从圆心角和圆周角的关系构造辅助圆

从圆心角和圆周角的关系构造辅助圆通过圆的相关知识，我们可以得到以下结论：如果一个三角形有一个边长为固定 值，且该边长的对角也为定值或其定值的补角，那么符合条件的三角形的外接圆是同 一个圆。（如图）利用这一结论，我们可以解决一些与固定角度有关的问题。【例1】如图，正方形ABCD的中心为点O,面积为1989，点P为正方形内一点，满 足Z OPB=45，PA : PB=5 : 14，求 PB 的长。【解析】因为Z OPB=45，即Z OPB为以OB为弦的圆的圆周角，故OB所对的圆心 角为90，又点O为正方形的中心，所以该圆的圆心为 AB的中点M，如图，以M为圆心，MB为半径作圆，则点P必定在0 M上。 AB为直径，所以Z APB=90，设 AP=5x，贝y PB=14x，故 AB2=221x2=1989，解得 x=3，所以 PB=42.【例2】如图，在平面直角坐标系中，A （-4, 0） , B （6, 0），在y轴上是否存在点P，使得Z APB=45 ?若存在，求出P的坐标；若不存在，说明理由。【解析】P （0，12）。因为Z APB=45，Z APB是以AB为弦的圆的圆周角，故 AB所对的圆心角为90， 该圆的圆心 M在AB的垂直平分线上，且 MAB为等腰直角三角形，M （1，5）（如图）。当M在第一象限时，过 M作MN丄y轴于点N, 贝9 MN=1，N （0，5），MP=MA=52， PN2= （52 ） 2-1=49，PN=7，故 P （0，12）；同理，当M在第四象限时，P （0，-12 ）。【例3】已知抛物线y=x2-2x-3与x轴交于点A、B，在直线y=2x+1上是否存在【解析】易知A （-1，0），B （3，0）,AB=4 ；Z APB=45 ,Z APB是以AB为弦的圆的圆周角，故 AB所对的圆心角为90, 该圆的圆心M在AB的垂直平分线上，且Z AMB=90 ；点P在优弧AB上。故厶MAB为等腰直角三角形，由图可知圆心M有两个：（1,2） , （1, -2）（如图）。（1）当M为（1，2）时，MA=2x4*2=2丿2点P为0M与直线y=2x+1的交点，故 设 P （p，2p+1 ），贝9 MP2=MA2=8，即:（p-1） 2+（2p+1-2）2 =8，解得:,弋們迸.跑弼瑚舗障工佯至宀寻舍云负数：产字，.P（朗(2)当 M 为(1, -2)时，MP2=MA2=8，即：(p-1) 2+(2p+1+2)2 =8，解得:综上所述，符合条件的点P有两个，坐标分别为: 宁呼 F （寻至寻严）刚血等游工注【例4】如图，在扇形 AOB中，Z AOB=90，OA=6，点P为弧AB上任意一点（不 与点A、B重合），PQ丄OB于点Q,点I OPQ的内心，过O, I, B三点的圆的 半径为R，则当P在弧AB上运动时，R的取值范围是怎样的？【解析】如图，连接IO、IP、IB。则厶 OIP OIB , Z OIB = Z OIP=180 (ZQOP + ZQPO) =135 ,故P在运动时，Z OIB的角度不变，始终为135。,设OIB外心为 M,连接 MO、MB，则Z OMB=90。,.RyOB-3V2. 胡詢腭癡手工悸昼