第五章中心力场

即角动量即角动量 是守恒量。因而是守恒量。因而 也是守恒量。也是守恒量。第五章第五章 中心力场中心力场 5.1 中心力场中粒子运动的一般性质中心力场中粒子运动的一般性质一、角动量守恒与径向方程一、角动量守恒与径向方程设质量为设质量为m的粒子在中心力场中运动，则哈密顿量算符表示为：的粒子在中心力场中运动，则哈密顿量算符表示为：222221()22lHrV rmrrrmr 0,HLL2L对于势能只与对于势能只与 r r 有关而与有关而与,无关的有心力场，使用球坐标求无关的有心力场，使用球坐标求 解较为方便。于是解较为方便。于是H H可改写为：可改写为：222()()22PHV rV rmm 在求解中心力场中粒子的能量本征方程时，选用在求解中心力场中粒子的能量本征方程时，选用 为力学量完全集是很方便的。这是因为：当选用了守恒量完为力学量完全集是很方便的。这是因为：当选用了守恒量完全集（全集（，）来对态进行分类以后，属于同一个能级）来对态进行分类以后，属于同一个能级的诸简并态的正交性问题将自动得到保证。的诸简并态的正交性问题将自动得到保证。H2LzLH2LzL能量本征方程为能量本征方程为:2222221rLrrrr考虑到中心力场的特点：考虑到中心力场的特点：球对称性球对称性，选用球坐标系是方便的，选用球坐标系是方便的，此时利用此时利用 rxz球球 坐坐 标标r y22()2V rEm 222221()22lrV rEmrrrmr左边第一项称为左边第一项称为径向动能算符径向动能算符，第二项称为，第二项称为离心势能离心势能。H的本征方程的本征方程 22222sin1)(sinsin1 L此式使用了角动量平方此式使用了角动量平方 算符算符 L2 的表达式：的表达式：,llmrR r Y 取取 :分离变量分离变量,径向方程可写为：径向方程可写为：22222()120lllEV rl ldRdRRdrr drrlmlllYzlm ,.,2,1,0,.2,1,0),(),(2的共同本征态。的共同本征态。是是 径向波函数径向波函数 或或 的归一化条件可写成的归一化条件可写成:，（不慢于，（不慢于 ）求解方程时，可作以下替换，使得计算更方便，令：求解方程时，可作以下替换，使得计算更方便，令：代入式得：代入式得：0r由于波函数要求有限，所以要求由于波函数要求有限，所以要求0r这就是这就是径向方程的一个定解条件径向方程的一个定解条件。)(rR)(ru()()llrrR r（1）不同的中心力场中粒子的能量本征波函数的差别）不同的中心力场中粒子的能量本征波函数的差别仅在于径向波函数仅在于径向波函数Rl(r)或或 l(r)，它们由中心势，它们由中心势V(r)的性的性质决定。一般而言，中心力场中粒子的能级至少为质决定。一般而言，中心力场中粒子的能级至少为2l+1重简并的。重简并的。注意：注意：（2）在一定边界条件下求解径向方程，即可得出能）在一定边界条件下求解径向方程，即可得出能量本征值量本征值E。对于非束缚态，。对于非束缚态，E是连续变化的。对于是连续变化的。对于束缚态，则束缚态，则E取离散值。取离散值。（3）在求解径向方程时，由于束缚态边界条件，将出）在求解径向方程时，由于束缚态边界条件，将出现径向量子数现径向量子数nr.二、二、两体问题化为单体问题两体问题化为单体问题 两个质量两个质量分别为分别为m1和和m2的粒子，相互作用的粒子，相互作用 只依赖于只依赖于相对距离。这个二粒子体系的能量本征方程为：相对距离。这个二粒子体系的能量本征方程为：12()V rr22221212121212()(,)(,)22TV rrr rEr rmm ET为体系的总能量。引入质心坐标为体系的总能量。引入质心坐标 和相对坐标和相对坐标 Rr1 12 212m rm rRmm12rrr 1x+r1r2rR 2Oyz二体运动二体运动可化为：可化为：I I 一个具有折合质量的粒子在场中的运动一个具有折合质量的粒子在场中的运动 II II 二粒子作为一个整体的质心运动。二粒子作为一个整体的质心运动。222212121111RmmM 可以证明：可以证明：其中其中 体系的总质量，体系的总质量，约化质量或折合质量。约化质量或折合质量。12Mmm1212m mmm2222222RXYZ 2222222xyz 对两个粒子坐标的微商变换成对相对坐标和质心坐标的微商。对两个粒子坐标的微商变换成对相对坐标和质心坐标的微商。则二粒子体系的能量本征方程则二粒子体系的能量本征方程可可化为：化为：2222()22RTV rEM 此方程可分离变量，令此方程可分离变量，令()()Rr 得：得：22()()2RCRERM22()()()2V rrEr TCEEE分解为二个本征方程分解为二个本征方程:描述描述质心运动质心运动，是能量为，是能量为EC的自由粒子的能量本征方程，的自由粒子的能量本征方程，EC是质心运动能量。即质心按能量为是质心运动能量。即质心按能量为EC的自由粒子的方式的自由粒子的方式运动。这没有提供与体系内部状态有关的任何信息。运动。这没有提供与体系内部状态有关的任何信息。描述描述相对运动相对运动，E是相对运动能量。可以看出与单粒子能是相对运动能量。可以看出与单粒子能量本征方程形式上相同，只不过应把量本征方程形式上相同，只不过应把m理解为约化质量，理解为约化质量，E理解为相对运动能量。理解为相对运动能量。5.4 氢原子氢原子量子力学发展史上最突出得成就之量子力学发展史上最突出得成就之一是对氢原子光谱和化学元素周期律给予一是对氢原子光谱和化学元素周期律给予了相当满意得解释。氢原子是最简单的原了相当满意得解释。氢原子是最简单的原子，其子，其 SchrodingerSchrodinger方程可以严格求解，方程可以严格求解，氢原子理论还是了解复杂原子及分子结构氢原子理论还是了解复杂原子及分子结构的基础。的基础。氢原子的原子核是一个质子，带电氢原子的原子核是一个质子，带电+e，在，在它的周围有一个电子绕着它运动它的周围有一个电子绕着它运动 。它与。它与电子的库仑吸引能为（取无穷远为势能零点）电子的库仑吸引能为（取无穷远为势能零点）)10(8cmr2()eV rr 这是一个两体问题。这是一个两体问题。1x+r1r2rR 2Oyz()()llrrR r具有一定角动量的氢原子的径向波函数具有一定角动量的氢原子的径向波函数满足下列方程：满足下列方程：22222120lll ldeEdrrr边界条件：边界条件：(0)0l 为电子的约化质量，为电子的约化质量，epepm mmmme和和mp分别为电子和质子的质量。分别为电子和质子的质量。(1)一、氢原子的能级一、氢原子的能级氢原子的能量本征值：氢原子的能量本征值：42212neEn 2212ea n(2)(2)玻尔半径：玻尔半径：22ae0.53oA主量子数：主量子数：n n见见110110页：页：氢原子的能级图氢原子的能级图与与En相应的归一化的径向波函数为：相应的归一化的径向波函数为：二、氢原子的波函数二、氢原子的波函数/2()1,22,lnlnlRrNeFnll 2rna3/23/201(1)!221!2(1)!lnlnnNaln nl 220()1nlRrr dr合流超几何函数合流超几何函数氢原子的束缚态能量本征函数为：氢原子的束缚态能量本征函数为：),()(),(lmnlnlmYrRr1,2,3,.0,1,2.1;0,1,2,nlnml 、),()(),(lmnlnlmYrRrH2lzl定态波函数定态波函数的共同本征函数。的共同本征函数。是氢原子体系是氢原子体系和和主量子数主量子数角动量量子数角动量量子数磁量子数磁量子数 raaraaaraaaraaraaaraaaaaaerrRrerrRerrrRnrerRerrRneRn03100031000031000021000210002/3021158112/32311381132722/323121274342/33130312/3212112/32120/210)()()()(2)(3)()2()(21 22(,)(1)(,)nnlmnlmzHElrl lrml 集。集。构成正交，归一，完备构成正交，归一，完备),(rnlm1,2,3,.0,1,2.1;0,1,2,nlnml 1、能级简并度、能级简并度氢原子的能级氢原子的能级222aneEn 只与主量子数只与主量子数n n有关，有关，对应的本征态对应的本征态 nlmlmnl ,2,1,0;1.2,1,021021)1(21)12(nnnlnl 有有：因此能级是简并的（除因此能级是简并的（除n=1n=1外），简并度为外），简并度为2n讨论：讨论：2、氢原子核外电子的几率分布、氢原子核外电子的几率分布),(rddrdrdsin2当氢原子处于当氢原子处于 nlm态时，在态时，在点周围的体积元点周围的体积元内发现电子的几率为内发现电子的几率为:2*(,)(,)nlmnlmnlmnlmdWrdrdd 人们常常形象地把这个几率分布叫做人们常常形象地把这个几率分布叫做“几率云几率云”或或“电子云电子云”.（1）在）在(r,r+dr)球壳中找到电子的几率球壳中找到电子的几率径向概率分布径向概率分布 22200()()sinnldW rr drrdrd d 02022202022sinsinddYdrrRddrdrYRlmnllmnldrrrRnl22)(22()()nlnlrRr r称为称为径向几率密度或径向分布函数径向几率密度或径向分布函数。取最大值的半径称为取最大值的半径称为最可几半径最可几半径。使使()nlr例如：氢原子处于基态例如：氢原子处于基态0010100YR，求最可几半径，求最可几半径?解：解：100ddr令令 ,0 arar 经检验为最大值时ar 是最可几半径是最可几半径 arearrR2322210104 10 所以所以1，02，03，04，00 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36r/a0a0Wn l(r)0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1Wn l(r)r 的函数关系的函数关系n，lRn l(r)的节点数的节点数 n r=n 12，13，14，10 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48r/a0a0Wn l(r)0.24 0.20 0.16 0.12 0.08 0.04Wn l(r)r 的函数关系的函数关系n，lRn l(r)的节点数的节点数 n r=n 1讨论：讨论：、关于描述氢原子核外电子分布问题、关于描述氢原子核外电子分布问题旧量子论：旧量子论：电子在核外作轨道运动电子在核外作轨道运动 量子力学：量子力学：由于电子的波粒二象性使轨道概由于电子的波粒二象性使轨道概念失去了意义，氢原子核外电子是以几率分布念失去了意义，氢原子核外电子是以几率分布的形式出现。的形式出现。、关于氢原子的第一玻尔轨道半径、关于氢原子的第一玻尔轨道半径 22ae量子力学几率分布的观点解释量子力学几率分布的观点解释a的物理意义的物理意义：当氢原子处于当氢原子处于1 1s s态时，在态时，在r r=a a处找到电子的几率处找到电子的几率最大，在最大，在r r a a的区域仍有电子分布，只不过的区域仍有电子分布，只不过几率较小而已。几率较小而已。dddrrrdrWnlmnlmsin|),(|),(22 对对 r r(0)积分积分drrrRdYdWnllmlm202)(|),(|),()1(|),(|2 dYlm dPNmllm22|)(cos|R Rnlnl(r)(r)已归一已归一电子在电子在 (,(,)附近立体角附近立体角 d =sin d d 内的几率内的几率右图示出了各种右图示出了各种 ,m,m态下，态下，W W m m()关于关于 的函数关系，由于它与的函数关系，由于它与 角角无关，所以图形都是绕无关，所以图形都是绕z z轴旋转对称轴旋转对称的立体图形。的立体图形。该几率与该几率与 角无关角无关例例 1.1.=0,m=0=0,m=0，有，有 ：W W0000=(1/4=(1/4)，与，与 也无关，也无关，是一个球对称分布。是一个球对称分布。xyz(,)dddsin(2)在在中找到电子的几率中找到电子的几率角向分布角向分布方向的立体角方向的立体角例例2.2.=1,m=1,m=1 1时，时，W W1,1,1 1()=(3/8)sin()=(3/8)sin2 2 。在。在 =/2=/2时，时，有最大值。有最大值。在在 =0 =0 沿极轴方向（沿极轴方向（z z向）向）W W1,1,1 1=0=0。例例3.3.=1,m=0 =1,m=0 时，时，W W1,01,0()=3/4 cos)=3/4 cos2 2。正好与例正好与例2 2相反，在相反，在 =0=0时，最大；在时，最大；在 =/2=/2时，时，等于零。等于零。z zyx xyZm=-2m=+2m=+1m=-1m=0 =26zLL，135 45 和和 证明：证明：的氢原子中的电子，在的氢原子中的电子，在的方向上被发现的几率最大。的方向上被发现的几率最大。dYdWmm2),(2),(mmYW 6zLL，1 ,2 m iieYeY cossin815),(cossin815),(1221解：解：的电子，其的电子，其 2sin3215cossin815),(222212 mYW当当 135 45 和和 时时 321512 W为最大值。即在为最大值。即在 13545 ，方向发现电子的几率最大。方向发现电子的几率最大。0 3215 在其它方向发现电子的几率密度均在在其它方向发现电子的几率密度均在之间。之间。例题例题13、类氢离子类氢离子 以上结果对于类氢离子（以上结果对于类氢离子（He+，Li+，Be+等，这些离子等，这些离子的原子核外，只有一个电子）也都适用。但需把核电荷的原子核外，只有一个电子）也都适用。但需把核电荷+e换换为为+Ze（Z是核所带正电荷数），而是核所带正电荷数），而 换为相应的约化质量。换为相应的约化质量。特别是类氢离子的能级公式为特别是类氢离子的能级公式为 42222ne ZEn 1,2,3,n 设氢原子处于状态设氢原子处于状态 123211210010132211100612131612131),(YRYRYRr 求氢原子能量、角动量平方、角动量求氢原子能量、角动量平方、角动量z z分量的分量的可能值及其几率，并求其平均值。可能值及其几率，并求其平均值。例题例题2的可能值为：的可能值为：，解：能量的可能值为：解：能量的可能值为：概率分别为：概率分别为：1/31/3，1/21/2，1/61/6aeE221 aeE822 aeE1823 2L22620、概率分别为：概率分别为：1/31/3，1/21/2，1/61/6概率分别为：概率分别为：1/31/3，1/21/2，1/61/6 zL 、0的可能值为：的可能值为：，2_103432eEa 222 L31 zL平均值分别为：平均值分别为：设氢原子处于状态设氢原子处于状态2110211 112(,)()(,)()(,)23rRr YRr Y 求氢原子能量、角动量平方及角动量求氢原子能量、角动量平方及角动量Z分量的可能值，这分量的可能值，这些可能值出现的几率和这些力学量的平均值。些可能值出现的几率和这些力学量的平均值。例题例题30/301),(arear氢原子处在基态氢原子处在基态，求：，求：(1)r的平均值；(2)势能 的平均值；re2 (3)最可几半径；(4)动能的平均值；例题例题4drddrreadrrrar sin1),(02200/23020 0/233004draraar01!naxnandxex04030232!34aaa 解：解：(1)02203020/23020200/230202002/23022214 4 sin sin1)()2(000aeaaedrreaeddrdreaeddrdreraereUararar 02022 sin),()(ddrdrrdrrdrreaar2/230042/23004)(rearar0/2030)22(4)(arreraadrrd0321 ,0 0)(arrrdrrd，(3)电子出现在r+dr球壳内出现的几率为 令令 0)(,0 21rrr时，0/222003022)482(4)(areraraadrrd08)(230220eadrrdar当当为几率最小位置 0ar 是最可几半径。是最可几半径。222221pT 02002/2/302 sin)(1200ddrdreeaTarar 02002/22/302 sin)(11200ddrdredrdrdrdreaarar0/020302)2(1(240drearraaar20220204022)442(24aaaa(4)22222111()(sin)sinsinrrrr 解：解：l（1 1）三维谐振子）三维谐振子 Hamilton Hamilton 量量zyxHHHzyxdzddyddxdH)(22222212222222 例例1.1.求三维谐振子能级，并讨论它的简并情况求三维谐振子能级，并讨论它的简并情况 222122222212222221222222zdzdHydydHxdxdHzyx 其其中中5.3 二维、三维各向同性谐振子二维、三维各向同性谐振子（105页）页）（2 2）本征方程及其能量本征值）本征方程及其能量本征值 )()()()()()(333222111zEzHyEyHxExHnnnznnnynnnx 321232332121)()(3,2,1)(nnnNNnnnEinENini 其其中中 )()()(zyxEEEEzyx 解得能量本征值为：解得能量本征值为：则波函数三方向的分量则波函数三方向的分量 分别分别满足如下三个方程：满足如下三个方程：因此，设能量本征方程的解为：因此，设能量本征方程的解为：)()()(321111321zyxEEEEnnnnnnnnn 如果系统如果系统 Hamilton Hamilton 量可以写成量可以写成 则必有：则必有：zyxHHHH （3 3）简并度）简并度 对对给给定定 N N=n n1 1 +n n2 2 +n n3 3 的的组组合合方方式式数数列列表表分分析析如如下下：n n1 1 n n2 2 组组合合方方式式数数 0 0 0 0,1 1,.,N N N N+1 1 1 1 0 0,1 1,.,N N-1 1 N N 2 2 0 0,1 1,.,N N-2 2 N N-1 1 .,.,.,.,.N N 0 0,1 1 对对给给定定 N N (N N=n n1 1 +n n2 2 +n n3 3 ),n n1 1 ,n n2 2,n n3 3 的的组组合合方方式式数数 (1 1/2 2)(N N+1 1)(N N+2 2)32123)(nnnNNEN 其其中中)()()()(321321zyxrnnnnnn 当当 N N 确定后，能量本征值确定，但是对应同一确定后，能量本征值确定，但是对应同一N N值的值的 n n1 1,n,n2 2,n,n3 3 有多有多种不同组合，相应于若干不同量子状态，这就是简并。其简并度可决种不同组合，相应于若干不同量子状态，这就是简并。其简并度可决定如下：定如下：当当n n1 1,n,n2 2 确定后，确定后，n n3 3=N-n=N-n1 1-n-n2 2，也就确定了，不增加不同组合，也就确定了，不增加不同组合的数目。故对给定的数目。故对给定N N，nn1 1,n,n2 2,n,n3 3 可能组合数即简并度为：可能组合数即简并度为：)2)(1(211)1()1(NNNNN求二维各向同性谐振子的能级和简并度。求二维各向同性谐振子的能级和简并度。解：由解：由Shrodinger方程，方程，),(),()(21)(222222222yxEyxyxmyxm方程可化为：设，),()(),(yYxXyx)()()(212)()(21)22222222222xXEExXxmxmyYEyYymymyy例题例题3显然，这是两个一维谐振子的方程，它们的能级为：显然，这是两个一维谐振子的方程，它们的能级为：)21()21(yyyynEEnE和(1)(1)xyEnnN 所所以以，由于，当由于，当N一定时一定时nx取取0，1，2.，而而ny相应取相应取N-nx，都对应同一能级。都对应同一能级。因此此能级是因此此能级是N+1重简并的重简并的.一、氢原子的束缚态能量本征函数为：一、氢原子的束缚态能量本征函数为：),()(),(lmnlnlmYrRr1,2,3,.0,1,2.1;0,1,2,nlnml 主量子数主量子数角动量量子数角动量量子数磁量子数磁量子数第五章第五章 总结总结22(,)(1)(,)nnlmnlmzHElrl lrml ),()(),(lmnlnlmYrRrH2lzl定态波函数定态波函数的共同本征函数。的共同本征函数。是氢原子体系是氢原子体系和和1、能级简并度、能级简并度氢原子的能级氢原子的能级222aneEn 只与主量子数只与主量子数n n有关，有关，因此能级是简并的（除因此能级是简并的（除n=1n=1外），简并度为外），简并度为2n2、氢原子核外电子的几率分布、氢原子核外电子的几率分布（1）在）在(r,r+dr)球壳中找到电子的几率球壳中找到电子的几率径向概率分布径向概率分布 22()()nlnlrRr r径向几率密度或径向分布函数径向几率密度或径向分布函数取最大值的半径称为取最大值的半径称为最可几半径最可几半径。使使()nlr(,)dddsin(2)在在中找到电子的几率中找到电子的几率角向分布角向分布方向的立体角方向的立体角drrrRdYdWnllmlm202)(|),(|),(dPNmllm22|)(cos|该几率与该几率与 角无关角无关2),(mmYW 二、二、二维、三维各向同性谐振子二维、三维各向同性谐振子)2)(1(211)1()1(NNNNNA：三维：三维12(1)NENNnn其中能级：能级：简并度：简并度：B：二维：二维能级：能级：32123)(nnnNNEN 其其中中 简并度：简并度：1N