第7章参数估计

第7章参数估计一、基本要求（1）理解参数的点估计、估计量与估计值的概念，了解评选估计量的基本标准无偏性、有效性（最 小方差性）与相合性（一致性）的概念，并会证明估计量的无偏性；会比较两个无偏估计量的方差；会利用 大数定律证明估计量的相合性（2）掌握求估计量的方法矩估计法和最大似然估计法；矩估计法一般只涉及一阶和二阶矩（3）掌握建立未知参数的（单侧或双侧）置信区间的一般方法，掌握正态总体的均值、方差、标准差和 矩，以及与其相联系的特征的置信区间的求法（4）掌握建立两个正态总体的均值差和方差比，以及与其相联系的特征的置信区间的一般求法 二、内容提要统计推断，就是由样本推断总体，是统计学的核心内容，其两个基本问题是统计估计和统计检验统计 推断的众多分支、应用、方法及原理都是围绕着估计与检验建立和展开的参数估计，就是根据样本来估计 总体的未知参数，分为点估计和区间估计 评选估计量的标准 点估计是用统计量的值估计未知参数的值；作估计用的统计量称为估计量；估计量是随机变量，它所取的具体值称为估计值例如，对于任意总体X，可以分别用样本均值X和样本方差s 2做总体的数学期望EX和方差DX的估计量我们用统计量0 = g（X，X，,X ）（有时简记为0 ）做未知参数的估计量，n 1 2 n其中g（X X,X）是简单随机样本（X X,X ）的函数.1 2 n 1 2 n同一个未知参数0一般有多个可供选择的估计量评选估计量的标准，是对于估计量优良性的要求， 考试大纲要求掌握无偏性、有效性（最小方差性）、相合性.1、无偏性 称估计量6为未知参数0的无偏估计量，如果E0 = 0 JJ八八八2、有效性 假设0和0都是0的无偏估计量，那么如果D0 D0则称估计量0比0更有效.在1 2 1 2 1 2未知参数0 任何两个无偏估计量中，显然应该选更有效者方差较小者3、相合性 称估计量0 = g（X，X2，,X）为未知参数0的相合估计量，如果6依概率收敛于e 换 n 1 2 n n/X句话说，当n充分大时，相合估计量 0以十分接近1的概率近似等于它所估计的未知参数0，即np*1 相合性一般是大数定律的推论.n 求估计量的方法考试大纲要求掌握最常用的两种求估计量的方法：矩估计法和最大似然估计法1、矩估计法 矩估计法，是用样本矩估计相应的总体矩、用样本矩的函数估计总体矩相应函数的一种估计方法矩估计法无需知道总体的分布总体的k阶原点矩和k阶中心矩定义分别定义为 a = EXk 和卩=E（X -EX （k=0,l,2,）.kk考试大纲只涉及一阶矩和二阶矩矩估计法的步骤为：（1）用k阶样本原点矩a估计k阶总体原点矩a，用k阶样本中心矩U估计总体的k阶中心矩kkk卩例如，用一阶样本原点矩一一样本均值X =估计总体的数学期望EX =a，用二阶样本中心矩 k11未修正样本方差S2 =估计总体的方差DX二卩n 22设0=fa，a）是一阶原点矩a 1和二阶原点矩a的函数，则0=fa,a）就是1 2 1 2 1 2 0 = f（CL ,a ）的矩估计量（见例7.19） 12（3）设0. = fG a丿（i=l,2）是一阶原点矩a 1和二阶原点矩a的函数，则0 = f a ,d ）就是i i 1212i i 120二f.匕，a丿（i=l,2）的矩估计量（见例7.5、例7.187.20）.i i 122、最大似然估计法 最大似然估计法要求事先知道总体分布的数学表达式我们用概率函数f （x；0）表示总体X的概率分布其中0是一维参数或01，02）是二维参数对于离散型总体X，其概率函数为= x0）,若x是X的可能值；0,若x不是X的可能值.对于连续型总体X，其概率函数f（x;0）就是概率密度.（1）似然函数 设总体X的概率函数为fC;0）,（X1,X ,X）是来自总体X的简单随机样本，则12n称函数Le)= f (x 询)f (x 询)f (x 询)1 2 n为参数e的似然函数；称函数ln L(e)= ln f (X ;0)+ ln f (X ;0)+ + ln f (X ;0)1 2 n为对数似然函数，亦简称似然函数(2)最大似然估计量 对于给定的样本值Q,x,x )，使似然函数LG)或lnL9)达到最大值的参1 2 n数值e，称做未知参数e的最大似然估计值对于几乎一切样本值(x ,x ,x)，使似然函数lG)或lnL(e)1 2 n达到最大值的估计量0，称做未知参数0的最大似然估计量，即最大似然估计量0 (以概率1)决定于条件: lC , X，,X ； 0)= maxL(X , X，,X ； a).12n匕12n(3) 似然方程 由函数有极值的必要条件，得方程dL(e)dlnL(e ) yn1df (X ;e)0 或E de=0，i=1j i称做参数e的似然方程；假如未知参数e= 1,e 2)是二维的，贝I得似然方程(组)苛二0,加)010-=0;26lnLe)y1芳(X;0)c亠 70)10 = 0,6lnLe)歹1芳(X;0)0ae=f (x ;e)ae= 0-2i=1i2在相当广泛的情形下，似然方程的解就是最大似然估计量一般，要用微积分中判断最大值的方法来 判断似然方程的解是否最大似然估计量有时，只能用近似计算的方法求解似然方程在有些情形下，似然 函数对e的导数不存在，这时应采用其他方法求最大似然估计量(见例7.19，例7.21和例7.27) (4)最大似然估计量的函数 假设参数e的函数T= g e)有唯一反函数，而$是e的最大似然估计量, 则T = g (j是T =g (e)的最大似然估计量. 参数的区间估计未知参数e的区间估计，亦称“置信区间”是以统计量为端点的随机区间(W，e2)，它以充分大的概 率包含未知参数e的值，其中区间的端点e：和e2是统计量.121、置信区间 设9是总体X的未知参数，G ,X，,X）是来自总体X的简单随机样本，RQ是两1 2 n 1 2个统计量，满足pi 6 6 L1 -a，12则称随机区间（6 ,6 ）为参数6的置信度为1-a的区间估计或置信区间，简称为6的1-a置信区间；区间 12的端点一一统计量，分别称做置信下限和置信上限对于具体的样本值（x ,x ,x ），（6 ,6 ）是直线1 2 1 2 n 1 2上一个普通的区间，称做置信区间的一个实现./X/X置信度是随机区间（61,62） “包含”或“覆盖”未知参数6的值的概率.置信度一般选充分接近1的数， 12/X/X例如1 -a =0.95直观上，如果多次使用置信度为0.95的置信区间（6 ,6 ）估计参数6，则该区间平均有 1295%的实现包含6 的值，不包含6 值的情形大致只有 5%左右./X/X2、 单侧置信区间 设（6, b）和（a,6 ）都是参数6的1 -a置信区间，其中a和b是已知常数或无穷大，则（6, b）称做下置信区间，而（a,6）上置信区间.3、 置信区间的求法 设6是总体X的未知参数，X =（X X,X）是来自总体X的简单随机样1 2 n本建立未知参数6的1 -a置信区间的一般步骤为（见例7.26和例7.27）：（1）选择一个包含参数6的样本的函数T = f（X； 6），但是其分布不依赖于参数6 ；假设6二g（X； T）是T = f（X； 6）的反函数；（2）对于给定的置信度1-a ,根据T的概率分布选两个常数（分位数）九，九使之满足条件12P& T 九= 1 -a ；12（3）利用6 = g（X； T）和T = f（X； 6）之间的反函数关系，由（7.11）式可得1 -a = T 九= p6 6 6 1 2 1 2其中，若T = f（X； 6）是6的增函数，则61 = g（X；片），62 = g（X；九2）；若T = fX 6）是6的减函数,则61 = g（X；歼），62 = g（X；九丿；由此得参数6的1 -a置信区间6 ,6 ）1 1 2 2 1 2注 式（7.11）中九，九2的选择有一定任意性，因此具有相同置信度的置信区间并不惟一对于对称分12布（如正态分布、t分布）以及偏度不大的分布（如X 2分布和F分布），通常按如下原则选取九，九：12pb巳=pb込唁 正态总体参数的区间估计正态总体参数的置信区间，主要是一个正态总体均值和方差的置信区间，以及两个正态总体均值差和 方差比的置信区间1、一个正态总体参数的区间估计 假设总体XN2）,（X ,X，,X）是来自总体X的简单1 2 n随机样本；X是样本均值，S 2是样本方差表7-1列出了卩和 2的1 -a置信区间.(Y1SXy是联合样本方差（见（616）式） a - b和严2的置信区间列入表7-2表7-2均值差a - b和方差比沖2的置信区间未知参数1 -a置信区间分位数a - b2, 2已知xy( | -0 202_io 202X Y u i. -x +y , X Y + u -11 _x +y a mnaV m n 丿附表22, 2未知xy 2 二 2xy(一 一i 1 1 一 一| 1 1)X - Y -1 S 讣一+ , X - Y +1 S、；一 + (a ,v xy m na，v xyXm n 丿附表2V = m + n 一 2 2X 2yF -1 (m -1, n -1), F ； C -1, m -1)Ia 2S 2a 2S 2 I，yy丿附表4三、典型例题及其分析例7.2.1设X，X是从正态总体N (p,G2)中抽出的样本，要求估计R和a 2 1n【解】已知卩=E(X)Q2 = D(X) = E(X2)-E2(X).因此可用样本一阶原点矩和二阶原点矩去估计.= A =工 X = X,1 n ii=1O 2 = A2 一 A2 =1工 X 2 一(丄工 X )21 n i n ii=1i=1=1 工X - X2 =1 工(X - X)2. n i ni=1i=1解毕】实际上，不论总体服从什么分布，其总体均值的矩估计量都是样本均值X =1工X，总体方差的矩 nii=1估计量都是二阶样本中心矩，即B =丄工(X 一 X)2.2 n i i=1例 7.2.2设X，X是从区间0,9 上均匀分布的总体中抽出的样本，求9的矩估计. 1n解】/、 o9,1 YE (X)=, 因此一=A =乙 X = X.221 n ii=1/K所以9 = 2X,就是9的矩估计量.解毕】例 7.2.3设总体X N( 2)，样本值xn，求卩,O 2的极大似然估计值.解】1总体分布密度f (x;p,a2) =e2兀a 22a 2样本的似然函数为 L (x，x ；p,a2) = ( .Jn汗en 1n(丫厂卩)22a 2取对数，得对数似然函数2兀a 2i =1In L = - n ln(2 兀)一 n In a 2 一 ) n 工(x _H)2. n 222a 2ii=1对比G2求偏导数，并令其为零，得似然方程组= 1 工(x -n) = oVQnb 2 J i问I d ln Ln1 y、八n+(xn )20I Qb 22b 22b 4ii=1其根为n =x = x, b 2 =(x - x)2.ninii=1i=1这就是卩与b 2的极大似然估计值(数学上可以验证，L确实在R , & 2处达到极大值).n卩，G2的极大似然估计量为n=1 工 x = X, b 2=1 工 (X - X)2. n in ii=1i=1解毕】注】此例说明了求未知参数极大似然估计的方法.例7.2.4设总体X U 0,9 ，来自总体X的样本x,x 求9的极大似然估计. 1n解】1X的分布密度f (x;9) = 90,0 x 0其他.样本x，x的似然函数为1nL (x,xn12X ；0 ) = Vnn0，0 x,x x 0.数分布密度函数为f (x) =c )；在二项分布总体中用X /N估计p (二项分布概率分布为0, x 0P(X = k) = Ck Pk (1 p)n-k,k = 0,1,2,N)，以及在泊松分布总体中用X估计九(泊松分布概率分布N九k e-九为P(X = k) =,k = 0，1，2,)等，都是无偏估计.k!1 y例7.5.2样本方差S 2 =乙(X X )2是总体分布方差a 2的无偏估计.n 1 ii=1思路】 将样本方差 S2 表达式分解，再求期望.【证明】设总体分布期望为卩，方差为a2，则工(X X )2 =工 (X2 2X X + X2)iiii =1i =1EnnX2 2X乙 X + nX2 =乙 X2 nX 2.iiii =1i=1i =1而E(X2) = D(X ) + E2(X ) = D(X) + E2(X) = a2 + 卩2iiiE (X2) = D( X) + E 2( X),其中D(X) = D(-工X )=D(X ) = DnD(X) = a 2,n in2in2n2i=1i=11所以E (X2) = a 2 + p 2.于是n1、1、n E (S 2) = E乙(X X )2=乙 E (X 2)E (X2)n 1 in 1in 1i =1i =1nna 2=E (X 2) E (X2) =a 2 + 屮屮=a 2,n 1n 1n故S2是a 2的无偏估计.【证毕】【注】二阶样本中心矩B2=n丫代厂是正态总体N(“2)方差a2的矩估计和极大似然估计.但i=1是，它却不是a 2的无偏估计，因为E (B2)=口 E (亠 丁 (X - X )2)n n - 1ii = 1n -1n -1E ( S 2 ) =b 2 .nn例7.3.3设总体X的样本X , X，则当D(X)丰0时，X比X 有效.1nkk-1【思路】 首先想到样本均值是总体均值的无偏估计，则比较哪个有效的问题就转化为方差大小的比较问题.证明】Xk =1 xk -ii=1丄艺Xk-1i=1由例 7.3.1 知， E (Xk) = E (X), E (Xk-1) = E (X).1 1由例 7.3.2 知，D(Xk)=D(X),D(Xk 丿=D(X). k kk-1k -1显然D(Xk) 8) = 0.nns因此，Xn是卩的相合估计.【证毕】例7.3.5试证明二阶样本中心矩B (n)=-工(X -X“)2是总体方差b 2的相合估计.2nini=1【思路】 本题只要能证明limP(B (n)-b2 8) = 0.即可，仍要基于大数定律来证. nT82【证明】 设总体X的均值为卩,方差为b2.工(X -卩)2 =工 (X - X )2 + (X -卩)2ii nni =1i =1=工(X - X )2 + n(X -卩)2 + 2(X - H忆(X - X ),i nnni ni =1i =1则乙(X -X ) =nX -nX = 0,所以innni=12(X -卩忆(X - X ) = 0.nini=1 因此 B (n) =1 工(X -X )2 = 1 工(X 卩)2(X 卩)2.2 ni n nini=1i=11 y-依大数定律一乙(X 卩)2依概率收敛于E(X 卩)2 =G2，而X 卩依概率收敛于0,故B (n)依概率 n in2i=1收敛于Q2，即它是总体方差Q2的相合估计.【证毕】【注】样本方差S2也是总体方差b 2的相合估计.例7.4.1用某仪器间接测量温度，重复测量5次，得1250。,1265。,1245。,1260。,1275? 试问，温度的真值在什么范围内？【思路】 先把问题化为数学问题.用卩表示温度的真值，X表示测量值.X通常是一个正态随机变量， 假定仪器无系统偏差.E(X)=卩现测量5次，得到X的5个样本值问题就是在未知方差(仪器的精度) 的情况下，找卩的置信区间设Q = 0.05.【解】 利用式(7.2),卩的置信区间为ccx t (n 1), x +1(n 1).0.025 丽.25Jnn = 5, x = 5(1250+ 1275) = 1259,S 2 =丄(12501259)2 + + (12751259)25 11570=一 92 + 62 + 142 + 12 + 162=.于是44浮=5.339,n 1 = 4.查t分布表得寫5=2.776,故St(n 1) . = 2.776 x 5.339 = 14.8,a/2n-Sx t (n 1)= 1259 14.8 = 1244.2,a/2n_cx +1 (n 1)= 1259 +14.8 = 1273.8.a/2n解毕】于是温度真值卩的0.95置信度的置信区间为1244.2,1273.8.(7.2)_s sX匕2(n _ D貢,X +鳥n _ D討综例 7.5.1设总体X，其简单随机样本为X，X , X ,则分别用X , Xn =1工X ,1 nn +1n n n ii=1X = -L- n+1 n +1 i=1艺X，估计总体的数学期望时(i)最有效.思路】 先看它们是否是总体均值的无偏估计，如果是，则进一步比较其方差的大小，方差最小者最有效.【解】 设总体期望为为卩,方差为b 2.样本与总体同分布所以E(X )=卩,E(Xn)=卩,E(Xn+1)=卩,者均是卩的无偏估计.D(X )= D(X)=b2,n1b 2D(X ) =nb 2 =,nn 2n1b 2D( X) =(n + 1)b 2 =n+1(n +1)2n +1三者比较，xn+1的方差最小，故为最有效.解毕】综例7.5.2设总体X的概率密度函数为f( X)=10,其中九 0和p都是参数又若X，X ,X ,为总体的简单随机样本，而x ,x，x为样本的观察值.1 nn +11 2 n(1)设九已知，求卩的极大似然估计S .(2)设卩已知，求九的矩估计、.思路】本题是考察点估计的两个基本方法，逐一解之.解】(1)九已知，写出似然函数L (x，x ; p)= 卩时(i = 1,2,n),i其他.In L = 卩时(i二1,2,n),i其他.d ln Ln = n九 0.dp这说明InL是随p的增加而增加的由于x ,x，x均大于等于p，所以要使InL最大，只须p最大, n12n而p = min(x,x )，此值即为p的极大似然估计，即p = min(x,x ).max1 n1 n2)直接求 E(X )E(X)二 f x九e-尢(x-卩)dx 二 f (y + 卩)Xe-ydy 二 + p. 九0由矩估计法，这里卩已知，故故的矩估计为久=右,其中X = “ x.ni=1解毕】【技巧】求九的矩估计，可利用已知指数分布的期望公式，做变换:令Y二X -卩，于是Y的概率密度为九e-九y,y 0,0,y 0.11一入因此，Y的期望e(y)二，从而e(x)二E(Y) + p二+卩,利用X = E(X),故入= 九九I1X-p综例7.5.3设总体X N(1b2),b未知，抽取简单随机样本X，X ,X ,，问b =二且 |X 1 n 2i=11nn+1是否为b的无偏估计?思路】 要判断一个估计量是否无偏估计，就是要求估计量的数学期望，此题估计量b是一个和式，根据数学期望的性质，首先求其中每一项的期望，然后求出期望的和.【解】 设随机变量Y二X -1,因为x N(1q 2),所以y N(Oq 2),E|X -1| = E|Y| = +8 |yh=Lbe-2；dy8+8 1 1 -=2 J ye 2b2 dy = 2be 2b22兀b2兀8|X 1| = b.解毕】(因为样本X与总体X同分布)，故J?为b的无偏估计.i综例7.5.4设总体X U 0,9 (U为均匀分布)，来自该总体X的样本X , X，X ,在例7.2.2和例7.2.4 1 2 n中已求出过9的矩估计量9 = 2X和极大似然估计量9 = max(X，X ),试判断他们的无偏性和比较有L 1 n效性.【思路】对极大似然估计量9l求期望和方差需要先求出9l的概率密度函数要用到极值分布然后利用积分求极值和方差.入9入解】E(9) E(2X)二2E(X)二22 9,所以9是9的无偏估计量.12由于9l max(X，X),而X1,X,X,独立与总体X同分布由已知XU0,9 所以19,0,其他 .9，(z)F x1x2F (z) nF n -1 (z) f (z) 9l0, x 0,(z)F (z) F (z)n, xnz n - 1n0,0 z i时，总有n(n + 2) 3n,故除非n 1,时的方差总比9的方差小，且不论未知参数9取什么值都对，故在“方差小者为优”这个准则下，q优于，当n二1时，与q重合.对于 L，由于 L不是无偏估计，可计算其均方误差e ( L)2,而E ( L- )2 二 D ( L) + E( L)- 22 2(n + l)(n + 2)所以， 从均 方 误 差 小 者 为 优 来看，El卫与E( -)2 = D()遵比较，当n 3时E(L -)2 3 时，L 优于，n 二 1,2 时，6 与l 重合.综上分析可知：矩估计是的无偏估计，当n 3时，均方误差E( -)2较大；极大似然估计量 = max(X，X ),是的有偏估计，但当n 3时，均方误差小于前者即L的误差平均讲比前者小.L1nL故L较有效.【解毕】综例7.5.5 设总体X u(o, e), X ,X ,X是X的一个容量为3的样本，X的分布函数为1231 x ,xF(x;) = *,x e (0,),0, x 0.4试证：3maxX ,4mmX都是的无偏估计，并比较它们哪个更有效？3 1i 3 i 1i 3 i【思路】 要讨论无偏性和有效性，就要计算估计量的期望和方差，这就必须知道它们的概率密度函数 .对于本题的两个估计量，其概率密度是极大值、极小值分布.44【解】设 1 二 max X 二丁M,213 1i 3 i 321i3=4min X = 4N由于i1i,xF(x;) = &, x e (0,),0, x , xe (0,), x 0,F (x) = 1 - (1 F(x;0)3 =N1 -吩)3,0,x e (0,0),x 0.从而 M二max X , N二min X的密度函数分别为1i 3 i1i 3 i3x2fM(x)二xe(0,0)其他M=x e (0,0 ),其他.故 E (M ) = J x 醤力=400E (N) = J x 3(1 -x)2dx = 1000404因此 E(0丿二 E( M) =0. E(0 ) = E(4N) =0.132故01,0 2均为无偏估计.D(M)二 E(M 233-(4 0 )2 二 8o 0 2,03 x 13D( N ) = E ( N 2) - E 2( N) = J x 2 0 (1-0 )2 dx-(4 0 )2 = 80 0 2,041616 31因此 D(0 ) = D( M) =D(M) =02 =02,因此 1399 801533D(0 ) = D(4N) = 16D(N) = 16*02 = 02.2 、丿 80 5由于D(01) 0, 当x 0为未知参数，为已知常数，求九的极大似然估计.【解】设一组样本值为* X2J，似然函数为L ( x ,X，x ；九)=X ntt nXn (a-1) e,=1 i ,n 12 nIn L = n In X + n In a + n (a -1) ln x 一x a ,ni i=1令弓寻咚上皆得“ n / 晋次即为九的极大似然估计值将样本值以样本随机变量替代,i=1i=1解毕】则得X的极大似然估计量为X = n/工Xa.i i=1综例 7.5.7 箱中有 100 个球，其中只有红色和白色两种球，现从箱中有放回地每次抽出一球，共取 6 次.如出现红球记为 1，出现白球记为 0，得数据1， 1， 0， 1， 1， 1. 试用矩估计法估计红球的个数 r.【思路】 已知为有放回抽球6次，相当于作n = 6的独立重复试验，设每次抽出的红球个数为X个，其可能取值为 0， 1，则 X 服从参数为 p 的两点分布，其中 p 为每次抽到红球的概率，这里 p = r/100 ，因此 只要估计出P，即可得r的估计值.15【解】 由两点分布可知，E (X) = p,x = E(X),而X = (1 + 1 + + 1 + 1 + 1)=,所以 66p = 5/6.由p = r /100 ，于是r = 1 =1 050 .療红球的矩估计值为r = 83个.6【解毕】综例7.5.8设X , X，X ,为来自总体N(p,G2)的简单随机样本，现有未知参数卩的两个估计量，1 22nT = X ,T =-工X，问T,T是否为卩的无偏估计？若是，哪一个更有效？1i 2 n2 i1 2i=1【思路】 求两个估计量的期望和方差，然后比较.【解】 T = X =丄艺X ,12 nii=1E (T ) = E (X ) =2n 卩=卩,12 ni2ni=11 n12nE (T ) = E (X ) =(E (X ) + E (X ) + E (X )2ni=1 1=n卩=卩.n故T T2均是卩的无偏估计量.D(T1) = D(存n X)i=1-2nD (X )4n21b 2=2nb 2 =4n22n1 日1b 2D (T ) = D ( X ) =nD (X)=-2 n2in 2ni=1解毕】故D(T) 0, db 2n故当1b=m+4n,a=4b时，D(T)最小即此时估计量T最有效.【解毕】综例“10设叭,X2Xn，是来自正态总体X Ng 2)的一个简单随机样本，试求b 2的极大似然估计量，判断是否为Q2的无偏估计量，并求估计量的方差.解】 样本联合密度函数即似然函数为X2L(x , x，x ;b2) = rte 2b2,12n2兀bi=1两边取对数，得ln L = -|ln(2b 2)-舟x2,ii=1对2求导，得d ln L n 1 nX 2, i i=1= + d(b 2)2b 22b 4d ln L1 n令=,得唯一驻点b 2 = x 2-nii=1d (b 2)d 2 ln L因为冇 0,故b 2为极大值点也为最大值点，所以b2 =-工X2为b 2的极大似然估计值.ni2i=11nb 2的极大似然估计量为b2 =X 2.，为判别b2是否为b 2的无偏估计，对b 2求期望nii=1E (b 2) = E (-工 X2) =1工 E (X 2)= 1 nb 2 =b 2,n i n i ni=1i=1故b2 =-工X 2.是b 2的无偏估计量.nii=1D(b 2)= D(工 X 2)= nD(X 2)(易证 X 2,X 2 相互独立), ni n2i1i=1而 D(X 2)= E(X 4)- E 2( X 2),iii+” 1 * 1E(X4) = J x4e 2b 2 dx = 2 J x 4 e 2b 2i2兀b2兀b8 0用分部积分法易算得E(X4)二3q 4,因此iD(X2)二 3d 4 _(o 2)2 二 2d 2,从而iD(d 2)=竺:n解毕】综例7.5.11设某种电缆有内外两个绝缘层记外绝缘层的寿命为X，内绝缘层的寿命为Y,(X,Y)有联合 密度.f (x, y)二 20 -2e-(x+y)/ 0,0 x y 0,y e 2e0+E 22 eE (X)x e 飞x =, e 20+R 2 于 2e 3eE(Y) =J y (e-e- e-ey )dy = 20-=, e2 201 e 3e解毕】所以E(e)-2(2+2)=e，故e是e的无偏估计量.综 例 7.5.12 设 某 种 清 漆 的 9 个 样 品 ， 其 干 燥 时 间 ( 以 小 时 计 ) 分 别 为 6.0,5.7,5. 8, 6.5,7.0,6.3,5.6,6.1,5.0.设干燥时间总体服从正态分布N(RQ2)，求卩的置信度为0.95 的置信区间(方差b 2未知).” X -R【解】由于卩，b2均未知，故选随机变量T =t (nT)s /p n从而有P(vt (8) - 0.95.s / n0-025由n = 9查t分布表得t(8) = 2.060,算得x = 6,0.02519S2 = (x x) = 0.33.8 ii=1得 R 的置信区间为(x t0.025,x+t0.025= (5.56,6.64).解毕】综例7.5.13设大学生男生身高的总体X N(R ,16)(单位cm),若要使其平均身高置信度为0.95的置信区间长度小于 1.2，问至少应抽查多少名学生的身高？【思路】 本题是方差已知，求均值的置信区间问题，已经知道了区间长度而来求样本容量 n 至少为多少？仍从区间估计出发.【解】已知方差b 2 = 16,且为N(R ,16)总体，应选随机变量U =三工 N(0,l)b / ：n已知 1-a = 0.95,故有 P(|U v u ) = 1 a ,即 P(Ul v u ) = 0.95.a/20.025查表得U0.025二倔，置信区间为X U0.025vnx + u0.025，置信区间长度L = 2u0.025Jn问题要求L 1.2,由此得2x 1.96 x 1.2 n所以2 x1.96 xq)222 x 1.962 x16 _ 171 12_ *解毕】故至少应抽查 171 名男生的身高.综例7.5.14 抽查了 400名在校男大学生的身高，求得该400名同学的平均身高为166 （cm）,假定由经验知道全体男大学生身高总体的方差为16，则大学生的平均身高的置信度为0.99的置信区间近似为多少？【思路】男大学生身高X可认为近似地服从正态分布，由已知条件X N（卩,16），方差Q 2已知，现问题是要求卩的0.99的置信区间，样本容量n _ 400，样本均值x _ 166 .X u【解】由已知条件，选随机变量U _右N（0，1）而la _ 0.99,置信区间为xu0.005vnX + u0.005查 标 准 正 态 分 布 表 ， 得 u0.005_ 2.57,n _ 400,Q _ 4, x _166, 算 得 置 信 区 间 为166 2.57 *4 ,166 + 2.57 *J400J4002.572.57解毕】_ 166 丁,166 + 丁 _ 165.486,166.514.注】 本题男大学生身高分布未知，但因样本容量 n _ 400很大，故根据中心极限定理，无论原来是什么分布，都可近似为正态分布.综例7.5.15 某厂生产的电子元件，其电阻值服从正态分布N（卩,Q2），uQ2均未知，现从中抽查了 20 个电阻，测得其样本电阻均值为3.0（，样本标准差S _ 0.11（0），试求电阻标准差的置信度为0.95的置信区间.【思路】 本题欲求标准差Q的置信区间，UQ2均未知，由于S2是q 2的良好点估计，故应选与S2有关的随机变量分布.【解】选X2 = -1)2C 2 x 2（n -1）,因为1Q = 0.95,取双侧置信区间，使P(九 x2 V九)二0.95.12取九=X2 (n-1),九=X2(n-1),解不等式得b的置信区间为1a2 a122(n - 1)S 2(n - 1)S 2-T 2查咒 2 分布表得九 1 二冷.975（19）二 8.91, =蠢025（19）二 32.9,得置信区间为19 x 0.112-19 x 0.11232.9 飞 8.91=0.084,0.161.解毕】