圆锥曲线的弦长公式及其推导过程

锥曲线的弦长公式及其推导过程（总4页）-本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可-内页可以根据需求调整合适字体及大小-圆锥曲线的弦长公式及其推导过程关于直线与圆锥曲线相交求弦长，通用方法是将直线y = kx + b代入曲线方程，化为关于x的一元二次方程，设出交点坐标A（x ,y ）,B（x ,y ）利用韦达定理及弦长公式1 1 2 2v（1 + k2）（x + x ）2 -4xx 求出弦长，这种整体代换、设而不求的思想方法对于求直线1 2 1 2与曲线相交弦长是十分有效的，然而对于过焦点的圆锥曲线弦长求解利用这种方法相 比较而言有点繁琐，若利用圆锥曲线的定义及有关定理导出各种曲线的焦点弦长公式 就更为简捷.一、椭圆的焦点弦长若椭圆方程为三+養=1（a b ），半焦距为c，焦点F1（-C），F2（c），设过F的直线l的倾斜角为a , /交椭圆于两点A（x , y ）B（x , y ）求弦长1 11 2 2解：连结FA, FB，2 2设I FA = xFB| = y，由椭圆定义得F A = 2a - x, F B = 2a - y，由余弦定理得 x 2 + (2c)2 - 2x - 2c - cos a = (2a - x)2，整理可得x =，同理可求得y =，则a - c - cos aa + c - cos aAB2ab 2b 2=x + y =+=a - c - cos a a + c - cos a a2 - c2 cos2 a2ab 2同理可求得焦点在y轴上的过焦点弦长为|AB =（a为长半轴，b为 a 2 - c 2 sin 2 a短半轴，c为半焦距）.结论：椭圆过焦点弦长公式:AB = v地2(焦点在x轴上), a2 c2-cos2a处2(焦点在y轴上).、a 2 c 2 - sin2 a二、双曲线的焦点弦长设双曲线S 一話=仏 b 0）其中两焦点坐标为Fi（c,。）, F2（c,），过F1的直线l的倾斜角为a，交双曲线于两点A（x , y ）, B（x , y ）求弦长|AB|.b解： (1)当 arctan aab 兀一 arctan)ay,，直线l与双曲线的两个交点A、B在同一支上，连FA, FB，设|FA| = x, FB =22I 1 I 1由双曲线定义可得|F A| = x + 2a,|FB = y + 2a，由余弦定理可得x2 + (2c)2 2x- 2c - cosa 二(x + 2a)2,y2 + (2c)2 2y - 2c -cos(兀-a)二(y + 2a)2整理可得x =， y =，则可求得弦长2ab 2a + c - cos aa c - cos aABb 2b 2=x + y =+=a + c - cos a a c - cos aa2 c2 cos2 ab _b(2)当0a arctan 或兀一arctan a兀时，如图 3,aa直线1与双曲线交点A(x , y ),B(x , y )在两支上，连F A,F B,设|FA| = x, FB =1122221 1 11y,则FA = x + 2a,|FB = y 2a，由余弦定理可得 I 2x 2 + (2c)2 2 x - 2c - cos a = (x + 2a), y 2 + (2c)2 2 y - 2c - cos a = (y 2a )2,整理可得，x =吐c - cos a + aAB = y x =c - cos a a c - cos a + a c2 - cos2 a a22ab 2因此焦点在x轴的焦点弦长为2ab 2AB 二 vbb(arctan a 兀一 arctana2 一 c2 cos2 aaa(0 a arctan 或兀 一arctan a 兀).、c 2 cos2 a a 2aa同理可得焦点在y轴上的焦点弦长公式2ab 2AB = v(0 a arctan 或兀一arctan a兀), a 2 一 c 2 sin2 aaa2ab2bb、(arctan a 0）与过焦点F（P ,0）的直线l相交于两点A（x , y ）B（x , y ）,2 11 2 2 若1的倾斜角为a，求弦长|AB|.（图4）I则点A的横坐标为I + x-cosa，点B横坐标为彳- y -cosa，由抛物线定义知彳 + x. cosa + 彳=逍y cosa + 彳=y,即 x =, y =，贝吐+y二+1 一 cos a 1 + cos a2 p1一cos2 a2 Psin 2 a同理y2 = -2 px( p 0)的焦点弦长为I AB = 2 P ,sm2 ax 2二2 py （p 0）的焦点弦长为I AB二2p ,，所以抛物线的焦点弦长为COS2 aAB（焦点在x轴上）,sin2 a妇（焦点在y轴上）.cos2 a由以上三种情况可知利用直线倾斜角求过焦点的弦长，非常简单明确，应予以掌握.锥曲线的弦长公式设直线与椭圆交于P(x,y),P(x,y),且PP斜率为K,贝I1 1 1 2 2 2 1 2|PP | = |x-x .-(1 + K2)或 |PP I = |y-y | (1 + I/K2) K=(y -y)/(x -x )12 12 12 12 2 1 2 1=、 (1 + k2)(x + x )2 一 4x x v121 2二、双曲线：设直线与双曲线交于P (x,y),P (x,y),且PP斜率为K,则1 1 1 2 2 2 1 2|PP | = |x-x L1.；(1 + K2)或 |PP I = |y-y |(1 + 1/K2) K=(yy)/(xx)12 12 1212= 2 1 2 1二 T(1 + k 2)( x + x )2 一 4 x x 1 2 1 2三、抛物线：(1) 焦点弦：已知抛物线y2=2px,A(x,y),B(x,y),AB为抛物线的焦点弦，则1 1 2 2|AB|=x +x +p 或|AB|=2p/(sin2a ) a 为弦 AB 的倾斜角1 2k 2或AB = 2 P(k为弦AB所在直线的斜率)1 + k 2(2) 设直线与抛物线交于P (x,y),P (x,y),且P P斜率为K，则1 1 1 2 2 2 1 2|PP | = |xx .(1 + K2)或 |PP | = |yy .(1 + 1/K2) K=(y y)/(x x )1212、 12 12 2 1 2 1二 (1 + k2)(x + x )2 4x x 1 2 1 2