电磁感应中的微分问题

0电磁感应中的微分问题高中物理选修3-2，法拉第电磁感应定律，有关回路中的感应电动势和电流的计算，难倒了不少学生，尤其是回路中既有感生电动势，又有动生电动势的情况，很多同学难以弄清回路中的感应电动势到底是多少。本文就这类问题的一般处理方法做个简单总结。设回路中磁场强度为B,有效面积为S,则回路中的磁通量=BS若t1时刻磁通量尬勺,t2时刻磁通量尬2，则在=t=t2-t1时间内，磁通量的变化量为-2八宀，磁通量的变化率为，那么回路中的感应电动势计算可分下面三种情：t况。一、如果回路中，只有磁场在变化，而回路的有效面积不变，那么回路中的电动势是感生电动势，其计算表达式为BE=n=nSLt-t二、如果回路中，只有有效面积变化，而磁场不变，那么回路中的电动势是动生电动势，其计算表达式为L；-LSE=nnB-AtAt特别地，当导体棒平动垂直切割磁感线时，动生电动势E=Blvsinr，其中9为导体棒的速度v与棒的夹角。若9=90,则E=Blv三、如果回路中，磁场变化，有效面积也变化，那么回路中就有两种电动势，在t时刻若回路有效面积为S,磁场变化率大小为则感生电动势Ei若磁场强度为B,回路有效面积变化率大小为E2=nBASAt则t时刻，回路中的总电动势大小为E=巳_E2。若设li为感生电动势Ei产生电流，丨2为动生电动势E2产生的电流，则当丨1和丨2的方向相同时，取“+”号，当反之，则当li和丨2的方向相反时，取“”号。下面通过一个例题来分析回路中感生电动势和动生电动势共存的情况，来说明如何分析和解决这类问题。例题1：如图1所示，两根平行金属导轨固定在水平桌面上，每根导轨每米的电阻为r0,导轨的P、Q端用电阻可以忽略的导线连接，两导轨间距l，有随时间变化的匀强磁场垂直于桌面，已知磁感应强度B与时间t的关系为B二kt，其中k0。一电阻不计的金属杆可在导轨上无摩擦的滑动，在滑动的过程中保持与导轨垂直，在t=0时刻，导轨紧靠在P、Q端，在外力的作用下，杆以恒定的加速度从静止开始向导轨的另一端滑动。求：t时刻金属杆所受的安培力。解析：设金属杆的加速度为a,则t时刻，金属杆的速度v=at,磁场强度为B=kt,12回路面积为Salt2,2回路中的总电阻R二r0at2于是t时刻，回路中的感生电动势E,=nBsrkalt2112回路中的动生电动势E2二Blv二kalt2通过楞次定律可以判断，E!和E2产生的电流方向都为逆时针,3故t时刻，回路中的总电动势E=巳E2kalt22则感应电流为1=E3klR2ro，3k2l2金属杆所受的安培力为F安二BIlt。2ro从这个题目解析过程，可以看出，下面几点是我们需理解的：无论是感生电动势，还是动生电动势都是瞬时电动势，所以我们要找好0时刻和t时刻两种状态；找出t时刻回路有效面积S和磁场强度B的表达式，进而求出t时刻两种电动势的大小；判断两种电动势产生的电流是同向还是逆向，确定他们是如何叠加的。其实法拉第电磁感应定律定义式E=n，其形式是比值定义法，实质是用数学中变At量的变化率问题，其中为回路中磁通量的变化率。考虑到这一点，结合高中数学中有At关求导的概念、方法和法则，我们完全可以将此定义转化为严格的数学定义。E=n=n&，（或E=的）dB当回路有效面积恒定，磁场变化时，回路中的感应电动势E二nS（或dtE=nBtS）；当磁场不变，回路有效面积变化时，回路中的感应电动势E=nB英（E=nBSt）；dt当磁场和回路有效面积，都有变化时，回路中的感应电动势e=n(S-B虫)(或dtdtE=n(BtSBSt)S不变时，St=O，当磁其实两种情况，都是的特例，因为当回路的有效面积场强度B不变时，Bt=O。可见，如果我们从数学的角度来分析有关感应电动势的问题，那么相关问题就有了统一的解决方法。还以上面的例题1来分析。(这里只讨论回路总电动势的求法)解析：设金属杆的加速度为a,则t时刻，金属杆的速度v=at，磁场强度为B二kt，12回路面积为Salt2，2回路中的总电阻R二r0at2于是t时刻，回路中的磁通量门=BS=丄kalt3232则t时刻，回路中电动势E=n:：jtkalt。2有上面的解析可以看出，用求导的方法，要简单得多。用这种方法的关键是：找好0时刻和t时刻两种状态；找出t时刻回路有效面积S和磁场强度B的表达式，即S二S(t)，B=B(t)，进而求出t时刻回路磁通量的表达式，即门-门二B(t)S(t)；通过求导，求出E=n:。这中方法的好处是，不必考虑两电动势的极性，就可求出总电动势。下面再举一例，看看这种方法应用时的一般步骤。例题2:如图2所示，足够长的光滑折线金属导轨PQK水平放置在桌面上，折线内有垂直桌面向下的匀强磁场，磁感应强度为Bo，一足够长的金属导体棒，开始时放置在折线导轨Q端。现以恒定速度v,向PK端滑动，运动过程中始终与QK保持垂直，金属棒每米的电阻为ro，其余电阻不计。以上各量均取国际单位制中的单位，求：(1) t时刻导体棒所受的安培力。若从金属棒开始时，磁场强度B就随时间均匀减小，满足关系B=Bo-kt，其中k0。贝Ut时刻回路中的电流。解析：(1)t时刻，金属棒的位移为x=vt,金属棒切割磁感线的有效长度I=xtanr-回路的有效面积S=xl=v2tanTt222回路中的磁通量/-B0SB0v2tanrt22回路中的感应电动势E-：t=B0v2tant回路中的电阻R=lr0=r0vtanrt所以回路中的电流|=豎，方向为逆时针。所以，t时刻导体棒所受的安培力F二B0II22Bvtantr。方向与v相反。Rr。（2）t时刻，金属棒的位移为X=vt，金属棒切割磁感线的有效长度I二xtanr11回路的有效面积Sxlv2tanTt222磁场强度B二B0-kt回路中的磁通量G=B-Bqv2tant2-丄B0kv2tant322回路中的感应电动势E-JtBv2tanrt-彳B0kv2tant22回路中的电阻R=lr0=r0vtanrt2所以回路中的电流E_2B。v-3Bkv*tR2r。当tv绝时，电流的方向为逆时针;3k当t0时，回路无电流;3k 当t绝时，电流的方向为顺时针。3k从上面的分析可以看出，如果我们采用数学的方法，解决问题的思路就大大简化了，解题过程也简洁了。在高三复习时，我将这种方法介绍给了学生，希望有能力的学生多掌握-种解题方法，能力有限的学生也知道有这么一种方法，提高他们将数学应用到物理中的意识。