中考数学 第3章 函数及其图象 二次函数的图象和性质复习课件.ppt

第三章 函数及其图象 二次函数的图象和性质 1 二次函数概念： 形如 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 的函数叫做二次函 数 ， 利 用 配 方 ， 可 以 把 二 次 函 数 y ax 2 bx c 表示成 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ y ax2 bx c(其中 a， b， c是常数 ， 且 a0) y a (x b2a ) 2 4ac b 2 4a 2 二次函数的图象和性质： 二次函数 y ax 2 bx c( 其中 a ， b ， c 是常数 ， 且 a 0) 的图象是抛物线 (1 ) 当 a 0 时 ， 抛物线的开口 _ _ _ ；对称轴是 _ _ _ _ _ ；当 _ _ _ _ _ _ 时 ， y 有最 _ _ 值为 _ _ _ _ ；在对称轴左 边 ( 即 x b 2a ) 时 ， y 随 x 的增大而 _ _ _ _ 在对称轴右边 ( 即 _ _ _ _) 时 ， y 随 x 的增大而 _ _ _ _ ；顶点 _ _ _ _ _ _ 是抛物线 上位置最 _ 的点； 向上 直线 x b2a x b2a 小 4ac b2 4a 减小 x b2a 增大 ( b2a ， 4ac b 24a ) 低 (2) 当 a 0 时 ， 抛物线的开口 _ _ _ ；对称轴是 _ _ _ _ _ ；当 _ _ _ _ _ _ _ 时 ， y 有最 _ _ 值为 _ _ _ _ _ ；在对称轴左边 ( 即 _ _ _ _ _) 时 ， y 随 x 的增大而 _ _ _ _ 在对称轴右边 ( 即 _ _ _ _ _ _ _ _) 时 ， y 随 x 的增大而 _ _ _ _ _ _ ；顶点 _ _ _ _ _ _ _ _ _ 是抛物 线上位置最 _ _ _ 的点 向下 直线 x b2a x b2a 大 4ac b2 4a x b2a 增大 x b 2a 减小 ( b2a ， 4ac b 24a ) 高 3 二次函数系数 a， b， c的关系： (1)|a|越大 ， 抛物线开口越 _， |a|越小 ， 抛物线开口越 _； (2)b 0， 对称轴为 y轴； a， b同号 ， 对称轴在 y轴 _； a， b异 号 ， 对称轴在 y轴 _； (3)c 0， 抛物线过 _， c 0， 抛物线交 y轴 _， c 0 ， 抛物线交 y轴 _ 小 大 左侧 右侧 原点 正半轴 负半轴 4 二次函数的平移： (1)二次函数的平移即为二次函数的顶点坐标的平移 ， 所以解决这类问题 先把二次函数化为顶点式 ， 由顶点坐标的平移确定函数的平移 (2)平移规律：将抛物线 y a(x h)2 k向左移 m个单位得 _；向右平移 m个单位得 _；向上平移 m个单位得 _ ；向下平移 m个单位得 _简记为 “ h 左加右减 ， k上加下减 ” y a(x h m)2 k y a(x h m)2 k y a(x h)2 k m y a(x h)2 k m 二次函数的三种解析式 (1) 一般式 y ax 2 bx c (a ， b ， c 是常数， a 0) ； (2) 交点式 y a(x x 1 )(x x 2 )(a ， x 1 ， x 2 是常数， a 0) ； (3) 顶点式 y a(x h) 2 k(a ， h ， k 是常数， a 0) (4) 三种解析式之间的关系： 顶点式 配方 一般式 因式分解 交点式 (5) 解析式的求法： 确定二次函数的解析式，一般用待定系数法，由于二次函数解析式有三个待 定系数 a ， b ， c( 或 a ， h ， k 或 a ， x 1 ， x 2 ) ，因而确定二次函数解析式需要已 知三个独立的条件： 已知抛物线上任意三个点的坐标时，选用一般式比较方便 已知抛物线的顶点坐标时，选用顶点式比较方便 已知抛物线与 x 轴两个交点的坐标 ( 或横坐标 x 1 ， x 2 ) 时，选用交点式比较 方便 抛物线的顶点常见的三种变动方式 (1)两抛物 线 关于 x轴对 称 ， 此 时顶 点关于 x轴对 称 ， a的符号相反； (2)两抛物 线 关于 y轴对 称 ， 此 时顶 点关于 y轴对 称 ， a的符号不 变 ； (3)开口反向 (或旋 转 180 )，此时顶点坐标不变，只是 a的符号相反 二次函数与二次方程间的关系 已知二次函数 y ax2 bx c的函数值为 k，求自变量 x的值，就是解一元 二次方程 ax2 bx c k；反过来，解一元二次方程 ax2 bx c k，就是 把二次函数 y ax2 bx c k的函数值看作 0，求自变量 x的值 二次函数与二次不等式间的关系 “一元二次不等式”实际上是指二次函数的函数值“ y 0， y 0或 y0， y0”，从图象上看是指抛物线在 x轴上方或 x轴下方的情况 命题点：二次函数的图象与性质 (2011山西 )已知 ， 二次函数 y ax2 bx c的图象如图所示 ， 对称 轴为直线 x 1， 则下列结论正确的是 ( ) A ac 0 B 方程 ax2 bx c 0的两根是 x1 1， x2 3 C 2a b 0 D 当 x 0时 ， y随 x的增大而减小 B 待定系数法确定二次函数的解析式 【 例 1】 (2015黑龙江 )如图 ， 抛物线 y x2 bx c交 x轴于点 A(1， 0)， 交 y轴于点 B， 对称轴是 x 2. (1)求抛物线的解析式； (2)点 P是抛物线对称轴上的一个动点 ， 是否存在点 P， 使 PAB的周长最 小？若存在 ， 求出点 P的坐标；若不存在 ， 请说明理由 解： (1) 由题意得 ， 1 b c 0 ， b 2 2 ， 解得 b 4 ， c 3 ， 抛物线的解析式 为 y x 2 4x 3 ( 2 ) 点 A 与点 C 关于 x 2 对称 ， 连接 BC 与 x 2 交于 点 P ， 则点 P 即为所求 ， 根据抛物线的对称性可知 ， 点 C 的坐标为 ( 3 ， 0 ) ， y x 2 4x 3 与 y 轴的交点为 ( 0 ， 3 ) ， 设直线 BC 的解析式为： y kx b ， 3k b 0 ， b 3 ， 解得 ， k 1 ， b 3 ， 直线 BC 的解析式为： y x 3 ， 则直 线 BC 与 x 2 的交点坐标为： ( 2 ， 1 ) 点 P 的交点坐标为： ( 2 ， 1 ) 【 点评 】 根据不同条件 ， 选择 不同 设 法 (1)若已知 图 象上的三个点 ， 则设 所求的二次函数 为 一般式 y ax2 bx c(a0)， 将已知条件代入 ， 列方程 组 ， 求出 a， b， c的 值 ； (2)若已知 图 象的 顶 点坐 标 或 对 称 轴 ， 函数最 值 ， 则设 所求二次函数 为顶 点式 y a(x m)2 k(a0)， 将已 知条件代入 ， 求出待定系数； (3)若已知抛物 线 与 x轴 的交点 ， 则设 抛 物 线 的解析式 为 交点式 y a(x x1)(x x2)(a0)， 再将另一条件代入 ， 可求出 a值 对应训练 1 (1) ( 201 4 杭州 ) 设抛物线 y ax 2 bx c( a 0) 过 A(0 ， 2 ) ， B (4 ， 3 ) ， C 三点 ， 其中点 C 在直线 x 2 上 ， 且点 C 到抛物线的对称轴的距离等于 1 ， 则抛物线的函数解析式为 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ y 1 8 x 2 1 4 x 2 或 y 1 8 x 2 3 4 x 2 (2) ( 2015 无锡 ) 一次函数 y 3 4 x 的图象如图所示 ， 它与二次函数 y ax 2 4ax c 的图象交于 A ， B 两点 ( 其中点 A 在点 B 的左侧 ) ， 与这个二次函 数图象的对称轴交于点 C. 求点 C 的坐标； 设二次函数图象的顶点为 D . 若点 D 与点 C 关于 x 轴对称 ， 且 AC D 的面积等于 3 ， 求此二次函数的 关系式 解： y ax 2 4a x c a(x 2) 2 4a c ， 二次函数图象的对称轴为 直线 x 2 ， 当 x 2 时 ， y 3 4 x 3 2 ， 故点 C(2 ， 3 2 ) 点 D 与 点 C 关于 x 轴对称 ， D (2 ， 3 2 ) ， CD 3 ， 设 A (m ， 3 4 m )( m 2) ， 由 S ACD 3 得： 1 2 3 (2 m) 3 ， 解得 m 0 ， A (0 ， 0 ) 由 A(0 ， 0 ) ， D (2 ， 3 2 ) 得： c 0 ， 4a c 3 2 ， 解得： a 3 8 ， c 0. y 3 8 x 2 3 2 x 利用二次函数的图象与性质解题 【例 2 】 ( 1 ) ( 2015 枣庄 ) 如图是二次函数 y ax 2 bx c ( a 0 ) 图象的一 部分 ， 对称轴为 x 1 2 ， 且经过点 ( 2 ， 0 ) ， 有下列说法： abc 0 ； a b 0 ； 4a 2b c 0 ； 若 ( 0 ， y 1 ) ， ( 1 ， y 2 ) 是抛物 线 上的两点 ， 则 y 1 y 2 . 上述说法正确的是 ( ) A B C D A (2) ( 201 5 黔东南 ) 如图 ， 已知二次函数 y 1 x 2 13 4 x c 的图象与 x 轴的 一个交点为 A (4 ， 0 ) ， 与 y 轴的交点为 B ， 过 A ， B 的直线为 y 2 kx b. 求二次函数 y 1 的解析式及点 B 的坐标； 由图象写出满足 y 1 y 2 的自变量 x 的取值范围； 在两坐标轴上是否存在点 P ， 使得 ABP 是以 AB 为底边的等腰三角 形？若存在 ， 求出 P 的坐标；若不存在 ， 说明理由 解： 将 A 点坐标代入 y 1 ， 得 16 13 c 0. 解得 c 3 ， 二次函数 y 1 的解析式为 y x 2 13 4 x 3 ， B 点坐标为 ( 0 ， 3 ) 由图象得直线在抛 物线上方的部分 ， 是 x 0 或 x 4 ， x 0 或 x 4 时 ， y 1 y 2 直线 AB 的解析式为 y 3 4 x 3 ， AB 的中点为 ( 2 ， 3 2 ) ， AB 的垂直平分线为 y 4 3 x 7 6 ， 当 x 0 时 ， y 7 6 ， P 1 ( 0 ， 7 6 ) ， 当 y 0 时 ， x 7 8 ， P 2 ( 7 8 ， 0 ) ， 综上所述： P 1 ( 0 ， 7 6 ) ， P 2 ( 7 8 ， 0 ) ， 使得 ABP 是以 AB 为底边的等腰三 角形 【 点评 】 (1) 对 于二次函数 y ax2 bx c(a0)， 二次 项 系数 a决定抛物 线 的开口方向和大小：当 a 0时 ， 抛物 线 开口向上；当 a 0时 ， 抛物 线 开口向下；一次 项 系数 b和二次 项 系数 a共同决定 对 称 轴 的位置：当 a与 b 同号 时 (即 ab 0)， 对 称 轴 在 y轴 左； 当 a与 b异号 时 (即 ab 0)， 对 称 轴 在 y轴 右 (简 称： 左同右异 )；常数 项 c决定抛物 线 与 y轴 交点：抛物 线 与 y 轴 交于 (0， c)；抛物 线 与 x轴 交点个数由 决定： b2 4ac 0时 ， 抛物 线 与 x轴 有两个交点； b2 4ac 0时 ， 抛物 线 与 x轴 有一个交点； b2 4ac 0时 ， 抛物 线 与 x轴 没有交点 (2) 利用 线 段垂直平分 线 的性 质 ， 利用直 线 AB得出 AB的垂直平分 线 的解析式是解 题 关 键 对应训练 2 ( 1) ( 2015 孝感 ) 如图 ， 二次函 数 y ax 2 bx c (a 0) 的图象与 x 轴交于 A ， B 两点 ， 与 y 轴交于点 C ， 且 OA O C . 则下列结论： abc 0 ； b 2 4a c 4a 0 ； ac b 1 0 ； O A OB c a . 其中正确结论的个数是 ( ) A 4 B 3 C 2 D 1 B (2)(2015泰州 )已知二次函数 y x2 mx n的图象经过点 P( 3， 1)， 对 称轴是经过 ( 1， 0)且平行于 y轴的直线 求 m， n的值； 如图 ， 一次函数 y kx b的图象经过点 P， 与 x轴相交于点 A， 与二次 函数的图象相交于另一点 B， 点 B在点 P的右侧 ， PA： PB 1： 5， 求一 次函数的表达式 解： 对称轴是经过 ( 1 ， 0 ) 且平行于 y 轴的直线 ， m 2 1 1 ， m 2 ， 二次函数 y x 2 mx n 的图象经过点 P( 3 ， 1 ) ， 9 3m n 1 ， 得出 n 3m 8. n 3m 8 2 m 2 ， n 2 ， 二次函数 为 y x 2 2x 2 ， 作 PC x 轴于 C ， BD x 轴于 D ， 则 PC BD ， PC BD PA AB ， P ( 3 ， 1 ) ， PC 1 ， PA ： PB 1 ： 5 ， 1 BD 1 6 ， BD 6 ， B 的纵坐标为 6 ， 代入二次函数为 y x 2 2x 2 得 ， 6 x 2 2x 2 ， 解 得 x 1 2 ， x 2 4( 舍去 ) ， B (2 ， 6 ) ， 3k b 1 ， 2k b 6 ， 解得 k 1 ， b 4 ， 一 次函数的表达式为 y x 4 结合几何图形的函数综合题 【 例 3】 (2015深圳 )如图 ， 关于 x的二次函数 y x2 bx c经过点 A( 3， 0)， 点 C(0， 3)， 点 D为二次函数的顶点 ， DE为二次函数的对称 轴 ， E在 x轴上 (1)求抛物线的解析式； (2)DE上是否存在点 P到 AD的距离与到 x轴的距离相等？若存在求出点 P ， 若不存在请说明理由 解： ( 1) 二次函数 y x 2 bx c 经过点 A( 3 ， 0 ) ， 点 C (0 ， 3 ) ， c 3 ， 9 3b c 0 ， 解得 b 2 ， c 3 ， 抛物线的解析式 y x 2 2x 3 ( 2 ) 存在 ， 当 P 在 D AB 的平分线上时 ， 如图 ， 作 PM AD ， 设 P ( 1 ， m ) ， 则 PM PD sin ADE 5 5 ( 4 m ) ， PE m ， PM PE ， 5 5 ( 4 m ) m ， m 5 1 ， P 点坐标为 ( 1 ， 5 1 ) ；当 P 在 D AB 的外角 平分线上时 ， 如图 ， 作 PN AD ， 设 P ( 1 ， n ) ， 则 PN PD sin ADE 5 5 ( 4 n ) ， PE n ， PN PE ， 5 5 ( 4 n ) n ， n 5 1 ， P 点坐标为 ( 1 ， 5 1 ) ；综上可知存在满足条件的 P 点 ， 其坐标为 ( 1 ， 5 1 ) 或 ( 1 ， 5 1 ) 【 点评 】 本 题 主要涉及待定系数法、角平分 线 的性 质 、三角函数、 三角形面 积 等知 识 点 在 (2)中注意分点 P在 DAB的角平分 线 上和在 外角的平分 线 上两种情况 对应训练 3 ( 2015 甘南州 ) 如图 ， 在平面直角坐标系中 ， 抛物线 y 2 3 x 2 bx c ， 经过 A(0 ， 4) ， B (x 1 ， 0 ) ， C (x 2 ， 0 ) 三点 ， 且 |x 2 x 1 | 5. (1) 求 b ， c 的值； (2) 在抛物线上求一点 D ， 使得四边形 B DCE 是以 BC 为对角线的菱形； (3) 在抛物线上是否存在一点 P ， 使得四边形 BP O H 是以 OB 为对角线的菱 形？若存在 ， 求出点 P 的坐标 ， 并判断这个菱形是否为正方形？若不存在 ， 请说明理由 解： ( 1) 抛物线 y 2 3 x 2 bx c ， 经过点 A(0 ， 4) ， c 4 又 由 题意可知 ， x 1 ， x 2 是方程 2 3 x 2 bx 4 0 的两个根 ， x 1 x 2 3 2 b ， x 1 x 2 6 由已知得 (x 2 x 1 ) 2 25 又 (x 2 x 1 ) 2 (x 2 x 1 ) 2 4x 1 x 2 9 4 b 2 24 ， 9 4 b 2 24 25 ， 解得 b 14 3 ， 当 b 14 3 时 ， 抛物线与 x 轴的交点在 x 轴 的正半轴上 ， 不合题意 ， 舍去 b 14 3 (2) 四边形 BDCE 是以 BC 为对角线的菱形 ， 根据菱形的性质 ， 点 D 必在抛物线的对称轴上 ， 又 y 2 3 x 2 14 3 x 4 2 3 (x 7 2 ) 2 25 6 ， 抛物线的顶点 ( 7 2 ， 25 6 ) 即为所求 的点 D (3) 四边形 B POH 是以 OB 为对角 线的菱形 ， 点 B 的坐标为 ( 6 ， 0 ) ， 根据菱形的性质 ， 点 P 必是直线 x 3 与抛物线 y 2 3 x 2 14 3 x 4 的 交点 ， 当 x 3 时 ， y 2 3 ( 3) 2 14 3 ( 3) 4 4 ， 在抛物线 上存在一点 P ( 3 ， 4 ) ， 使得四边形 BP OH 为菱形四边形 BP O H 不能 成为正方形 ， 因为如果四边形 BPO H 为正方形 ， 点 P 的坐标只能是 ( 3 ， 3 ) ， 但这一点不在抛物线上 13.二次函数错例分析 试题 ( 1 ) 用配方法求二次函数 y 5 12 x 2 5 3 x 5 4 图象的顶点坐标及对称轴； ( 2 ) 已知函数 y 3x 2 4x 1 ， 当 0 x 4 时 ， 求 y 的变化范围 错解 ( 1 ) 解： y 5 12 x 2 5 3 x 5 4 5 12 ( x 2 4x 3 ) 5 12 ( x 2 ) 2 1 ， 该函数图象的 顶点坐标是 ( 2 ， 1 ) ， 对称轴是直线 x 2. ( 2 ) 解：当 x 0 时 ， y 3x 2 4x 1 3 0 2 4 0 1 1 ；当 x 4 时 ， y 3 4 2 4 4 1 33. 当 0 x 4 时 ， y 的变化范围是 1 y 33. 剖析 (1) 配方法是重要的数学方法，必须熟练掌握二次函数 y ax 2 bx c 可配 方写成 y a (x m) 2 k ，后者图象的顶点坐标是 ( m ， k) ，对称轴是直线 x m ，须牢记 (2) 求二次函数值的范围，理解二次函数 y ax 2 bx c 有最大值或最小值 的条件，当 a 0 时，函数图象开口向上，当 x b 2a 时，函数有最小值 y 4ac b 2 4a ；当 a 0 时，函数图象开口向下，当 x b 2a 时，函数有最大 值 y 4ac b 2 4a .当涉及到 实际问题时，一定要符合实际问题的意义和条件 要求 正解 解： y 5 12 x 2 5 3 x 5 4 5 12 ( x 2 4x 3 ) 5 12 ( x 2 ) 2 1 5 12 ( x 2 ) 2 5 12 ， 该函数图象 的顶点坐标是 ( 2 ， 5 12 ) ， 对称轴是直线 x 2 ( 2 ) 解： y 3x 2 4x 1 ， 抛物线的对称轴是直线 x b 2a 2 3 ， 当 x 2 3 ， y 最小值 1 3 . 当 x 0 时 ， y 1 ；当 x 4 时 ， y 33. 于是当 0 x 2 3 时 ， 1 3 y 1 ， 当 2 3 x 4 时 ， 1 3 y 33 ， 综上 ， 当 0 x 4 时 ， 1 3 y 33 2016年中考预测题 求下列二次函数解析式 (1)抛物线过点 (1， 2)， (0， 3)， ( 1， 6)； (2)抛物线与 x轴交于点 A( 1， 0)， B(3， 0)， 且过点 (2， 3)； (3)抛物线顶点为 (3， 4)， 且过点 (2， 5) 解： (1)y x2 2x 3 解析：可设一般式 y ax2 bx c， 得解 (2)y x2 2x 3 解析：可设交点式 y a(x x1)(x x2)， 得解 (3)y x2 6x 13 解析：可设顶点式 y a(x h)2 k， 得解