第1章离散时间信号与系统

3:4311 离散时间信号与系统离散时间信号与系统 1.1 离散时间信号离散时间信号 1.2 线性移不变系统线性移不变系统1.3 常系数差分方程常系数差分方程 1.4 连续时间信号的抽样连续时间信号的抽样3:432本章作为全书的基础，主要学习本章作为全书的基础，主要学习时域离散信号的表示方法和典型时域离散信号的表示方法和典型信号、线性时不变系统的因果性信号、线性时不变系统的因果性和稳定性，以及系统的输入输出和稳定性，以及系统的输入输出描述法，线性常系数差分方程的描述法，线性常系数差分方程的解法。最后介绍解法。最后介绍模拟信号数字处模拟信号数字处理方法。理方法。3:433第一章学习目标第一章学习目标 掌握序列的概念及其几种典型序列的定义，掌握掌握序列的概念及其几种典型序列的定义，掌握序列的基本运算，并会判断序列的周期性。序列的基本运算，并会判断序列的周期性。掌握线性掌握线性/移不变移不变/因果因果/稳定的离散时间系统的概稳定的离散时间系统的概念并会判断。念并会判断。理解常系数线性差分方程的求解方法。理解常系数线性差分方程的求解方法。了解对连续时间信号的时域抽样，掌握奈奎斯特了解对连续时间信号的时域抽样，掌握奈奎斯特抽样定理，了解抽样的恢复过程。抽样定理，了解抽样的恢复过程。3:434本章作业练习本章作业练习 P42:2(2)(3)47(1)8系统为LSI，(3)(4)111214(1)(2)返回到本章返回到本章3:4351 离散时间信号与系统离散时间信号与系统1.1 离散时间信号离散时间信号序列序列()()at nTax tx nTn .(),(0),(),(2),.aaaaxTxx TxT()ax t序列：对模拟信号序列：对模拟信号 进行等间隔采样，采样间进行等间隔采样，采样间隔为隔为T，()ax nTn取整数。对于不同的取整数。对于不同的n值，值，是一个有序的数是一个有序的数字序列：字序列：该数字序列就是该数字序列就是离散时间信号离散时间信号。实际信号处理。实际信号处理中，这些数字序列值按顺序存放于存贮器中，此时中，这些数字序列值按顺序存放于存贮器中，此时nT代表的是前后顺序。为简化，不写采样间隔，形代表的是前后顺序。为简化，不写采样间隔，形成成x(n)信号，称为信号，称为序列序列。x(n)代表第代表第n个序列值，在数值上等于信号个序列值，在数值上等于信号的采样值。的采样值。x(n)只在只在n为整数时才有意义。为整数时才有意义。返回到本章返回到本章3:4361、序列的运算、序列的运算移位移位翻褶翻褶和和积积累加累加差分差分时间尺度变换时间尺度变换卷积和卷积和3:437（1）移位）移位序列序列x(n)，当，当m0时时x(n-m)：延时：延时/右移右移m位位x(n+m)：超前：超前/左移左移m位位3:438（2）翻褶）翻褶 x(-n)是以是以n=0的纵轴为的纵轴为对称轴将序列对称轴将序列x(n)加以翻褶加以翻褶3:439（3）和）和 同序列号同序列号n的序列值的序列值逐项对应相加逐项对应相加12()()()x nx nx n3:4310（4）积）积同序号同序号n的序列值的序列值逐项对应相乘逐项对应相乘12()()()x nx nx n3:4311（5）累加）累加()()nky nx k3:4312（6）差分）差分前向差分：前向差分：后向差分：后向差分：()(1)()x nx nx n()()(1)x nx nx n()(1)x nx n()(1)x nx n 3:4313（7）时间尺度变换）时间尺度变换(抽取与零值插入抽取与零值插入)()()()()at nTat mnTx nx tx mnx t()x mn抽取抽取：m为正整数为正整数在在x(n)的每连续的每连续m个抽样值个抽样值中取出一个组成的新序列。中取出一个组成的新序列。抽样间隔由抽样间隔由T变为变为mT。3:4314零值插入零值插入(插值插值)()nxm 将将x(n)扩展，把原序列的两个相邻抽样值之间扩展，把原序列的两个相邻抽样值之间插入插入m-1个零。称为序列的零值插入。抽样频率由个零。称为序列的零值插入。抽样频率由fs变为变为m fs 。m为整数为整数3:4315（8）卷）卷积和积和设两序列设两序列x(n)、h(n)，则其卷积和定义为：，则其卷积和定义为：()()()()()my nx m h nmx nh nn ()()()()()x nx mh nh mhm1）翻褶：）翻褶：()()hmh nm2）移位：）移位：()()x mh nmm 3）相乘：）相乘：()()mx m h nm4）相加：）相加：3:4316举例说明卷积过程举例说明卷积过程 n-2,y(n)=03:4317n=-1n=0n=1y(-1)=8y(0)=6+4=10y(1)=4+3+6=133:4318n=5n=6n=7y(5)=-1+1=0y(6)=0.5y(n)=0,n73:43193:4320 卷积和与两序列的前后次序无关卷积和与两序列的前后次序无关()()()()()my nx nh nx m h nm()()n kx nk h k nmkmnk令 则()()()()kh k x nkh nx n3:43212、几种典型序列、几种典型序列（1）单位抽样序列（单位冲激序列）单位抽样序列（单位冲激序列）10()00nnn3:4322（2）单位阶跃序列）单位阶跃序列10()00nu nn()()(1)nu nu n0()()()(1)(2).mu nnmnnn()nkk与单位抽样序列的关系与单位抽样序列的关系3:4323（3）矩形序列）矩形序列101()0nNnNRn其它()()()NRnu nu nN10()()()(1).(1)NNmRnnmnnnN 与其他序列的关系与其他序列的关系3:4324（4）实指数序列）实指数序列 ()()nx na u n当当|a|1时，时，序列是发散的序列是发散的a为实数为实数3:4325（5）复指数序列）复指数序列00()()jnjnnx neee00cos()sin()nnenjen0为数字域频率为数字域频率jnn3x(n)=0.9 e例：例：3:4326（6）正弦序列）正弦序列0()sin()x nAn()()sin()at nTx nx tAnT0/sTf 0：数字域频率：模拟域频率T：采样周期sf：采样频率()sin()ax tAt 模拟正弦信号：模拟正弦信号：数字域频率是模拟域频率对采样频率的归一化数字域频率是模拟域频率对采样频率的归一化3:4327（7）任意序列）任意序列()()()()()mx nx mnmx nn()2(1)()x nnn1.5(1)(2)nn0.5(3)n例：例：x(n)可以表示成单位取样序列的移位加权和，可以表示成单位取样序列的移位加权和，也可表示成与单位取样序列的卷积和。也可表示成与单位取样序列的卷积和。3:43283、序列的周期性、序列的周期性若对所有若对所有n存在一个最小的正整数存在一个最小的正整数N，满足，满足()()x nx nNn 则称序列则称序列x(n)是周期性序列，周期为是周期性序列，周期为N。例：例：()sin()sin(8)44x nnn因此，因此，x(n)是周期为是周期为8的周期序列的周期序列3:4329讨论一般正弦序列的周期性讨论一般正弦序列的周期性0()sin()x nAn()()()x nNx nx nN要使，即为周期为 的周期序列000()sin()sin()x nNAnNAnN0022NkNkNkkN则要求，即，为整数，且 的取值保证 是最小的正整数3:4330分情况讨论分情况讨论1）当）当 为整数时为整数时2）当）当 为有理数时为有理数时3）当）当 为无理数时为无理数时020202kN023:433100221()kx n1）当为整数时，取，即是周期为的周期序列02sin()8448nN0如，该序列是周期为 的周期序列3:43320022()PPQQkQNPx nP2）当为有理数时，表示成，为互为素数的整数取，则，即是周期为 的周期序列04425sin()5525n0如，该序列是周期为 的周期序列3:433302()kNx n3）当为无理数时，取任何整数 都不能使 为正整数，不是周期序列0112sin()844n0如，该序列不是周期序列3:4334()()666()n NnNjjx nNee 解：()()()26x nx nx nNNkNk若为周期序列，则必须满足，即满足，且，为整数例：判断例：判断()6()njx ne是否是周期序列是否是周期序列12kNk而不论 取什么整数，都是一个无理数()x n不是周期序列3:4335的最大公约数与为且周期为将恒是周期的其积其和的周期为的周期为若2121212121212211),gcd(),gcd()()()()()()(NNNNNNNNN：，nxnx：nxnx：，Nnx，Nnx：17/cos)(ImRe)(16/218/12/1nenxeenx：jnjnjn例544)34,32gcd(343272)36,24gcd(362421N：N解3:4336讨论：若一个正弦信号是由连续信号抽样讨论：若一个正弦信号是由连续信号抽样得到，则抽样时间间隔得到，则抽样时间间隔T和连续正弦信号和连续正弦信号的周期的周期T0之间应是什么关系才能使所得之间应是什么关系才能使所得到的抽样序列仍然是周期序列？到的抽样序列仍然是周期序列？0()sin()x tAt00()()sin()sin()t nTx nx tAnTAn0000021/2/fTf 000022TTf TT 002TT设连续正弦信号：设连续正弦信号：抽样序列：抽样序列：当为有理数时，为有理数时，x(n)为周期序列为周期序列3:4337令：0NTkT0TNTk3()sin(2)14x nn00032142143NTkT0143()14TTx n当时，为周期为的周期序列例：例：N，k为互为素数的正整数为互为素数的正整数即N个抽样间隔应等于个抽样间隔应等于k个连续正弦信号周期个连续正弦信号周期 即：即：k个周期里采样个周期里采样N个点个点3:43384、序列的能量、序列的能量序列的能量为序列各抽样值的平方和序列的能量为序列各抽样值的平方和2()nEx n 返回到本章返回到本章3:43391.2 线性移不变系统线性移不变系统 一个离散时间系统是将输入序列变换成一个离散时间系统是将输入序列变换成输出序列的一种运算，输出序列的一种运算，离散时间系统离散时间系统T x(n)y(n)()()y nT x n T 记为：返回到本章返回到本章3:43401、线性系统若系统若系统满足叠加原理：满足叠加原理：或同时满足：或同时满足：可加性：可加性：比例性比例性/齐次性：齐次性：其中：其中：则此系统为则此系统为线性系统线性系统。1 1221122()()()()T a x na x na y na y n1212()()()()T x nx ny ny n11()()T ax nay n12,a a a为常数11()()y nT x n22()()y nT x n T 3:43411112()()()sin()97y nT x nx nn解：设2222()()()sin()97y nT x nx nn12122()()()()sin()97T x nx nx nx nn1222()sin()()sin()9797x nnx nn112()()sin()97T ax nax nn1()ay na，为常数该系统是线性系统2()()sin()97y nx nn例：判断系统是否线性12()()y ny n满足可加性满足比例性3:4342例：证明由线性方程表示的系统例：证明由线性方程表示的系统()()y nax nb,a b为常数是非线性系统是非线性系统111()()()y nT x nax nb证：设222()()()y nT x nax nb1212()()()()T x nx na x nx nb12()()y ny n该系统是非线性系统12()()ax nax nb不满足可加性3:43432、移不变系统、移不变系统 若系统响应与激励加于系统的时刻无若系统响应与激励加于系统的时刻无关，则称为移不变系统（或时不变系统）关，则称为移不变系统（或时不变系统）Tx(n)()()()y nT x nmy nmm对移不变系统，若则 ，为任意整数3:43442()()sin()97T x nmx nmn解：2()()sin()97y nmx nmnm()T x nm该系统不是移不变系统例：试判断例：试判断2()()sin()97y nx nn是否是移不变系统是否是移不变系统3:4345 同时具有线性和移不变性的离散时间系统同时具有线性和移不变性的离散时间系统称为线性移不变系统称为线性移不变系统LSI：Linear Shift Invariant 3:43463、单位抽样响应和卷积和、单位抽样响应和卷积和 单位抽样响应单位抽样响应h(n)是指输入为单位抽是指输入为单位抽样序列样序列 时的系统输出：时的系统输出：()n()()h nTnT ()n()h n3:4347对对LSI系统，讨论对任意输入的系统输出系统，讨论对任意输入的系统输出T x(n)y(n)()()()mx nx mnm任意输入序列：()()()()my nT x nTx mnm系统输出：()()mx m Tnm，线性性()()()()h nTnh nmTnm()()iiiiiiTa x naT x n()()mx m h nm，移不变性()()x nh n3:4348 一个一个LSI系统可以用单位抽样响应系统可以用单位抽样响应h(n)来表征，系统输出等于输入序列和该单位来表征，系统输出等于输入序列和该单位抽样响应抽样响应h(n)的卷积和。的卷积和。LSIh(n)x(n)y(n)()()()y nx nh n3:4349()()*()y nx nh n解：()()mx m h nm()()01nh na u na()()()x nu nu nNLSI例：某系统，其单位抽样响应为：输入序列为：求系统输出。3:43500nN当时0()()()1nn mmmy nx m h nma(1)1011nnnmnmaaaaa0()0ny n当时3:4351nN当时()()()my nx m h nm11001NNn mnmmmaaa111Nnaaa(1)11001()0111nnNnnay nanNaaanNa解析法：解析法：3:435220:)(201010)()()()()(10:)(10:)(MNnnyMNnMmnNmmnhmxnhnxnyMnnhNnnxm3:4353思考思考:当当x(n)的非零区间为的非零区间为N1,N2，h(n)的的非零区间为非零区间为M1,M2时，求解系统的输出时，求解系统的输出y(n)又如何分段？又如何分段？结论：结论：若有限长序列若有限长序列x(n)的长度为的长度为N，h(n)的的长度为长度为M，则其卷积和的长度，则其卷积和的长度L为：为：L=N+M-13:43544、LSI系统的性质系统的性质交换律交换律h(n)x(n)y(n)x(n)h(n)y(n)()()()()()y nx nh nh nx n3:4355结合律结合律h1(n)x(n)h2(n)y(n)h2(n)x(n)h1(n)y(n)h1(n)*h2(n)x(n)y(n)1221()*()*()()*()*()x nh nh nx nh nh n12()()*()h nh nh n()()*()y nx nh n3:4356分配律分配律1212()*()()()*()()*()x nh nh nx nh nx nh nh1(n)+h2(n)x(n)y(n)h1(n)x(n)y(n)h2(n)3:43575、因果系统、因果系统 若系统若系统 n时刻的输出，只取决于时刻的输出，只取决于n时时刻以及刻以及n时刻以前的输入序列，而与时刻以前的输入序列，而与n时时刻以后的输入无关，则称该系统为因果刻以后的输入无关，则称该系统为因果系统。系统。()00h nnLSI系统是因果系统的充要条件：系统是因果系统的充要条件：3:43586、稳定系统、稳定系统稳定系统是有界输入产生有界输出的系统稳定系统是有界输入产生有界输出的系统若若()x nM()nh nP LSI系统是稳定系统的充要条件：系统是稳定系统的充要条件：()y nP 则则BIBO3:43590()0nh n解：讨论因果性：时 该系统是非因果系统讨论稳定性：00()nnnnnh naa11111aaa11aa当时系统稳定，当时系统不稳定例：某例：某LSI系统，其单位抽样响应为系统，其单位抽样响应为()()nh na un试讨论其是否是因果的、稳定的。试讨论其是否是因果的、稳定的。3:4360结论：结论：因果稳定的因果稳定的LSI系统的充要条件：系统的充要条件：单位抽样响应是因果的，且是绝对可和的，单位抽样响应是因果的，且是绝对可和的，即：即：()()()nh nh n u nh n 返回到本章返回到本章3:43611.3 常系数线性差分方程常系数线性差分方程 用差分方程来描述时域离散用差分方程来描述时域离散LSI系系统的输入输出关系。统的输入输出关系。一个一个N阶常系数线性差分方程表示为：阶常系数线性差分方程表示为：00()()NMkmkma y nkb x nm01kmaab，是常数其中：其中：返回到本章返回到本章3:4362求解常系数线性差分方程的方法：求解常系数线性差分方程的方法：1）经典解法）经典解法2）递推解法）递推解法3）变换域方法）变换域方法3:4363 一些关于差分方程的结论：一些关于差分方程的结论：一个差分方程不能唯一确定一个系统一个差分方程不能唯一确定一个系统常系数线性差分方程描述的系统不一定常系数线性差分方程描述的系统不一定是线性移不变的是线性移不变的不一定是因果的不一定是因果的不一定是稳定的不一定是稳定的3:4364差分方程差分方程 系统结构系统结构Z-1ax(n)y(n)()(1)()y nay nx n返回到本章返回到本章3:43651.4 连续时间信号的抽样连续时间信号的抽样()()aax tx t()()()aaTx tx tpt0()()()aaTx tx tt当返回到本章返回到本章3:4366 讨论：讨论：采样前后信号频谱的变化采样前后信号频谱的变化什么条件下，可以从采样信号不失真地什么条件下，可以从采样信号不失真地恢复出原信号恢复出原信号3:43671、理想抽样、理想抽样 冲激函数：冲激函数：()()()()()aaTamx tx ttx mTtmT0()aXj求理想抽样的频谱()()TmttmT理想抽样输出：理想抽样输出：3:43682()()()TTskjDTFTtkT 1()()2aTXjjjd1()()()*()2aaaTXjDTFT x tXjj 12()()2askXjkdT 1()()askXjkdT 1()askXjjkT()()TmttmT3:4369抽样信号的频谱是模拟信号频谱以抽样抽样信号的频谱是模拟信号频谱以抽样频率为周期进行周期延拓而成频率为周期进行周期延拓而成频谱幅度是原信号频谱幅度的频谱幅度是原信号频谱幅度的1/T倍倍若信号的最高频率若信号的最高频率 22shs，为折叠频率则延拓分量产生则延拓分量产生频谱频谱混叠混叠3:4370奈奎斯特抽样定理奈奎斯特抽样定理 要想抽样后能够不失真地还原要想抽样后能够不失真地还原出原信号，则抽样频率必须大于两出原信号，则抽样频率必须大于两倍信号谱的最高频率，即倍信号谱的最高频率，即 22shshff 即 为了避免混叠为了避免混叠,一般在抽样器一般在抽样器前加入一个保护性的前置滤波器称前加入一个保护性的前置滤波器称防混叠滤波器。防混叠滤波器。3:43712、抽样的恢复、抽样的恢复利用低通滤波器还原满足奈奎斯特抽样定利用低通滤波器还原满足奈奎斯特抽样定理的抽样信号。理的抽样信号。2()02ssTH j s s/2-s s/2T 0H(j)Hj()aXj()aYj理想低通滤波器理想低通滤波器:()()()()aaaYjXjH jXj 3:4372()()aax tx t()()()()aaay tx txh tdsin()()()()()aammtmTTx mT h tmTx mTtmTT()()()amxmT h td ()()()amxh tmT d 输出：输出：讨论：从时域上恢复讨论：从时域上恢复1()()2j th tH jedsin()sin()222sssj tsttTTedttT 13:4373()()aax mTx t信号的抽样值经内插函数得到连续信号sin()()()tmTTh tmTtmTT内插函数：只要抽样频率高于两倍信号最高频率，则整个连续信号就可完全用它的抽样值来代表，而不会丢掉任何信息。这就是奈奎斯特抽样定理的意义。3:43743、实际抽样、实际抽样抽样脉冲不是冲激函数，而是一定宽度抽样脉冲不是冲激函数，而是一定宽度的矩形周期脉冲的矩形周期脉冲()sjktTkkptC e()()akaskXjC Xjjk 其中系数其中系数Ck随随k变化变化抽样信号频谱抽样信号频谱3:4375抽样信号的频谱是连续信号频谱的周期延拓，抽样信号的频谱是连续信号频谱的周期延拓，周期为周期为s若满足奈奎斯特抽样定理，则不产生频谱混叠若满足奈奎斯特抽样定理，则不产生频谱混叠失真失真抽样后频谱幅度随着频率的增加而下降抽样后频谱幅度随着频率的增加而下降幅度变化并不影响信号恢复，只要取幅度变化并不影响信号恢复，只要取0()()aaXjC Xj 2s 0CT3:437600()sin(2)5081()2200()3()()()aasaax tf tfHzx tfHzx tx tx nx n例：模拟信号，其中）求的周期，采样频率应为多少？采样间隔应为多少？）若选采样频率，采样间隔为多少？写出采样信号的表达式；）画出对应的时域离散信号的波形，并求出的周期。3:4377解：解：050fHz1）由，得00()1/0.02ax tTfs的周期为：02100sffHz采样频率应：1/0.01sTfs采样间隔应为：2200sfHz）选1/0.005sTfs则采样间隔为：00()sin(2/8)sin(2/8)asx nTf nTf n f501sin(2/8)sin(/8)2002nn()()()aanx tx nTtnT1sin()()28200nnnt3:43781()()sin()28at nTx nx tn02241/2Nk4N 为最小正整数()4x nN的周期为3）)4(00TTTTkN3:43794 正弦信号的抽样正弦信号的抽样连续时间正弦信号：连续时间正弦信号：00()sin()sin(2)x tAtAf t02sff取时，()sin()x nAn0当()sin()x nAn(0)(1)0 xx/2当()sin(/2)x nAn(0)(1)xAxA 02sff对正弦信号采样，须满足返回到本章返回到本章不包含原信号的任何信息。可由x(n)重建x(t)当未知时，则得不到 x(t)