为几0,记作P伙，2),且易于验证有1) p(x=R)(U=o2;fp(X=K)=f=lk=0k=0KI普哇松定理w在重贝努里试验中，事件4在一定试验中出现的概率为卩”(与试验总数有关)，如果当ms时，npn2(几0常数)，则有limb(kn.pn)=e,伙=0,1,2,)fk!(普哇松定理可以用作近似计算和理论上服从普哇松分布的实例的计算).普哇松分布的期望：E(X)=2,方差：D(X)=A即期望和方差相等.3常见分布在数理统计中的应用3.1/-分布的应用3.1.1f分布在参数区间估计上的应用设XNga2),a未知，那么的置信度为(1-a)的置信区间为#其中乂+/+X“(乙Ng),心1,2,，”)ta可查/(/?-1)分布表，事实上，由1-bX叫一)n斗N(O,1)_-r工(/-X)才(-1)bf=i再由f分布的性质，有X(X,-X)2/(n-l)72t(n-l)/=!/从而对于给定的a(0a1)有X-/|s/侖-ta=i-a(r&待查)s牛-話“X+农=1-6Z由此得，“的置信度为l-a的置信区间为務)ta是自由度为一1的/一分布之G水平双侧分位数.1-例从一批产品中随机取出20件，并测量其尺寸，得到下列20个数据：31.4431.4431.7231.0431.4832.2231.1731.5831.8731.8831.9831.6831.8731.6231.9631.8831.2931.1231.7331.49假设在正常条件卞，产品尺寸X服从正态分布”(“,b)，上面的数据是对X的观测值.求：1) 求参数“和7,的字样均值乂和子样方差S？2) 求参数“的置信度为la的置信区间？(a=0.05)解1)参数“和的点估计值为和S,计算结果如下：X=31.6730,S2=0.0966,5=0.3108.2)选取67=0.05,对于a=0.05,自由度为20-1=19,查19)一分布得0.975=2.09,由上面的结论的1-67=0.95置信区间为(X-2.09+2.09*),y/nyin其中X=31.6730,S=0.3108,=20计算得的0.95得置信区间是(31.527&31.8182)3.1.2/分布在假设检验上的应用设总体XN(“,b)，未知方差，检验假设=检验法)X-u对于显著性水平a(0a1)选取统计量：/=其中X是样本均值,S6那么所以假设拒绝域：对于给定的a和“，由是自由度为-1的f分布之a水平双侧分位数，假设H。之&水平的拒绝域是接受域是例某种中药饮片中成分4的含量规定为10%,现在抽验了该药物一批成品中的五个片齐IJ,测得其中成分4的含量分别为：0.10900.09450.10380.09610.0992假设该药物中成分4的含量X服从正态分布，问在5%的显著性水平下，抽验结果是否与片剂中成分4的含量为10%要求相符？解假设该批药中成分A的含量X服从正态分布N(“,b)，其中“和o-2均为未知常数.基本假设H:“=“o=0.1000(成份A的平均含量与要求相符)给定显著性水平a=0.05,77=5,查：9乃双侧分位数得：9柏=2.78假设“=0.1000之0.05-水平的否定域是V=x0.1073计算X=0.1005故不能否定假设H0:p=0.1,因此抽验结果说明该药中4的含量合格.另：还可以用F检验法检验：未知er；及b；,0-；=0-；,假设检验Ho：“=“：，/：“1工“2其中随机变量X随机变量丫取统计量t=/-+心2)J(心-i)s；+(冬-1)S；V,?1+“2对于给定的显著性水平&查的-2)-分布表，然后计算统计量f即可做出推断.3.2才-分布的应用设XN(“&)3.2.1“未知条件卜的假设检验在未知均值“时，检验假设H%=云取统计量(Xff=l其中111S：=工(X,“i=i在H0.a2=成立时，亍服从自由度为,2-1的力一分布.对于给定的显著性水平G,查自由度为一1的力-分布表求值使得满足pxgj=#,px222=y.px2人=1-号，得拒绝域：U=X心心A=兀-叨,1几2=耳/2心计算统计量之值，若X2eV则拒绝Hd=况，否则接受HW=疣.3.2.2“已知条件下的假设检验在已知“=“。的情形下，检验假设=对于显著性水平(OvqvI),选取1“统计量=(%.-/0)2由于X”X”,X，独立同正态分布，所以尤/(“)，%(=1为自由度.假设的否定域：对于给定的显著性水平&和自由度，有临4/2,J=px：n心=y其中爲2,1，忙/2心是F-分布上侧分位数.因此，U=XX爲2,1亦2/2心就是假设Ho的a-水平的否定域.3.2.3“己知条件下(T2的置信区间假设=其中“为己知数，那么十的(1&)置信区间为工(X,-“0)-)1=1假设未知，那么的(1Q)水平置信区间为(S_i)s(i)s)a/2,n-lXl-a/2,n-l其中例某厂一车间生产铜丝的折断力已知服从正态分布，生产一直比较稳定.今从产品中随机抽出9根检查折断力，测得数据如下(单位:kg)298,268,285,284,286,285,286,298,292问是否可以相信该车间的铜丝折断力的方差为20?解设X表示铜丝的折断力且XN基本假设H。：宀20,对Hl：6工20对给定的显著性水平a=0.05,查才(19)分布表得:人=2.18,人=17.5,满足aaP(x22j=-=0.02522由此确定临界域为(-8,2.18U17.5,s)根据样本观测值，计算统计屋F的观测值：X=287.89,(Xf-X)2=162.89,/=!162,8920由于&14幺(一s218U175o)所以认为基本假设HQ.a2=20成立.3.3F-分布的应用3.3.1F-分布在假设检验上的应用设有两个随机变量X和匕XYN(“虫),而(X,X“,XJ和，乙J分别为来自X和来自Y的两个相互独立的简单随机抽样.在未知的情况下，基本假设6=6,0H6对显著性水平：a（Oa22=,pfa=|确定人与儿可得临界域：（-8,/lJU见,8），人与仏的求法，人可直接查尸（加一1/一1）a之水平上侧分位数fa/2（/w-1,n-1）t由于21/FF（n-l,/n-l）PFP=2FAJ2那么=fa/2（一1,一1），几i=1/fa/2（“一1,一1）记A=y/a/2（一1，加_1）=Z-a/2（加一1，一1）所以假设日0：巧=7,H：b丰6拒绝域是（一8,人UX，8）接受域是（人,人）.3.3.2F-分布在参数区间估计上的应用设是独立同分布的随机变量，的分布函数形如XH尸（）,-co/0（JX1）,X（2）,X（“是前r个次序统计量,lrn.令Y严心乂纭J=其中i=l,.er0.PSa(儿r)S(n,r)Sa(儿r)一i(ySq(/)sa(n,r)1可以作为参数7的置信度为1-a的置信区间.3.4指数分布的应用设总体X服从指数分布，概率密度为其中几0为未知参数，我们有E(X)W，D(X)=*对于已给的置信水平1-a,按公式|戸_“(&)|b(0)/y/n易知不等式即由此解得其中于是有P(Av兄0未知；(X”X?,X”)是来自X的简单随机抽样，则总体的均值和方差分别是(%)=/,D(X)=A因为样本X”X”X,r相互独立，与总体X服从相同的分布，所以有(XZ)=2,D(X.)=2,i=1,2,“在充分人的条件下参数几的近似的置信水平为l-a的置信区间可以表示为，即X-A2AJ=P（-/=5)2dua,(注：按中心极限定理)即A22可看成是卞列二次方程的根:Z1+(22+)+22=0,其中是样本容量或者说(AMJ=X_1(匕j=，X+Ua3yjn2例公共汽车站在一单位时间内（如半小时或一小时）到达的乘客数服从普哇松分布P伙,2）,对不同的车站，所不同的仅仅是参数兄的取值，现对一城市某一公共汽车站进行100个单位时间的调查，这里单位时间是20分钟，计算得到20分钟内来到该车站的乘客数平均值戸=15.2人，试求参数兄的置信水平为95%置信区间？解n=100,a0.05,ua=i/0025=1.96,X=15.2应用公式Xuay/n=15.21.96xJ15.2/100=14.44J5.96即14.44,15.96为参数2的置信水平为95%的置信区间.根据上述分析可见参数区河估计和假设检验问题在解决统计学实际问题上有着十分重要的作用.在文章中我们总结常见统计分布：普哇松分布，指数分布，卡方分布，分布,F-分布的定义、性质、并讨论了这些分布的参数的区间估计与假设检验问题.举例说明了分布参数的区间估计和假设检验问题在实际生产生活中的应用.相信通过这些总结会使我们对这类问题有一个更为全面的了解.也能为学习这方面知识的人提供一些参考