圆锥曲线培优讲义

原 点 三 角 形 面 积 公 式1. 已知椭圆C：斗+咅lGb0)的离心率为寺，且过点丄 号).若点M(x，y )在椭圆C上，则点N弓,称为点M的一个“椭点”.(1) 求椭圆C的标准方程；(2) 若直线1： y=kx+m与椭圆C相交于A, B两点，且A, B两点的“椭点”分 别为P, Q,以PQ为直径的圆经过坐标原点，试求 AOB的面积.2. 己知椭圆+ 2, = 1,过原点的两条直线A和匕分别与椭圆交于点月，和C,D.记的面积为(1) 设MmyJ, “畑咒).用月，c的坐标表示点c到直线仃的距离，并证WS = Gi - ；：(2) 设心=总，4右),3 = !，求上的值.(3) 设A与。的斜率之积为m,求m的值，使得无论A与匕如何变动，面积S保持不变.3. 已知椭圆C:竺+ t2 = 1(a 0,b 0)的左、右两焦点分别为F (-1,0)F (1,0),a 2 b 2i2椭圆上有一点A与两焦点的连线构成的AAFF中，满足1 2兀7兀ZAFF =, ZAF F =.1 2 12 2 1 12(1) 求椭圆 C 的方程；(2) 设点B,C,D是椭圆上不同于椭圆顶点的三点，点B与点D关于原点O对称,设直线 BC, CD, OB, OC 的斜率分别为 k , k , k , k ,且 k - k 二 k - k ,求 OB2 + OC21 2 3 4 1 2 3 4的值.4. 在平面直角坐标系xoy内，动点M (x,y)与两定点(-2,0),(2,0)，连线的斜率之积为-14(1)求动点M的轨迹C的方程；设点A(x , y ), B(x , y )是轨迹C上相异的两点.1 1 2 2(I) 过点A, B分别作抛物线y2 = 43x的切线l、l , l与l两条切线相交于点12 12N (-爲,t)，证明：NAgB = 0 ；(II) 若直线OA与直线OB的斜率之积为-1，证明：S为定值，并求出这个4AAOB定值5. 已知A、B分别是无轴和y轴上的两个动点，满足AB = 2,点P在线段皿上，且= LPB (上是不为0的常数)，设点P的轨迹方程为C.(1) 求点P的轨迹方程C；(2) 若曲线C为焦点在无轴上的椭圆，试求实数上的取值范围；(3) 若t = 2,点M,厲是曲线C上关于原点对称的两个动点，点Q的坐标为即)，求 QMN的面积S的最大值.6. 已知椭圆G的焦点在x轴上，中心在坐标原点；抛物线啲焦点在y轴上，顶点在坐标原点在，G上各取两个点，将其坐标记录于表格中：x 3-24/29迈y -0822(1) 求G的标准方程；(2) 已知定点勻，P为抛物线G上一动点，过点P作抛物线G的切线交椭圆G于人E两点，求AEC面积的最大值.已知抛物线/ = 4咒的焦点为F,过点F的直线交抛物线于人E两点.(1)若乔=2丽，求直线力F的斜率;(2)设点M在线段月总上运动，原点。关于点M的对称点为C,求四边形8.设椭圆S：孑+ ?=1包/70)的左、右焦点分别是F,下顶点为月,线段。力的中点为月(0为坐标原点)，如图.若抛物线G： y =1与y轴的交点为月，且经过鬥，几点.(1) 求椭圆G的方程；(2) 设出(0,-耳，N为抛物线G上的一动点，过点N作抛物线G的切线交 椭圆于P、Q两点，求PQ.面积的最大值.二定点定值问题9. 动点P在圆E : (x +1)2 + y2二16上运动，定点F(1,0)，线段PF的垂直平分线与直线PE的交点为Q .(I) 求Q的轨迹T的方程；(II) 过点F的直线l，仃分别交轨迹E于A，B两点和C，D两点，且/丄/ 证1 2 1 2 明：过AB和CD中点的直线过定点.10. 在直角坐标系xOy中，抛物线C的顶点是双曲线D :等-x2 = 3的中心，抛23物线C的焦点与双曲线D的焦点相同.(I) 求抛物线C的方程；(II) 若点P(t,1)(t 0)为抛物线C上的定点，A, B为抛物线C上两个动点.且PA丄PB，问直线AB是否经过定点？若是，求出该定点，若不是，说 明理由.2 211. 如图，在平面直角坐标系无。)/中，椭圆的离心率为斗，直线(与x轴交于点E,与椭圆C交于几月两点.当直线(垂直于x轴且点E为椭圆C的右焦点时，弦月月的长为丫.2)，点月在第一象限且横坐标为连接点月与原点。的直线交椭圆c于另一点P,求的面积;1 1(3) 是否存在点E，使得为定值?若存在，请指出点E的坐标，并求出该定值；若不存在，请说明理由.12.已知椭圆C：的左焦点为F,不垂直于x轴且不过F点的直线l与椭圆C相交于A, B两点.(1)如果直线FA, FB的斜率之和为0则动直线l是否一定经过一定点？若过定点，则求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由.(2)如果FA丄FB,原点到直线l的距离为d,求d的取值范围.13.如图，已矢直线l: y = kx + 1(k 0)关于直线y = x +1对称的直线为，直线l,x 21亘过定点，求出该定点坐与椭圆E: - + y2 =1分别交于点A、M和A、n，记直线1的斜率为ki.(I )求k - k的值;(II)当k变化时，试问直线MN是否恒过定点1标；若不恒过定点，请说明理由.14. 如图，椭圆F：右+十=1 3 b 0)的离心率虧，过点P(0,l)的动直线(与椭圆相交于月，月两点.当直线I平行于无轴时，直线(被椭圆E截得的线段长为(1)求椭圆E的方程;(2)在平面直角坐标系无Oy中，是否存在与点P不同的定点Q,使得嘉=两恒成立?若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.15. 已知动圆过定点(2),且与直线兀=-：相切，其中卩0.(2)设A、是轨迹C上异于原点。的两个不同点，直线。月和0E的倾斜角分别为仇和，当亿，“变化且优+ 为定值时，证明直线月月 恒过定点，并求出该定点的坐标16. 已知抛物线E:y2 = 2px(p 0)的准线与x轴交于点K ,过点K做圆C:(x-5)2 + y2 = 9的两条切线，切点为M, N, |MN|二肌3(1) 求抛物线E的方程； 9(2) 设月，月是抛物线E上分别位于x轴两侧的两个动点，且(其 中。为坐标原点). 求证：直线月月必过定点，并求出该定点Q的坐标； 过点Q作朋的垂线与抛物线交于G，D两点，求四边形MED面积的最小值.x 217. 如图，在平面直角坐标系xOy中，设点M(x0, y0)是椭圆C: + y2 = 1上2 点，从原点O向圆M:(x - x )2 + (y - y )2 =-作两条切线分别与椭圆C交oo 3于点P、Q,直线OP、OQ的斜率分别记为kl, k2(1) 求证：k1k2为定值；(2) 求四边形OPMQ面积的最大值.18. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知R(x，y )是椭圆C:兰+竺=1上的一002412点，从原点O向圆R: (x-x )2 +(y - y )2 = 8作两条切线，分别交椭圆于P，Q 0 0(1) 若R点在第一象限，且直线OP，OQ互相垂直，求圆R的方程；(2) 若直线OP，OQ的斜率存在，并记为k , k，求k , k的值；1 2 1 2(3) 试问|OP2| + |oq|2是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由.三中点弦问题19. 椭圆C: + =1(a b 0)的长轴长为2*2 , p为椭圆C上异于顶点的一个动点,a 2 b 20为坐标原点A2为椭圆C的右顶点点M为线段PA2的中点且直线理与直线OM的斜率之积为-2.(1) 求椭圆C的方程；(2) 过椭圆C的左焦点F且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆C于两点A,B ,线段AB的垂1(1 )直平分线与x轴交于点N , N点的横坐标的取值范围是-匚,0，求线段AB的长的取值 I 4丿范围.20.在平面直角坐标系xoy中，过椭圆C:兰+兰=1(a b 0)右焦点的直线a 2 b 2x + y-迈=0交椭圆C于M, N两点，P为M, N的中点，且直线OP的斜率为3 -(I) 求椭圆C的方程;(II)设另一直线/与椭圆C交于A, B两点，原点O到直线/的距离为，求AAOB面积的最大值.21.如图，椭圆E: 乂 +二=1(a b 0)左右顶点为A、B,左右焦点为 a 2b 2F, F ,|AB| = 4, FF = 2羽，直线 y = kx + m(k 0)交椭圆 E 于点 C、D 两点,12 I I 1 2与线段Fi椭圆短轴分别交于M、N两点(M、N不重合)，且 CM = DN .(1)求椭圆E的方程;k(2)设直线AD,BC的斜率分别为k ,k，求尹的取值范围.1 2 k222. 如图，在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆C :兰+兰=1(a b 0)的离心 a2b2率e = 2，左顶点为Ay。)，过点A作斜率为k(k丰0)的直线1交椭圆C 于点 d，交y轴于点e .(II) 已知P为AD的中点，是否存在定点Q ,对于任意的k(k丰0)都有OP丄EQ, 若存在，求出点Q的坐标；若不存在说明理由；(III) 若过O点作直线l的平行线交椭圆C于点M，求1 AD: AE1的最小值.| OM |23. 已知椭圆刖：+ = 1 ( aU)过点八(U I)且离心讦(1) 求椭圆皿的方程；(2) 若椭圆A7上存在点耳C关于直线y kx-1对称，求/啲所有取值构成 的集合S,并证明对于W BC的中点恒在一条定直线上.24. 如图，在直角坐标系无。丫中，点卩(1厲)到抛物线C-y2 = 2pxp 0)的准线的距5离为八点M(L1)是C上的定点，月，E是C上的两动点，且线段朋被直线平分.(1) 求卩，亡的值；(2) 求BP面积的最大值.25. 已知抛物线=4王，过其焦点F作两条相互垂直且不平行于x轴的直线，分 别交抛物线C于点P，P2和点巴，几，线段PPz, P.P、的中点分别记为Mi, M2.(1) 求4FM1M2面积的最小值；(2) 求线段M1M2的中点p满足的方程.26. 平面直角坐标系xOy中，椭圆C : +学=1 (a b 0 )的离心率是二，a 2 b22抛物线E : x2二2y的焦点F是C的一个顶点.(1) 求椭圆 C 的方程；(2) 设P是E上动点，且位于第一象限，E在点P处的切线l与C交于不同的两点A, B ,线段AB的中点为D,直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M .(i)求证：点M在定直线上；S(ii)直线l与y轴交于点G,记APFG的面积为S, APDM的面积为S?,求扌2的最大值及取得最大值时点P的坐标. 四定比分点27.已知点E(2,0)，点P是椭圆F : (x 2)垂直平分线FP交于点M，点M的轨迹记为曲线(I)求曲线C的方程;轧线段EP的36上M(II)过F的直线交曲线C于不同的A , B两点，交y轴于点N，已知 NA = mAF，NB = nBF，求 m + n 的值.28.在直角坐标系xOy上取两个定点A (-w6,0) , A (总0),再取两个动点N (0 , m)，121N (0 , n)，且 mn - 2 2(I) 求直线AN与AN交点M的轨迹C的方程；1 1 2 2(II) 过R(3,0)的直线与轨迹C交于P,Q,过P作PN丄x轴且与轨迹C交于另一点N,F为轨迹C的右焦点，若RP二九RQ(九1)，求证：NF二九FQ .29.如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：W + 22 = 1 (ab0)的左、右焦 a 2 b2点分别为F，F，P为椭圆上一点(在x轴上方)，连结PF并延长交椭圆于1 2 1另点Q，设PF=X FQ .(1)若点P的坐标为(1,3)且、PQF2的周长为8，求椭圆C的方程;2(2)若PF垂直于x轴，且椭圆C的离心率e e2沁1求实数入的取值范围.五结论30.已知椭圆20已知椭圆C:兰+兰 a2 b2=l(ab0)经过点(2 , V2)且离心率等于，点A , B分别为椭圆C的左右顶点，点P在椭圆C上.2(1) 求椭圆C的方程；(2) M , N是椭圆C上非顶点的两点，满足OM AP , ON BP，求证：三角形 MON 的面积是定值.31.过点(胡,离心率为f过椭圆右顶点人的两条斜率乘积为-；的直线分别交椭圆c于M,两点.(1)求椭圆C的标准方程;(2)直线M/V是否过定点D?若过定点D,求出点D的坐标，若不过点D,请说明理由32.已知椭圆的两个焦点为F Cp5,0 ),1M是椭圆上一点，若33.34.mf| - |mf| = 8 .求椭圆的方程;_(2)点P是椭圆上任意一点，A、1MF - MF = 0 ,1 2分别是椭圆的左、右顶点，直线PA，PA1 2与直线x =分别交于E, F两点，试证：以EF为直径的圆交x轴于定点， 并求该定点的坐标.35.已知抛物线x2 = 2py (p 0)的焦点为F，直线x = 4与x轴的交点为P,与抛物线的交点为Q, 且 IQF 二 f lPQ.(1) 求抛物线的方程；(2) 如图所示，过F的直线l与抛物线相交于A,D两点，与圆x2 +(y -1)2 = 1相交于B,C 两点(A, B两点相邻)，过A,D两点分别作我校的切线，两条切线相交于点M,求AABM 与ACDM的面积之积的最小值.36.已知椭圆，其右准线(与无轴交于点人椭圆的上顶点为月，过它的右焦点F且垂直于长 轴的直线交椭圆于点P,直线月B恰经过线段FP的中点1)求椭圆的离心率；(2)设椭圆的左、右顶点分别是幻、役，且臥?瓦=-3,求椭圆的方程；(3) 在(2)的条件下，设Q是椭圆右准线(上异于月的任意一点，直线0久,2与椭圆的另一个交点分别为M、，求证：直线与x轴交于定点.37.38.已知点A(-1,0), B(l,0)，直线AM与直线BM相交于点M，直线AM与直线BM的斜率分别记为k与k ，且k - k =-2 . AM BMAM BM(I)求点M的轨迹C的方程;(II)过定点F(0,1)作直线PQ与曲线C交于P, Q两点，AOPQ的面积是否存在最大值？若存在，求出AOPQ面积的最大值；若不存在，请说明理由.已知一个动圆与两个定圆(x-卧+ y2 = 4和(x +卧+ y2 =丰均相切其圆心的轨迹为曲线C.求曲线C的方程；过点F (迁,0)做两条可相垂直的直线/,/ ,设/与曲线C交于A,B两点,/与1 2 1 2曲线C交于C,D两点，线段AC, BD分别与直线x交于M, M,N两点。求证IMFHNFI为定值.六运算转化39.设椭圆C: 乂 +牛=1(ab0)的左、右焦点分别为F, F，上顶点为A,过A a 2 b 21 2与AF垂直的直线交x轴负半轴于Q点，且F恰好为线段QF的中点.2 1 2(1)若过A,Q, F三点的圆恰好与直线3x-4y-7 = 0相切，求椭圆C的方程;2(3 (2)在(1)的条件下，B是椭圆C的左顶点，过点R 3,0作与x轴不重合的12丿8直线l交椭圆C于E,F两点，直线BE,BF分别交直线x二于M,N两点，若直线MR,NR的斜率分别为k , k ,试问k - k是否为定值？若是，求出该定值；若不是,1 2 1 2请说明理由.40.已知椭圆E:竺+兰=1(ab0)过点(0,1)且离心率为卫.a2 b22(1)求椭圆E的方程；(2)设直线l: y = 1 x + m与椭圆E交于A、C两点，以AC为对角线作正方形ABCD, 2记直线l与x轴的交点为N，问B、N两点间距离是否为定值？如果是，求出定 值；如果不是，请说明理由.