第一章D连续函数性质

第十节一一、最值定理、最值定理 二、介值定理二、介值定理*三、一致连续性三、一致连续性 机动 目录 上页 下页 返回 结束 闭区间上连续函数的性质 第一章 注意注意:若函数在开区间上连续,结论不一定成立.一一、最值定理、最值定理定理定理1.1.在闭区间上连续的函数即:设,)(baCxfxoyab)(xfy 12则,21ba使)(min)(1xffbxa)(max)(2xffbxa值和最小值.或在闭区间内有间断 在该区间上一定有最大(证明略)点,机动 目录 上页 下页 返回 结束 例如例如,)1,0(,xxy无最大值和最小值 xoy1121,31,110,1)(xxxxxxfxoy1122也无最大值和最小值 又如又如,机动 目录 上页 下页 返回 结束,)(baxf在因此bxoya)(xfy 12mM推论推论.由定理 1 可知有,)(max,xfMbax)(min,xfmbax,bax故证证:设,)(baCxf,)(Mxfm有上有界.二、介值定理二、介值定理定理定理2.(零点定理),)(baCxf至少有一点,),(ba且使xyoab)(xfy.0)(f0)()(bfaf机动 目录 上页 下页 返回 结束(证明略)在闭区间上连续的函数在该区间上有界.定理定理3.(介值定理)设,)(baCxf且,)(Aaf,)(BABbf则对 A 与 B 之间的任一数 C,一点,),(ba证证:作辅助函数Cxfx)()(则,)(baCx 且)()(ba)(CBCA0故由零点定理知,至少有一点,),(ba使,0)(即.)(Cf推论推论:Abxoya)(xfy BC使.)(Cf至少有在闭区间上的连续函数 必取得介于最小值与最大值之间的任何值.机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1.证明方程01423 xx一个根.证证:显然,1,014)(23Cxxxf又,01)0(f02)1(f故据零点定理,至少存在一点,)1,0(使,0)(f即01423说明说明:,21x,0)(8121f内必有方程的根;)1,(21取 1,21的中点,43x,0)(43f内必有方程的根;),(4321可用此法求近似根.二分法二分法4321x01在区间)1,0(的中点取1,0内至少有机动 目录 上页 下页 返回 结束 则则0)()()(212xfxff上连续,且恒为正,例例2.设)(xf在,ba对任意的,),(,2121xxbaxx必存在一点证证:,21xx使.)()()(21xfxff令)()()()(212xfxfxfxF,则,)(baCxF)()(21xFxF)()()(2112xfxfxf)()()(2122xfxfxf)()(21xfxf221)()(xfxf0使,)()(21时当xfxf,0)(xf,0)()(21xFxF故由零点定理知,存在,),(21xx,0)(F即.)()()(21xfxff当)()(21xfxf时,取1x或2x,则有)()()(21xfxff证明:小结 目录 上页 下页 返回 结束*三三.一致连续性一致连续性已知函数)(xf在区间 I 上连续,即:,0Ix,0,0,0时当 xx)()(0 xfxf一般情形,.,0都有关与x,0无关时与若x就引出了一致连续的概念.定义定义:,I,)(xxf对,0若,0存在,I,21xx对任意的都有,)()(21xfxf)(xf则称在在 I 上一致连续上一致连续.显然:上一致连续在区间 I)(xf上连续在区间 I)(xf机动 目录 上页 下页 返回 结束,21时当 xx例如例如,xxf1)(,1,0(C但不一致连续.因为,)10(0取点,)N(,11211nxxnn则 21xx 111nn)1(1nn可以任意小但)()(21xfxf)1(nn1这说明xxf1)(在(0,1 上不一致连续.定理定理.,)(baCxf若,)(baxf在则上一致连续.(证明略)思考思考:P73 题 6提示提示:设)(,)(bfaf存在,作辅助函数)(xFaxaf,)(bxaxf,)(bxbf,)(,)(baCxF显然机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结则设,)(baCxf在)(.1xf上达到最大值与最小值;上可取最大与最小值之间的任何值;4.当0)()(bfaf时,),(ba使.0)(f必存在,ba上有界;在)(.2xf,ba在)(.3xf,ba机动 目录 上页 下页 返回 结束 1.任给一张面积为 A 的纸片(如图),证明必可将它思考与练习思考与练习一刀剪为面积相等的两片.提示提示:建立坐标系如图.xoy则面积函数,)(CS因,0)(SAS)(故由介值定理可知:,),(0.2)(0AS使机动 目录 上页 下页 返回 结束)(S则,2,0)(aCxf,)2()0(aff证明至少存在,0a使.)()(aff提示提示:令,)()()(xfaxfx则,0)(aCx 易证0)()0(a2.设作业作业P73 题 2;3;4一点习题课 目录 上页 下页 返回 结束,4,0)(上连续在闭区间xf备用题备用题 13xex至少有一个不超过 4 的 证证：证明令1)(3xexxf且)0(f13e)4(f1434e003e根据零点定理,)4,0(,0)(f使原命题得证.)4,0(内至少存在一点在开区间显然正根.机动 目录 上页 下页 返回 结束