第二章条件概率与统计独立性

第二章第二章 作业题作业题第二章第二章 条件概率与统计独立性条件概率与统计独立性2.12.1条件概率，全概率公式，条件概率，全概率公式，贝叶斯公式贝叶斯公式问题的提出：1)10张彩票有3张中彩，10个人摸彩.问：第1个人中彩的概率为多少？第2个人中彩的概率为多少？2)10张彩票有3张中彩，10个人摸彩.问：已知第l个人没摸中，第2个人中彩的概率为多少？一、条件概率 定义 设(,F,P)是一个概率空间，事件A、B属于F，若 P(B)0，则称 P(A|B)=P(AB)/P(B)为在 B 出现的条件下，A 出现的条件概率.(conditional probability)例：在肝癌普查中发现，某地区的自然人群中，每十万人平均 有40人患原发性肝癌，有34人甲胎球蛋白高含量，有32人既患原发性肝癌又出现甲胎球蛋白高含量，从这个地区的居民中任抽一人，用A表示他患原发性肝癌，用B表示他甲胎球蛋白高含量,已知P(A)=0.0004,P(B)=0.00034,P(AB)=0.00032,由条件概率定义可得P(B|A)=P(AB)/P(A)=0.00032/0.0004=0.8,P(A|B)=P(AB)/P(B)=0.00032/0.00034=0.9412.条件概率 P(A|B)满足概率的三条公理.由此得：P(AB|C)=P(A|C)+P(B|C)P(AB|C)；若 A 与 B 互不相容，则P(AB|C)=P(A|C)+P(B|C)；P(|B)=1 P(A|B).条件概率是概率A P(|B)=1;P(B|)1;P(A|)=P(A);P(A|A)=1.注 意 点(1)设P(B)0，且AB，则下列必然成立的是()P(A)P(A|B)P(A)P(A|B)(2)P(A)=0.6,P(AB)=0.84,P(B|A)=0.4,则 P(B)=().0.6(2)乘法公式;全概率公式；贝叶斯公式.条件概率的三大公式 (1)若 P(B)0，则 P(AB)=P(B)P(A|B)；若 P(A)0，则 P(AB)=P(A)P(B|A).(2)若 P(A1A2 An1)0，则 P(A1A2 An)=P(A1)P(A2|A1)P(An|A1A2 An1)乘法公式解解:罐中有罐中有b b个个是黑球是黑球,r r个是红球个是红球.每次从罐每次从罐中任取一球中任取一球,观其颜色后放回观其颜色后放回,并再放入同颜并再放入同颜色的小球色的小球c c个，放入异色球个，放入异色球d d个个.若若A=A=第一第一,第三次取到红球第三次取到红球,第二次取到黑球第二次取到黑球.求求:P(A).:P(A).设设B Bi i=第第i i次取到黑球次取到黑球,i=1,2,3,i=1,2,3,则则:)()()()()|()|()()()(123121321dcrcdbdcrcrdbdbrbrBBBPBBPBPBBBPAP伯利亚罐模型若事件A1,A2,An是样本空间的一组分割，即 ，两两不交，且 P(Ai)0，则二、全概率公式1iiA11)()()()(iiiiiABPAPBAPBP例：送检的两批灯管在运输中各打碎一支。若每批十支，而且第一批中有1支次品，第二批中有2支次品。现从剩下的灯管中任取一支，问抽得次品（记为B）的概率是多少？解法一：用A表示从剩下的灯管中任取一支出自第一批解法二：用A1，A2,A3,A4分别表示两批灯管所打碎的灯管情况是（次，次），（次，正），（正，次），（正，正）例、某工厂有四条流水线生产同一种产品，已知四条流水线的产量分别占总产量的15%，20%，30%，35%，这四条流水线的次品率分别为0.05,0.04,0.03,0.02.出厂产品是这四条流水线产品的均匀混合。现从出厂产品中任取一件，试求该件产品为次品的概率。解：设B为“任取一件为次品”Ai为“任取一件为第i条流水线生产的产品”，i=1,2,3,4 要调查“敏感性”问题中某种比例 p；两个问题：A：生日是否在7月1日前？B：是否考试作弊？抛硬币回答A或B.答题纸上只有：“是”、“否”.可用全概率公式分析“敏感性”问题.敏感性问题的调查在较复杂情况下直接计算在较复杂情况下直接计算P(B)不易不易,但但B总是总是伴随着某个伴随着某个Ai出现，适当地去构造这一组出现，适当地去构造这一组Ai往往可以简化计算往往可以简化计算.niiiABPAPBP1)()()(“全全”部概率部概率P(B)被分解成了许多部分之和被分解成了许多部分之和.它的理论和实用意义在于它的理论和实用意义在于:由此可以形象地把全概率公式看成为由此可以形象地把全概率公式看成为“由原因推结果由原因推结果”，每个原因对结果的发，每个原因对结果的发生有一定的生有一定的“作用作用”，即结果发生的可能，即结果发生的可能性与各种原因的性与各种原因的“作用作用”大小有关大小有关.全概全概率公式表达了它们之间的关系率公式表达了它们之间的关系.A1A2A3A4A5A6A7A8B诸诸Ai是原因是原因B是结果是结果 全概率公式用于求复杂事件的概率.使用全概率公式关键在于寻找另一组事件 来“分割”样本空间.全概率公式最简单的形式：注意点()()(|)()(|)P AP B P A BP B P A B 乘法公式是求“几个事件同时发生”的概率；全概率公式是求“最后结果”的概率；贝叶斯公式是已知“最后结果”，求“原因”的概率.三三 贝叶斯公式 某工厂有四条流水线生产同一种产品，已知四条流水线的产量分别占总产量的15%，20%，30%，35%，这四条流水线的次品率分别为0.05,0.04,0.03,0.02.出厂产品是这四条流水线产品的均匀混合。现从出厂产品中任取一件，发现是次品，试求该件次品为第一条流水线产品的概率。由结果找原因由结果找原因贝叶斯公式 引例若事件A1,A2,An是样本空间的一组分割，且P(B)0,P(Ai)0，则贝叶斯（Bayes）公式 托马斯托马斯贝叶斯贝叶斯(Thomas Bayes(Thomas Bayes，1702-1761)1702-1761)niBAPAPBAPAPBPBAPAPBPBAPBAPnjjjiiiiii,2,1)()()()()()()()()()|(1 例例 8 某一地区患有癌症的人占某一地区患有癌症的人占0.005，患者，患者对一种试验反应是阳性的概率为对一种试验反应是阳性的概率为0.95，正常，正常人对这种试验反应是阳性的概率为人对这种试验反应是阳性的概率为0.04，现，现抽查了一个人，试验反应是阳性，问此人是抽查了一个人，试验反应是阳性，问此人是癌症患者的概率有多大癌症患者的概率有多大?则则 表示表示“抽查的人不患癌症抽查的人不患癌症”.CCC已知已知 P(C)=0.005,P()=0.995,P(A|C)=0.95,P(A|)=0.04设设 C=抽查的人患有癌症抽查的人患有癌症，A=试验结果是阳性试验结果是阳性，求求P(C|A).现在来分析一下结果的意义现在来分析一下结果的意义.由由贝叶斯公式贝叶斯公式，可得，可得)|()()|()()|()()|(CAPCPCAPCPCAPCPACP代入数据计算得代入数据计算得:P(CA)=0.1066 2.检出阳性是否一定患有癌症检出阳性是否一定患有癌症?1.这种试验对于诊断一个人是否患有癌症这种试验对于诊断一个人是否患有癌症 有无意义？有无意义？如果不做试验如果不做试验,抽查一人抽查一人,他是患者的概率他是患者的概率 P(C)=0.005 患者阳性反应的概率是患者阳性反应的概率是0.95，若试验后得阳性，若试验后得阳性反应，则根据试验得来的信息，此人是患者的反应，则根据试验得来的信息，此人是患者的概率为概率为 P(CA)=0.1066 说明这种试验对于诊断一个人是否患说明这种试验对于诊断一个人是否患有癌症有意义有癌症有意义.从从0.005增加到增加到0.1066,将近增加约将近增加约21倍倍.1.这种试验对于诊断一个人是否患有癌症这种试验对于诊断一个人是否患有癌症 有无意义？有无意义？2.检出阳性是否一定患有癌症检出阳性是否一定患有癌症?试验结果为阳性试验结果为阳性,此人确患癌症的概率为此人确患癌症的概率为 P(CA)=0.1066 即使你检出阳性，尚可不必过早下结论即使你检出阳性，尚可不必过早下结论你有癌症，这种可能性只有你有癌症，这种可能性只有10.66%(平均来平均来说，说，1000个人中大约只有个人中大约只有107人确患癌症人确患癌症)，此时医生常要通过再试验来确认此时医生常要通过再试验来确认.njiiiiiABPAPABPAPBAP1)()()()()|(贝叶斯公式贝叶斯公式在贝叶斯公式中，在贝叶斯公式中，P(Ai)和和P(Ai|B)分别称为分别称为原因的先原因的先验概率验概率和和后验概率后验概率.P(Ai)(i=1,2,n)是在没有进一步信息（不是在没有进一步信息（不知道事件知道事件B是否发生）的情况下，人们对诸是否发生）的情况下，人们对诸事件发生可能性大小的认识事件发生可能性大小的认识.当有了新的信息（知道当有了新的信息（知道B发生），人们对诸发生），人们对诸事件发生可能性大小事件发生可能性大小P(Ai|B)有了新的认识有了新的认识.贝叶斯公式从数量上刻划了这种变化。贝叶斯公式从数量上刻划了这种变化。口袋中有一只球，不知它是黑的还是白的。现再往口袋中放入一只白球，然后从口袋中任意取出一只，发现是白球。试问口袋中原来的那只球是白球的可能性多大？课堂练习2/32.2 事件独立性一、两个事件的独立性一、两个事件的独立性 事件的独立性 直观说法：对于两事件，若其中任何一个 事件的发生不影响另一个事件的发生，则这两事件是独立的.P(A|B)=P(A)P(AB)/P(B)=P(A)P(AB)=P(A)P(B)例例 袋中有袋中有5 5个白球，个白球，3 3个黑球，随机取球两次，个黑球，随机取球两次，（1 1）放回抽样；（）放回抽样；（2 2）不放回抽样，）不放回抽样，设设A A为为“第一次取到白球第一次取到白球”；B B为第二次取到白球为第二次取到白球”；问问A A与与B B是否独立？是否独立？注意区别：“A与B相互独立”VS “A与B互不相容”例，从一副52张扑克牌中任取一张，A=取到为黑桃，B=取到为K试问A与B是否相互独立？结论：若P(A)0,P(B)0则“A与B相互独立”与“A与B互不相容”不能同时成立二二 多个事件的独立性多个事件的独立性 对于A、B、C三个事件，称满足：P(AB)=P(A)P(B),P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=P(B)P(C)为A、B、C 两两独立.称满足：P(ABC)=P(A)P(B)P(C)为A、B、C三三独立.定义 若事件 A1,A2,An满足：两两独立、三三独立、n n 独立 则称A1,A2,An 相互独立.性质性质:(:(1)1)若事件若事件 A A1 1,A,A2 2,A,An n相互独立，则其中任意相互独立，则其中任意k(2kn)k(2kn)个事件也相互独立。个事件也相互独立。(2)(2)若若A A1 1,A,A2 2,A,An n(n2)(n2)相互独立，则将其中任相互独立，则将其中任意多个事件换成各自的对立事件，所得意多个事件换成各自的对立事件，所得n n个事件仍个事件仍相互独立。相互独立。若A、B、C 相互独立，则AB 与 C 独立,AB 与 C 独立,AB 与 C 独立.一 些 结 论 例、若干人独立地例、若干人独立地,向一游动目标射击向一游动目标射击,每人击中每人击中目标的概率都是目标的概率都是0.6.0.6.求求:至少需要多少人至少需要多少人,才能以才能以0.990.99以上的概率击中目标以上的概率击中目标?解：设至少需要设至少需要n n个人个人,才能以才能以0.990.99以上的概率以上的概率击中目标击中目标.令令A=A=目标被击中目标被击中,A,Ai i=第第i i人击中目标人击中目标,(i=1,2,n).(i=1,2,n).则则A A1 1,A,A2 2,A,An n 相互独立相互独立.于是事件于是事件:.也相互独立,21nAAA例、有2n个相同元件独立工作，他们的连接方式有两种方案：先串联后并联、先并联后串联。设每个元件正常工作的概率都是r，问哪一种连接方式更加可靠？12n112221nnn四、四、试验的独立性试验的独立性定义、设有两个实验E1和E2，假如试验E1的任一结果与试验E2的任一结果都是相互独立的事件，则称这两个试验是相互独立的。*重复独立试验2.3 伯努利试验与直线上的随机游动一、一、伯努利概型伯努利概型伯努利试验：只有两种可能结果的试验取事件域为,AAFpAPpAP1)(,)(并假设n重伯努利试验：把伯努利试验独立地重复n次即：每次试验只可能出现A和 两种结果之一；且A在每次试验中出现的概率p保持不变。A二、二、伯努利概型中的一些分布伯努利概型中的一些分布1 1、伯努利分布伯努利分布只进行一次伯努利试验产生的分布只进行一次伯努利试验产生的分布2 2、二项分布二项分布n n重伯努利试验中，重伯努利试验中，A A出现出现k k次的概率记为次的概率记为b(k;n,p)b(k;n,p)nkppCpnkbknkkn,2,1,0,)1(),;(1),;(0nkpnkbn=1时，二项分布既是伯努利分布 试验次数为 n=4,“A”即取得合格品,A的概率为 p=0.8,所以,b(2;4,0.8)=例：一批产品的合格率为0.8,有放回地抽取4次,每次一件,则取得合格品件数 是2的概率是？1536.02.08.02224C3 3、几何分布几何分布伯努利试验中，伯努利试验中，A首次首次出现在第出现在第k次试验的概率记为次试验的概率记为g(k;p),则则,2,1,)1();(1kpppkgkg(k;p)也表示等待也表示等待A出现共等了出现共等了k次的概率次的概率例：一个人要开门，他共有例：一个人要开门，他共有n n把钥匙，其中仅把钥匙，其中仅有一把能开门，他每次随机地选取一把钥匙开有一把能开门，他每次随机地选取一把钥匙开门，这人在第门，这人在第s s次试开时才首次成功的概率是次试开时才首次成功的概率是多少？多少？4 4、巴斯卡分布巴斯卡分布伯努利试验中，伯努利试验中，A第第r次次出现在第出现在第k次试验的概率记为次试验的概率记为f(k;r,p),则则,1,)1()1(),;(11111rrkppCpppCprkfrkrrkrkrrkr=1时时,巴斯卡分布既是几何分布巴斯卡分布既是几何分布例：数学家的左右口袋各放有一盒装有例：数学家的左右口袋各放有一盒装有N N根火根火柴的火柴盒，每次抽烟时任取一盒用一根，求柴的火柴盒，每次抽烟时任取一盒用一根，求发现一盒用光时，另一盒有发现一盒用光时，另一盒有r r根的概率？根的概率？三、三、直线上的随机游动直线上的随机游动 （略）（略）四、四、推广的伯努利试验与多项分布推广的伯努利试验与多项分布 若每次试验有r 种结果：A1,A2,Ar记 P(Ai)=pi,i=1,2,r 在n 次独立重复试验中 Ai 出现ni次的概率为rkrkkrpppkkkn212121!0,121irppppnkrii1,例：人类的血型分为例：人类的血型分为O,A,B,ABO,A,B,AB四型，假定四型，假定某地区的居民中这四种血型的人的百分比某地区的居民中这四种血型的人的百分比分别为分别为0.40.4，0.30.3，0.250.25，0.050.05，若从此地，若从此地区居民中随机地选出区居民中随机地选出5 5人，求有两个为人，求有两个为O O型，型，其他三个分别是其他三个分别是A,B,ABA,B,AB型的概率？型的概率？2.4 二项分布与泊松分布一、一、二项分布的性质及计算二项分布的性质及计算例、某出租车公司有400辆出租车，设每天每辆车正常工作的概率为0.98，试求一天内至少有2辆出租车出现故障的概率？解、用X表示该公司一天出现故障的车辆数，则 9972.0)02.0,400;(1)2(10kkbXPkP(X=k)00.01210.05820.13730.20540.21850.17560.10970.05580.02290.007100.002k11,P(X=k)0 是常数是常数,称称 为泊松分布的参为泊松分布的参数数1!);(00eeekkPkkk如：如：单位时间内放射性物质放射出的粒子数单位时间内放射性物质放射出的粒子数;单位时间内某电话交换台的呼唤次数；单位时间内某电话交换台的呼唤次数；单位时间内走进商店的顾客数单位时间内走进商店的顾客数;某医院在一天内的急诊人数某医院在一天内的急诊人数;某地区一个时间间隔内发生交通事故的次数某地区一个时间间隔内发生交通事故的次数 由泊松定理，由泊松定理，n重贝努里试验中重贝努里试验中稀有事件稀有事件出现的次数近似地服从泊松分布出现的次数近似地服从泊松分布.我们把在每次试验中出现概率很小的事我们把在每次试验中出现概率很小的事件称作件称作稀有事件稀有事件.如地震、火山爆发、特大如地震、火山爆发、特大洪水、意外事故等等洪水、意外事故等等例、设某种疾病的发病率为例、设某种疾病的发病率为0.0010.001，某单位共有，某单位共有50005000人，问该单位患这种疾病的人数超过人，问该单位患这种疾病的人数超过5 5的概的概率多大？率多大？解：用解：用X X表示该单位的患病人数，则表示该单位的患病人数，则 384.0!51)001.0,5000;(1)5(55050ekkbXPkkk而384039331.0999.0001.01)5(5000505000kkkkCXP