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平面几何中的向量平面几何中的向量方法方法(2)463.,.已已知知直直角角三三角角形形的的两两直直角角边边长长分分别别为为 和和求求两两直直角角边边上上的的二二 利利用用数数量量积积求求两两直直线线中中线线所所夹夹的的锐锐角角的的的的角角例例余余弦弦值值夹夹DEABC10501132,:,.os:cCAa CBbCB CAx y 基基向向量量法法,设设 坐坐标标法法,以以分分别别为为轴轴 建建立立直直角角坐坐标标系系解解法法解解法法.三三 利利用用数数量量积积证证明明两两直直线线的的垂垂直直例例4 4 证证明明直直径径所所对对的的圆圆周周角角是是直直角角.220090,|,()(),:OAa OCbabACOCOAba BCOCOBbaAC BCba babaACBCACB 设设则则即即解解 12125,.ABCDABCDl ADBClll如如果果四四边边形形的的对对角角互互补补 且且和和的的交交角角平平分分线线为为和和的的交交角角平平分分线线为为则则例例112121,:,M NAB CDAD BCMDMD i MAMA j NDND l NCNC ki j l klAMDlijllkll 设设设设分分别别为为与与的的交交点点 考考虑虑到到两两角角平平分分线线的的垂垂直直只只与与方方向向有有关关 而而与与长长度度无无关关 为为方方便便计计 令令即即是是模模为为 的的单单元元位位向向量量是是的的平平分分线线 的的方方向向由由确确定定的的方方向向由由确确定定证证明明解解要要1200000()(),cos(),cos(),coscos,:,:()(),ijlkABCDAljl jCi ki kACACl ji kBDi lj kijlkll 只只须须证证明明在在四四边边形形中中但但即即同同理理 由由得得两两式式相相加加 整整理理得得,:.ABCDPACPEAB PFBCE FDPEFDPEF如如图图 在在正正方方形形中中为为对对角角线线上上任任一一点点垂垂足足为为连连求求证证练练习习111012,(),()()(),|:|,.ABa ADb APmAC omAEma EPmbDPDAAPbm abmambEFEBBFm ambababDP EFDPEF 设设则则又又且且证证明明证证明明坐坐标标法法09220,:.:ABCCDBCEABAEEBADCE在在等等腰腰直直角角三三角角形形中中是是的的中中点点是是上上的的一一点点 且且求求证证练练习习EDBCA22223,:DABCABACDBDCADBC若若练练习习是是内内一一点点 且且 求求证证BACD 2222222202000,:,ABACDBDCABACDBDCABACABACDBDCDBDCCBABACDBDCCBADCB ADCBADADB 即即即即即即解解C0142390,:.如如图图是是并并列列的的三三个个大大小小相相同同的的正正方方形形 求求证证练练习习321DEFGCBOA045:,EOH解解 如如图图 只只需需证证5:求求证证三三角角形形的的三三条条高高交交练练习习于于一一点点.0000,:ABCADBC BEAC ADBEHADBC HADAHBCAHCHCACHCA BCCH BCCA BCBHACBH ACCHCBACCH 如如图图中中在在上上又又即即即即解解又又0000,:,ACCB ACCH BCCH ACCHBCACCH BACHBACHAB 得得即即,:,:.ABCD EAB BCAB AEBDPBPDC如如图图 正正三三角角形形中中分分别别是是边边上上的的一一个个三三等等分分点点 且且分分别别靠靠近近点点点点与与交交于于点点求求证证练练习习 60 3 33 03 01 2 31 03 31 3 33 33 3034 2 32 346 303 12 3551,(,),(,),(,),(,),:,BCxBCABCABCDEP x yAPAEx yxyCPCDxyxyP 设设以以所所在在直直线线为为 轴轴的的中中点点为为原原点点建建立立直直角角坐坐标标系系 不不妨妨设设正正三三角角形形的的边边长长为为则则设设由由由由由由解解得得证证明明坐坐标标法法18 12 34 2 3551812 342 3055,(),BP CDBPCDBPCD 即即131212323113123311,():,ABa ACbC P DCPCDADACabA P EAPAEaBCabAPACCPbCDab 设设共共线线设设又又共共线线设设证证又又明明基基向向量量法法2206626737773751177351151167732172160,|,CPCDabBPBCCPab CDabBP CDabababababa bBP C 且且0,DBPCD 090,:ABCBDBCBEADBEACFDFADBFDC 如如图图 三三角角形形是是等等腰腰直直角角三三角角形形是是的的中中点点延延长长交交于于连连求求证证练练习习2 00 20 12 102022 202 42 10 13 33 355,(,),(,),(,),(,),(,)(,),(,):,cos,cosACDF x yBFADx yxyFCACxyxyFDFDCDF DCADB 如如图图 建建立立直直角角坐坐标标系系 不不妨妨设设则则又又设设由由由由解解得得又又证证明明 坐坐标标法法55|BDADADBFDC
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