第4章向量空间

目录 上页 下页 返回 结束 第四章第四章 向量空间向量空间4.1 向量及其线性组合向量及其线性组合 4.2 向量组的线性相关性向量组的线性相关性 4.3 向量组的秩向量组的秩 4.4 矩阵的秩矩阵的秩 4.5 向量空间向量空间 4.6 线性方程组解的结构线性方程组解的结构 目录 上页 下页 返回 结束 4.1 4.1 向量空间向量空间引例引例:几何中的向量几何中的向量 把有方向的线段叫做向量),(zyxPO向量OP 由一个三元数组(,)x y z唯一确定。向量的加法向量的加法(平行四边形法则)目录 上页 下页 返回 结束 向量的数乘向量的数乘 00建立坐标系的目的就是把向量的运算转化为数(坐标)的运算.),(,),(222111zyxzyx ),(212121zzyyxx ),(111kzkykxk 推广推广：我们把三维中的向量推广到n维，得到n维空间中的向量 目录 上页 下页 返回 结束 n 个数组成的有序数组 naaa21),(21naaa或或称为一个n维行向量或n维列向量，其中ia称为该向量的第i个分量。行向量和列向量统称为向量。分量全为实数(复数)的向量称为实(复)向量，n维实(复)向量的全体记为()nnR C无特殊说明，以后所指向量都为实列向量 目录 上页 下页 返回 结束 例例4.1.1 称单位矩阵的列向量12100010,001neee 为标准坐标向量。设1212,Tm nnmA (1)(2)(3)jjTTiiTijijAee Ae Aea利用标准坐标向量运算往往非常方便，见下例利用标准坐标向量运算往往非常方便，见下例 目录 上页 下页 返回 结束 例例4.1.2 4.1.2 设0101010A证明40A 证证 把 按列分块为A1230,Ae e e则21231231231121214110,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0 0AAe e eA Ae Ae Aee eAAe e eA A Ae AeeAAeA A A Ae 目录 上页 下页 返回 结束 若干同维数的列向量(或行向量)所组成的集合叫 做向量组向量组:mn 的矩阵 A 全体列向量是含 n 个 m 维列向量的向量组,称为;全体行向量是含 m 个 n 维的行向量组,为.mnmmnnaaaaaaaaa212222111211 mnmmnnaaaaaaaaa21222211121112nnT1T2T列向量组列向量组行向量组行向量组 目录 上页 下页 返回 结束 向量是矩阵的特例，规定向量的相等、加、减、数乘运算按矩阵的相应运算。向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算线性运算。在在R Rn n中的向量满足以下中的向量满足以下8 8条规律：条规律：1)8(0)()4()()()7(0)3()()6()()()2()(5()1(kllkkkklklk其中 都是n维向量，k、l为实数。,目录 上页 下页 返回 结束 对于向量组对于向量组 ,表达式表达式nA ,:21)(2211Rkkkkinn nn 2211又称向量 可由向量组 A.nn 2121,通常写成为A的一个线性组合线性组合，为其组合系数。组合系数。如果如果 是是 的一个线性组合，即存在的一个线性组合，即存在 使得使得12,nk kk12,n A 目录 上页 下页 返回 结束 例例4.1.34.1.312342100050100,3001000001eeee 有210005010025303001000001 1234=2530eeee 即即所以，称所以，称 是是 的线性组合，的线性组合，1234,e e e e 1234,e e e e或或 可以由可以由 线性表示。线性表示。目录 上页 下页 返回 结束 1 1零向量可由任一组向量线性表示。零向量可由任一组向量线性表示。120000m中每个向量都可由向量组本身中每个向量都可由向量组本身m,212 2向量组向量组miiii00100111线性表示，线性表示，(1,2,)im 注意注意Tnaaa,213 3任一任一n n元向量元向量都可由都可由n n元单位向量组元单位向量组线性表示，即线性表示，即 121,0,0,0,1,0,TTee ,0,0,1,Tne 1 122nna ea ea e 目录 上页 下页 返回 结束 想一想想一想12321511253,33126411131253 123问 是否可以由，线性表示问 是否可以由，线性表示 目录 上页 下页 返回 结束 n n元线性方程组元线性方程组 可以用向量形式表示为可以用向量形式表示为a11x1a21x1 am1x1a12x2a22x2 am2x2 a1nxna2nxn amnxnb1b2 bm (1)其中其中对应齐次方程组可用向量形式表示为对应齐次方程组可用向量形式表示为02211 nnxxx ,，121111maaa 222122maaa mnnnnaaa21 12mbbbb1122nnxxxb线性方程组的向量表示线性方程组的向量表示 目录 上页 下页 返回 结束 向量向量 可由向量组可由向量组 线性表示线性表示 nA ,:21 nn2211存在数存在数 使使n ,21即即 ,21nAAx 有解有解注意注意:符号混用符号混用另外另外,如果解唯一如果解唯一,则表示方法是唯一的则表示方法是唯一的.如果如果(按定义按定义)(转换为方程组转换为方程组)方程组方程组 nnxxx2211 目录 上页 下页 返回 结束 例例4.1.412321511253,33126411131253 123问 是否可以由，线性表示问 是否可以由，线性表示解解 设设123123(,),(,)TAAX Xx xx 123(,|)A 151225313 1263111342531 1 02/3 1/30 1 1/31/30 0000 0000 000B 初等行变换初等行变换 目录 上页 下页 返回 结束()()2r Ar A故故123可以由，线性表示可以由，线性表示，且表示方法有无穷多种。，且表示方法有无穷多种。方程组方程组 与矩阵与矩阵B相对应的同解方程组为相对应的同解方程组为AX 123313113323xxxx 312331113323xcxcxcxc 令令则则12111233333()()()cRccc 13当当c=1时，时，1232 当当c=-2时，时，目录 上页 下页 返回 结束 解解,321 A记记 不能由不能由 A 线性表示线性表示;能由能由 A 唯一表示唯一表示;能由能由 A 有有无穷多种表示无穷多种表示,并求所有表示方法并求所有表示方法.,)1,1,1(1T ,)1,1,1(2T 设向量组设向量组 A:问问 为何值时为何值时,),3,0(T ,)1,1,1(3T 向量向量 只需讨论只需讨论 Ax解的情况解的情况.具体解方程组过程略。具体解方程组过程略。0 时时,方程组无解方程组无解,不能由不能由 A 表示表示.30 且且时时,方程组有唯一解方程组有唯一解,可由可由 A 唯一表示唯一表示.例例4.1.54.1.5 目录 上页 下页 返回 结束 3 时时,方程组有无穷多解方程组有无穷多解,可由可由 A 无穷多种表示无穷多种表示.通解为通解为所有表示方法所有表示方法:321)2()1(kkk 其中其中 k 为任意实数为任意实数.即即 211121)2(112)1(330kkk 021111321kxxx 目录 上页 下页 返回 结束 如果向量组 中的每一个向量都可以被12,q 向量组 线性表示，即存在常数12,p(1,1,)ijc ip jq则称向量组 可由向量组 线性表示。线性表示。如果两个向量组可以相互线性表示，则称这两个向量组等价等价。记作12,q12,p 1212,pq 利用矩阵的分块乘法(2)又可以写成如下矩阵乘法形式(2)11111221212122221122ppppqqqpqpccccccccc 目录 上页 下页 返回 结束 1112121222121212,qqqppppqccccccccc 记1212,pqijp qABCc 则矩阵B的列向量组可以由矩阵A的列向量组线性表示就是存在矩阵C使得B=AC。由此我们得到下面的结论 目录 上页 下页 返回 结束 1.矩阵矩阵B的列向量组可由矩阵的列向量组可由矩阵A的列向量组线性表示的的列向量组线性表示的充要条件是矩阵方程充要条件是矩阵方程AX=B有解。有解。2.矩阵矩阵B的行向量组可由矩阵的行向量组可由矩阵A的行向量组线性表示的的行向量组线性表示的充要条件是矩阵方程充要条件是矩阵方程XA=B有解。有解。行等价矩阵的行向量组等价行等价矩阵的行向量组等价 证：设A与B行等价矩阵，即 ，也就是存在可逆矩阵P使得B=PA，从而 ，由定理4.1.1可知，B的行向量组可由A的行向量组线性表示，A的行向量组可以由B的行向量组线性表示，所以A和B的行向量组等价。rAB 1AP B 目录 上页 下页 返回 结束 例例4.1.7矩阵A用初等表换化成最简阶梯矩阵B如下103121031 2130210110 1217250001 042140100000 0rAB 12341,0,3,1,2,1,3,0,2,1,2,1,7,2,5,4,2,14,0,10TTTT 1231,0,3,1,2,0,1,1,0,1,0,0,0,1,0TTT记A的行向量组为 B的非零行向量组为则向量组 与行向量组 等价，即列向量组 与列向量组 等价1234,TTTT123,TTT1234,123,目录 上页 下页 返回 结束 4.2 4.2 向量组的线性相关性向量组的线性相关性看看三维空间中的向量(如图)1 3 2 4 41122kk123,三个向量共面 三个向量无法相互线性表示，三个向量异面考察线性方程组123123123123 2522 512 2355 55xxxxxxxxxxxx(4.2.1)目录 上页 下页 返回 结束 上面4个方程有如下关系：=-9+4 =3 5-1 5123123 2522 512xxxxxx这说明方程组中第和第个方程是多余的多余的,可以去掉.即方程组与下面方程组是同解的。考察原方程组中增广矩阵的行向量组TTTT1234(1,1,2,5),(2,2,5,12),(1,1,2,3),(5,5,5,5)(4.2.2)知 31294 4123515 即 可以由 线性表示。34,12,目录 上页 下页 返回 结束 例例1 如果如果1212(1,0),(0,1),TTeee e问问能否找到能否找到一组不全为零的数一组不全为零的数121 122,0?k kk ek e使得使得02211 mmkkk mkkk,21如果存在不全为零的数如果存在不全为零的数使得使得则称该向量组则称该向量组线性相关线性相关.否则否则,如果设如果设02211 mmkkk 只能推出只能推出021 mkkk则称该向量组则称该向量组线性无关线性无关.目录 上页 下页 返回 结束 下面三个命题等价下面三个命题等价12(1),n向量组线性相关；12(2),nkk存在一组不全为零的数k使得1 12 2n nkkk 0(3)齐次线性方程组1 122=0nnxxx有非零解 目录 上页 下页 返回 结束 推论推论4.2.1 下面三个命题等价下面三个命题等价 (1)向量组向量组 线性无关；线性无关；(2)如果有一组数如果有一组数 使得使得 则必有则必有 (3)齐次线性方程组齐次线性方程组 12,n12,nkkk1122nnkkk01122nnxxx0只有零解只有零解120nkkk 目录 上页 下页 返回 结束 1231,2,1,2,3,0,1,0,3TTT 例例4.2.1 判断向量组的线性相关性。解解 设1122330 xxx记123121,230103A 把A用初等行变换变为阶梯形121121230012103006r 得知方程0Ax 只有零解，所以原向量组线性无关。目录 上页 下页 返回 结束 注注 由于A是方阵，也可以由|A|=-6得知方程组0Ax 只有零解 设n阶方阵12,nA，由上述定理可知，A是可逆矩阵的充要条件是方程组1122nnxxx0只有零解 由此我们得到下面的定理设A是n阶方阵，则下面的三个命题等价(1)A为可逆矩阵(2)A的列向量组线性无关(3)A的行向量组线性无关 目录 上页 下页 返回 结束 例例4.2.2.若向量组若向量组12,n 的一个子集线性相关，则的一个子集线性相关，则 向量组必线性相关。若向量组向量组必线性相关。若向量组12,n线性无关，则线性无关，则 该向量组的任何一个子集必线性无关。该向量组的任何一个子集必线性无关。证证 不妨设向量组的一个子集12,()mmn线性相关，即存在一组不全为零的数12,mkkk使得11220mmkkk从而11221000mmmnkkk所以 12,n 线性相关。部分相关，则整体相关；整体无关，则部分无关部分相关，则整体相关；整体无关，则部分无关12,n 目录 上页 下页 返回 结束 例例4.2.3 设12,n是由n个m维的向量构成的向量组若nm则该向量组线性相关。证证 记矩阵12,n m nA 线性方程组0Ax 从而12,n必然线性相关。例如例如 矩阵 101123A它的列向量组必然线性相关个数大于维数的向量组必然相关个数大于维数的向量组必然相关 目录 上页 下页 返回 结束 例例4.2.4 设向量组1112131aaa1222232aaa1332333aaa线性无关，则向量组1112131,aaa1222232,aaa1332333aaa也线性无关(其中*取任意数)目录 上页 下页 返回 结束 证证 因为123,线性无关,所以方程组111213121222323313233aaaxaxaxaaaa0只有零解，从而方程组1112131232122233132330aaaxxxaaaaaa也只有零解，因此123,线性无关。短的无关短的无关,则长的无关；长的相关则长的无关；长的相关,则短的相关则短的相关.目录 上页 下页 返回 结束 定理定理4.2.3(唯一表示定理唯一表示定理)设向量组设向量组12,n 线性无关线性无关 向量组向量组12,n 线性相关，则向量线性相关，则向量可由向量组可由向量组12,n 线性表示，且表示方式唯一线性表示，且表示方式唯一。证证 由于向量组12,n 线性相关，故存在不全零的数12,nk kk k使得1122nnkkkk 0必然有0k 否则，若0k 则1122nnkkk0由于12,n 线性无关，必有120nkkk这与12,nk kk k不全为零矛盾，因此0k 则11221()nnkkkk 目录 上页 下页 返回 结束 所以向量 可由向量组12,n 线性表示。唯一性唯一性 假设向量 由向量组12,n 的表示有两种11221122nnnnkkkkkk移项111222()()()0nnnkkkkkk由于12,n 线性无关，所以1122,nnkk kkkk 唯一性得证这一结论可以等价的表示为：方程组1122nnxxx有唯一解。目录 上页 下页 返回 结束 推论推论4.2.2 设设12,nnR，且且12,n 线性无关线性无关则则nR中的任一向量都可以由向量组中的任一向量都可以由向量组12,n 唯一表示唯一表示。目录 上页 下页 返回 结束 4.3 向量组的秩向量组的秩 对于给定的向量组对于给定的向量组(可以含无穷多向量可以含无穷多向量),如何把握向如何把握向量之间的线性关系量之间的线性关系?(即哪些向量可由另外一些向量线性即哪些向量可由另外一些向量线性表示表示)，它们的本质不变量是什么？，它们的本质不变量是什么？目录 上页 下页 返回 结束 考察线性方程组123123123123 2522 512 2355 55xxxxxxxxxxxx 其增广矩阵为11252221211235555A记其行向量分别为1234,TTTT则 目录 上页 下页 返回 结束 31294 4123515说明方程组中把第和第个方程去掉只保留第和第个方程仍是等价的.即123412,又容易验证2131(9)44131(515)4又说明把方程组中第和第个方程去掉只保留第和第个方程仍是等价的.即123413,目录 上页 下页 返回 结束 一般地,我们提出如下非常有意义的问题：对于给定的一个向量组,找出的一个子集,满足下面两个条件：（1）中所有向量都可由线性表示；（2）所含向量个数尽可能地少.条件（1）就是要求与等价.条件（2）就是要求线性无关.这是因为,如果线性相关,则中至少还有一个向量可由中其余向量线性表示.因此,我们给出下面极大无关组和向量组秩的概念.目录 上页 下页 返回 结束 设V是一个向量组,如果中有r个向量 12,r 满足 (1)12,r 线性无关 (2)V中的任一个向量都可以被12,r 线性表示。则称向量组12,r 是向量组V的一个极大线性无关组，极大线性无关组含有向量的个数r为向量组V的秩，记做rankVr 或者r()Vr只含零向量的向量组没有极大无关组,规定其秩为零.目录 上页 下页 返回 结束 注注 1.含有非零向量的向量组总存在极大线性无关组含有非零向量的向量组总存在极大线性无关组 2.极大线性无关组不唯一极大线性无关组不唯一,但是同一向量组的极大线性但是同一向量组的极大线性无关组所含向量的个数唯一，即向量组的秩唯一。无关组所含向量的个数唯一，即向量组的秩唯一。定理定理4.3.1 向量组向量组12,p线性无关的条件是线性无关的条件是12rank,pp 等价的向量组等价的向量组12,p 线性相关的条件是线性相关的条件是12rank,pp 问题：如何求向量组的秩和极大无关组 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理4.3.2 设设1212,rnnA B 即即A与与B行等价，则行等价，则A的列向量组与的列向量组与B的列向量组有的列向量组有相同的线性关系，即方程组相同的线性关系，即方程组1122nnxxx0 与与1122nnxxx0 同解。同解。证：A与B是行等价矩阵，即，存在可逆矩阵P使得PA=B，从而1,(1,2,)iiiiinP P (1)(2)设T12,nu uuu是(1)的解，即1122nnuuu01122nnuuuPPP0 目录 上页 下页 返回 结束 1122nnuuu 0说明T12,nu uuu 也是方程(2)的解。反之T12,nu uuu是(2)的解，即1122nnuuu 01111122nnuuuPPP01122nnuuu0即u也是(1)的解，综上方程(1)(2)是同解方程思考：思考：此定理的意义何在？此定理的意义何在？目录 上页 下页 返回 结束 例4.3.2 求向量组 123451223432214,1261612205 的秩和一个极大无关组，并用此表示其他向量。解 把向量按列排除矩阵，化成行最简形1234512345122341 020 1322140 12 0 2,126160 001 3122050 000 0r 显然124,线性无关，且 目录 上页 下页 返回 结束 31222512423这说明124,是125,的一个极大无关组，其余向量35,可由124,线性表示。根据定理4.3.2,124,线性无关，并且21322421532 说明124,是125,的一个极大无关组。并且125rank,3 其结果用矩阵表示为 123451241 020 1,0 12 0 20 001 3 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理4.3.2(Steinitz定理定理)设向量设向量12,q 可由向量组可由向量组 12,p 线性表示，如果线性表示，如果qp则则12,q 线性相关线性相关证证 向量12,q 由向量组12,p 线性表示，即 存在矩阵pqC使得12,q 12,pp q C因qp所以方程组Cx0 有非零解quR1212,qpuu C0从而 即u是方程组1122qqxxx0的一个非零解，所以12,q 线性相关。目录 上页 下页 返回 结束 例如例如：设112212312,23不管向量组12,是否线性相关，向量组123,必线性相关 推论推论4.3.1 等价的线性无关向量组所含的向量个数相同。等价的线性无关向量组所含的向量个数相同。推论推论4.3.2 一个向量组的任意两个极大无关组所含向量个数相等一个向量组的任意两个极大无关组所含向量个数相等.推论推论4.3.3 设向量组的秩设向量组的秩rankV=r,则中任意向量个数大于则中任意向量个数大于r的的向量组都线性相关向量组都线性相关.推论推论4.3.4 设向量组设向量组V的秩的秩rankV=r,则则V中任意中任意r个线性无关的个线性无关的向量都是向量都是V的极大无关组的极大无关组.推论推论4.3.5 设向量组设向量组12,q 可由向量组可由向量组 12,p 线性线性表示，则表示，则1212rank,rank,qp 目录 上页 下页 返回 结束 推论推论4.3.6 等价的向量组有相同的秩。等价的向量组有相同的秩。根据上面的定理及其推论易得到下面极大无关组的等价定义.定义定义4.3.2（极大无关组的等价定义）（极大无关组的等价定义）设是一个向量组设是一个向量组.如果如果(1)V中有中有r个向量个向量12,r 线性无关线性无关；(2)V中任意中任意r+1个向量个向量(如果有的话如果有的话)都线性相关都线性相关则称向量组12,r 是向量组是向量组V的一个极大无关组。的一个极大无关组。目录 上页 下页 返回 结束 4.4 矩阵的秩矩阵的秩矩阵A的行向量组的秩称为A的行秩，列向量组的秩称为A的列秩问题：A的行秩的行秩?A的列秩的列秩引理引理4.4.1 初等变化不改变矩阵的行秩与列秩初等变化不改变矩阵的行秩与列秩。证证 首先证明初等行变换不改变矩阵的行秩与列秩，设rAB 则A与B的行向量组等价，因而他们有相同的行秩。并且他们的列秩有相同的线性关系，所以他们有相同的列秩。目录 上页 下页 返回 结束 再证明初等列变换不改变矩阵的行秩和列秩。设rAU 从而rTTAB 因此列变换不改变矩阵的列秩和行秩。由于rAU(行最简阶梯形矩阵)，A与U具有的行秩和列秩。设1000010000100000U 记U的列向量为12345,则134,是U的一个极大无关组，并且其个数为U的非零行的行数；U的列秩=U的非零行的行数.目录 上页 下页 返回 结束 再记U的行向量为TTTT1234,则112233123100000010001xxxxxx 只有零解，123,线性无关；又因为40，所以123,是1234,的极大线性无关组，即U的行秩=U的非零行的行数.由此得到下面的结论引理引理4.4.2 最简阶梯行矩阵的行秩与列秩相等，其值等于其最简阶梯行矩阵的行秩与列秩相等，其值等于其非零行的行数非零行的行数 目录 上页 下页 返回 结束 引理引理4.4.3 任一矩阵的行秩与列秩相等，其值等于其最简任一矩阵的行秩与列秩相等，其值等于其最简形矩阵或者阶梯形矩阵的非零行的行数。形矩阵或者阶梯形矩阵的非零行的行数。定义定义4.4.1 称矩阵称矩阵A的行秩的行秩(或列秩或列秩)为矩阵为矩阵A的秩，记为的秩，记为 rank(A)或者或者r(A),规定零矩阵的秩为规定零矩阵的秩为0定理定理4.4.1 初等变换不改变矩阵的秩。矩阵的秩等于它对应初等变换不改变矩阵的秩。矩阵的秩等于它对应最简阶梯形或者阶梯形矩阵的非零行的行数。最简阶梯形或者阶梯形矩阵的非零行的行数。推论4.4.1 设P,Q都是可逆矩阵，则rank()rankPAQA 目录 上页 下页 返回 结束 例例4.4.1 设矩阵12122215103At且()2r A,求t 解解：12112122201215001103000rABtt由于()()2r Br A必须10t 即1t 显然矩阵的秩有下面的性质显然矩阵的秩有下面的性质T(1).rankrankAA(2).rankmin(,)m nm nA 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理4.4.2 设设A是是n阶方阵，则阶方阵，则A可逆的充要条件是可逆的充要条件是r(A)=n定义定义4.4.2 设设A是是n阶方阵，如果阶方阵，如果r(A)=n，称，称A为为满秩矩阵满秩矩阵可逆矩阵可逆矩阵=满秩矩阵满秩矩阵(方阵)定理定理4.4.3 rank()min(rank,rank)ABAB证明证明 记CAB则C的列向量被A的列向量线性表示 C的行向量被B的行向量线性表示()(),()()r Cr A r Cr B故rank()min(rank,rank)ABAB 目录 上页 下页 返回 结束 例例4.4.2 设,m nn mARBR若mn,证明0AB 证证：()()min,r ABr An mnm()m mAB|0AB永远是奇异矩阵永远是奇异矩阵有可能是非奇异矩阵有可能是非奇异矩阵 1001001001010001 目录 上页 下页 返回 结束 例例4.4.3 证明max r(),r()rr()r()ABABABmax r(),r()rr()r()AABABB 证证 设(),().r Ap r Bq1,p为A的列向量组的极大无关组1,q 为B的列向量组的极大无关组。rABr显然()rrAAB()rrBAB 即max r(),r()rABAB 又AB的任一列向量都可被11,pq线性表示 从而11,pqrrpq。即()()rABr Ar B 由于TTTAABB(1)(2)(2)式可以类似证明 目录 上页 下页 返回 结束 推论推论4.4.1 线性方程组线性方程组Ax=b的系数矩阵的秩与增广矩阵的秩的系数矩阵的秩与增广矩阵的秩满足满足 ()()()1r ArAbr A例例4.4.3 设向量组12,p 线性无关，向量组12,q 可以由向量组12,p 线性表示为1112121222121212,qqqppppqccccccccc 记矩阵()ijCc证明：12,q 线性无关的充要条件是rankqC 目录 上页 下页 返回 结束 证证 记12,qA 12,pB 则ABC由于()r Bp则0AxBCxC00 x所以，12,q线性无关Ax0只有零解Cx0只有零解r()qC 目录 上页 下页 返回 结束 矩阵的秩还可以用矩阵的子式来刻画.当A是阶方阵时,我们定理定理4.4.4 矩阵矩阵A的秩的秩r(A)=r的充要条件是的充要条件是A的一个的一个r阶子式阶子式且所有的且所有的r+1阶子式阶子式(如果存在的话如果存在的话)都等于零。都等于零。0rD 知道0rankAAn如果0A 或A不是方阵，有如下结论 注注 当A的所有r+1阶子式都等于零时，由行列式展开定理知，A的所有p(pr+1)阶子式都等于零。定义定义4.4.3(矩阵秩的等价定义矩阵秩的等价定义)称矩阵称矩阵A的非零子式的最高阶数为矩阵的非零子式的最高阶数为矩阵A的秩。的秩。目录 上页 下页 返回 结束 例4.4.4求下面矩阵A的秩12211111nnnxxxAxaaaaax 解解A的右上角的n-1阶子式11(1)0nnD 1231231nnnnnnnDAxa xa xa xaxa如果x不是上面多项式的零点，则0,nDArank An否则如果x是上面多项式的零点，则rank1An 目录 上页 下页 返回 结束 VRV 则则若若,VVV 则则若若,集合 对于加法及乘数两种运算封闭指V 设设 为为 维向量的集合，如果集合维向量的集合，如果集合 非空，非空，且集合且集合 对于加法及数对于加法及数乘乘两种运算封闭，那么就称两种运算封闭，那么就称集合集合 为为nVVVV 维向量的全体是一个向量空间维向量的全体是一个向量空间,记作记作nnR只含零向量的集合是一个向量空间只含零向量的集合是一个向量空间(称为零空间称为零空间)向量空间如果不是零空间必含有无穷多个向量向量空间如果不是零空间必含有无穷多个向量Vkk 21 目录 上页 下页 返回 结束 证明下列集合是向量空间 ,|0,21211RxxxxxVT 证证 1211210,0,VbbVaaTT 122110,VbabaT 1210,VaaT 所以所以 构成了向量空间构成了向量空间.1V1e2e3e 1V例例4.5.1 目录 上页 下页 返回 结束 0|)(xARxANnmn证证0,0),(,2121 AAAN即即设设0)(22112211 AkAkkkA)(2211ANkk 例例2证明齐次方程组的解集证明齐次方程组的解集是一个向量空间是一个向量空间.以后称为齐次方程组的以后称为齐次方程组的.目录 上页 下页 返回 结束 例例3证明非齐次方程组的解集证明非齐次方程组的解集不是向量空间不是向量空间.0,|bbAxxS证证设设 ,而而 S S 0 S 对加法运算不封闭对加法运算不封闭.或或SbbAA 222)2(S 对数乘运算不封闭对数乘运算不封闭.目录 上页 下页 返回 结束 维向量，集合维向量，集合为两个已知的为两个已知的设设n ,RxL ,是向量空间是向量空间.Lx 111设设Lx 222,Lxx )()(212121Lkkkx )()(111例例4证证 目录 上页 下页 返回 结束 Rxximm ,|2211设设 是一向量组是一向量组,称称m ,21为由该向量组为由该向量组.记为记为),(),(2121mmspanL 或或 特别地特别地,由矩阵由矩阵 A 的列向量生成的向量空间称为的列向量生成的向量空间称为 A的的列空间列空间(或称或称像空间像空间或称或称值域值域).记为记为R(A),|)(R2211RxxxxyyAinn ,|nRxAxyy ,21nA 目录 上页 下页 返回 结束 例例5设向量组设向量组 与向量组与向量组 等价等价,m ,1s ,1 RxLimm 22111 RxLiss 2211221LL 证明证明.,11线性表示线性表示可由可由，则，则设设mxLx 可由可由线性表示，故线性表示，故可由可由因因xsm ,11线性表示线性表示s ,1212LLLx 同理同理12LL 证证 目录 上页 下页 返回 结束 向量空间向量空间 的一个最大无关组的一个最大无关组,称为称为 V 的的一个一个(或坐标系或坐标系).基所含向量的个数基所含向量的个数 r 又称为又称为 V 的的.记为记为 dim(V)=r.此时称此时称 V 是是.设有向量空间设有向量空间 及及 ，若，若 ，就称，就称 是是的的21VV 1V2V1V2VRVn 0.的子空间的子空间总是总是所以所以RVn设设 是由是由 维向量所组成的向量空间，则维向量所组成的向量空间，则Vn 0V 如果 0V 规定dim0V 目录 上页 下页 返回 结束 设向量空间设向量空间 V 的一个基为的一个基为 ,则则对对 V 中的任一向量中的任一向量 可唯一地表示为可唯一地表示为r ,21 rrxxx 2211数组数组 或向量或向量 称为称为向量向量 在基在基 下的下的.rxxx,21Trxxxx),(21 r ,21),(21mspanV Rximm 2211的一个基显然就是向量组的一个基显然就是向量组 的一个最的一个最大无关组，其维数就是该向量组的秩。大无关组，其维数就是该向量组的秩。m ,21 目录 上页 下页 返回 结束 例如：中任意n个线性无关的向量都是nRnR的一组基特别的称12(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)TTTneee为nR的自然基自然基。例例6.设向量组TTTTT12345(1,1,2,5),(2,2,5,12),(1,1,2,3),(5,5,5,5),(1,1,3,7)求向量空间15span(,)V的一组基，并求dimV解法解法1把向量按列排成矩阵用初等变换化成阶梯形121511 2151121510 1415 12525 30 00005 1235 70 0000r知12,是向量组15,的一个极大无关组，也是V的一组 目录 上页 下页 返回 结束 基，从而dimV=2.解法解法2把向量按行排成矩阵A，把A用初等行变换化成阶梯形，则阶梯形矩阵U的非零行向量是与A的行向量组等价的线性无关组，也是V的一个基11251101225120012112300005555000011370000r知12(1,1,0,1),(0,0,1,2)TT是V的一组基，且dim2V 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理4.5.1(基的扩张定理基的扩张定理)设1,m是nR的一组线性无关组，mn则存在n-m个向量1,mna使得11,mmn为nR的一组基。例例7 设1212span,span,V 其中TT12(1,1,2,5),(2,2,5,12)12(1,1,0,1),(0,0,1,2)TT分别求(1,1,3,7)T在基12,和基12,下的坐标解解解线性方程组1 122xx得121,1xx 故12,所以在基12,的坐标为 1,1.T同理得在基12,下的坐标1,3.T 目录 上页 下页 返回 结束 定义定义4.5.6设r维向量空间的两个基1,r和1,r则1,r可由1,r线性表示11121212221112,rrrrrrrrppppppppp 则称矩阵()ijPp 为由基1,r到基1,r的过渡矩阵过渡矩阵显然，过渡矩阵一定是可逆矩阵过渡矩阵一定是可逆矩阵，这是因为1rank,rankrrPrrankPr 目录 上页 下页 返回 结束 设向量在基1,r下坐标为T1(,)rxxx在基1,r下坐标为T1(,)ryyy基1,r到基1,r的过渡矩阵为P，则1111,rrrrxyxy1111,rrrrxyPxy11rrxyPxy111rryxPyx(坐标变换公式坐标变换公式)目录 上页 下页 返回 结束 例例8.设1212span,span,V 其中TT12(1,1,2,5),(2,2,5,12)12(1,1,0,1),(0,0,1,2)TT求由基12,到12,的过渡矩阵。解解把矩阵1212,A 用初等行变换成最简阶梯形矩阵121010521210012125010000512120000rA 11221252,2 121252,21 即5221P 目录 上页 下页 返回 结束 4.6 一、一、二、二、三、三、目录 上页 下页 返回 结束 在前面的章节学习中，我们已经研究的关于线性在前面的章节学习中，我们已经研究的关于线性方程组的求解问题，本章将在整理前面知识点的同时，方程组的求解问题，本章将在整理前面知识点的同时，深入研究解的性质和解的结构。深入研究解的性质和解的结构。目录 上页 下页 返回 结束(4-1)mnmnaaaaA1111 mbbb1 nxxx1bAx ()bxxxbAxnn 2121),(bxxxnn 2211()mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111()目录 上页 下页 返回 结束 非齐次方程组解的存在性定理非齐次方程组解的存在性定理对于对于方程组方程组)0(bbxAnm )()()()()1(ArArArAr 无解无解有解有解nArAr )()()2(有唯一解有唯一解nArAr )()()3(有无限多解有无限多解(4-1)目录 上页 下页 返回 结束 对于对于方程组方程组0 xAnmnAr)(只有零解只有零解nAr)(有非零解即有无限多解有非零解即有无限多解(1)A的列向量组线性无的列向量组线性无关关(2)A的列向量组线性相关的列向量组线性相关 目录 上页 下页 返回 结束 1111221,1112112222,1121122,11nnnnnnnnn nnnna xa xaxaa xa xaxaa xa xaxa 例例1 设设n(n2)阶方阵阶方阵A是可逆矩阵，证明是可逆矩阵，证明无解。无解。例例2 对于非齐次方程组对于非齐次方程组m nAXb (1)证明证明:如果如果AX=b有唯一解，则有唯一解，则AX=0仅有零解；仅有零解；(2)如果如果AX=0仅有零解，则仅有零解，则AX=b一定有唯一解吗？一定有唯一解吗？目录 上页 下页 返回 结束(2)解集的秩是多少解集的秩是多少?(3)解集的最大无关组解集的最大无关组(又称为又称为)如何求如何求?0 Ax齐次方程组齐次方程组(假设有无穷多解假设有无穷多解)(1)解集的特点解集的特点?目录 上页 下页 返回 结束 性质性质1：若若 是是(4-3)的解，的解，12,解空间解空间:0AX 的所有解向量的集合的所有解向量的集合S，对加法和数乘，对加法和数乘都封闭，所以构成一个向量空间，称为这个齐次都封闭，所以构成一个向量空间，称为这个齐次线性方程组的线性方程组的解空间解空间。|0,nSX AXXR的解。的解。也是也是则则)34(21 性质性质2：,)34(1Rk 的解，的解，是是若若 的解。的解。也是也是则则)34(1 k注：注：如果如果(4-3)只有零解，解空间是零空间。只有零解，解空间是零空间。如果如果(4-3)有非零解，解空间是非零空间。有非零解，解空间是非零空间。而在解空间中，基的概念我们在这里称为基础解系。而在解空间中，基的概念我们在这里称为基础解系。首先回答问题首先回答问题(1)目录 上页 下页 返回 结束 0252 062 420832 03 2 543215421543215421xxxxxxxxxxxxxxxxxx通过下面的例子通过下面的例子,针对一般的方程组针对一般的方程组例例1回答所提问题回答所提问题.rAxAnm )r(,0 目录 上页 下页 返回 结束 54354215432xxxxxxx:对系数矩阵对系数矩阵 A 初等行变换化行最简形初等行变换化行最简形 BBAr 0000000000541003102125121620428312131021从行最简形能得到什么？从行最简形能得到什么？：写出同解的方程组：写出同解的方程组(保留第一个未知数在方程保留第一个未知数在方程的左边的左边,其余的都移到右边其余的都移到右边.右边的又叫自由变量右边的又叫自由变量)自由变量的个数自由变量的个数=?目录 上页 下页 返回 结束 332211105-030140100012 kkkx352412,kxkxkx :令自由变量为任意实数令自由变量为任意实数写出通解，再改写成向量形式写出通解，再改写成向量形式 3524323123211 54 32kxkxkkxkxkkkx321,是解吗是解吗?321,线性无关吗线性无关吗?任一解都任一解都 可由可由 表示吗表示吗?321,321,是基础解系吗是基础解系吗?基础解系所含向量的个数基础解系所含向量的个数=?:写出基础解系写出基础解系TTT)1,0,5,0,3(,)0,1,4,0,1(,)0,0,0,1,2(321 目录 上页 下页 返回 结束 再来分析一下基础解系的由来再来分析一下基础解系的由来:332211105-030140100012 kkkx)1(54325435421 xxxxxxx第二步的同解方程组为第二步的同解方程组为第三步的通解为第三步的通解为1 就是就是 001542xxx取取代入同解方程组代入同解方程组(1)中求得中求得31,xx然后再拼成的解向量然后再拼成的解向量.类似的类似的 目录 上页 下页 返回 结束 这就启发我们这就启发我们,由于基础解系所含解向量的个数正好由于基础解系所含解向量的个数正好等于自由变量的个数等于自由变量的个数(这里这里3个个).,542xxx只要令只要令为三个线性无关的向量为三个线性无关的向量.代入同解方程组代入同解方程组(1)中求得中求得31,xx然后再拼成解向量然后再拼成解向量.必然是线性无关的必然是线性无关的,从而也是基础解系从而也是基础解系.由此得到下面的解法二由此得到下面的解法二.目录 上页 下页 返回 结束:同前同前:同前同前)1(54325435421 xxxxxxx:令令 111,011,001542xxx代入代入(1)求求31,xx再拼基础解系再拼基础解系:11116,01413,00012321 :写出通解写出通解)(332211Rkkkkxi 目录 上页 下页 返回 结束 设设A是是mn 矩阵，如果矩阵，如果(),r Arn则齐次线性方程组则齐次线性方程组0AX 的基础解系存在，的基础解系存在，且每个基础解系中含有且每个基础解系中含有nr 个解向量。个解向量。设设A是是mn 矩阵，如果矩阵，如果(),r Arn则齐次线性方程组则齐次线性方程组0AX 的任意的任意 个线性无关个线性无关的解向量均可构成基础解系。的解向量均可构成基础解系。nr 目录 上页 下页 返回 结束 xxxxxxxxxxxx123123123123230361002570240 解：解：1233610257124A 3,r An所以只有零解，基础解系不存在。所以只有零解，基础解系不存在。例例2:求下列齐次方程组求下列齐次方程组 000100010001 目录 上页 下页 返回 结束 例例4设设 ,是是 的的1)(nArnm21,0 Ax两个不同的解向量两个不同的解向量,k 取任意实数取任意实数,则则 Ax=0 的通解是的通解是)(D)(C)(B)(A)212121 kkkk例例3 求四元方程组求四元方程组 的基础解系。的基础解系。004221xxxx 目录 上页 下页 返回 结束 设设 ,证明证明OBAlnnm nBrAr )()(证证,21lB 记记则由则由),1(0liAOABi 说明说明),1(lii 都是都是0 Ax的解的解)()(,21ArnANrrl 因此因此nBrAr )()(移项移项 目录 上页 下页 返回 结束 的三个解向量，的三个解向量，是是设设OAXAR 32156,2)(且线性无关，则且线性无关，则_是是AX=O的基础解系。的基础解系。;,)1(3221 ;,)2(321 ;,)3(133221 .,)4(133221 (2),(3)的不同的解，的不同的解，是是设设OAX 21,1)(nARnm则则_可为可为AX=O的基础解系。的基础解系。;)1(11 k;)2(22 k);()3(21 k).()4(21 k(4)(1)(2)目录 上页 下页 返回 结束 例例5)()()(TTAArAArAr 证明证明设设 ,首先证明首先证明nmA 0)(,0)(,0 xAAxAxxAATT即即则则满满足足若若00)()(AxAxAxT同同解解与与0)(0 xAxAnnTnmA)()()()(AArArAAr nArnTT 因此因此即即则则满足满足若若,0)(,0)(xAxAxAxATTT)()()()(ArArAArAArTTTTT 利用这一结论利用这一结论证证 目录 上页 下页 返回 结束 例例6求一个齐次方程组求一个齐次方程组,使它的基础解系为使它的基础解系为T)3,2,1,0(1 T)0,1,2,3(2 记之为记之为 AB=O,这相当于要解矩阵方程这相当于要解矩阵方程,习惯把未知习惯把未知OABTT 0 xBT的的 A 放在右边放在右边,转置转置,只需解只需解然后再把这些解拼成然后再把这些解拼成 的列的列(A 的行的行)即可即可.TA 01233210TB解解 得基础解系得基础解系0 xBT,)0,1,2,1(1T T)1,0,3,2(2 设所求的齐次方程组为设所求的齐次方程组为 ,则则0 AxOA,21 取取 1032012121TTA 即可即可.解解 目录 上页 下页 返回 结束 三、三、以下总假设以下总假设)1(bxAnm 有解有解,而其对应的齐次方程组而其对应的齐次方程组)2(0 xAnm的基础解系为的基础解系为rn ,21这里这里)r(Ar 目录 上页 下页 返回 结束)1(.bxAnm )2(.0 xAnm()设设 都是都是(1)的解的解,则则21,21 x是是(2)的解的解.()设设 是是(1)的解的解,是是(2)的解的解,则则 仍是仍是(1)的解的解.x设设 是是(1)的一个解的一个解(固定固定),则对则对(1)的任一解的任一解 x x是是(2)的解的解,从而存在从而存在 使得使得ikrnrnkkkx 2211)3(2211 rnrnkkkx又形如又形如(3)的向量的向量(任取任取)都是都是(1)的解的解.ik由此得由此得:()注：非齐次方程组的解集不是空间。注：非齐次方程组的解集不是空间。目录 上页 下页 返回 结束)(2211Rkkkkxirnrn AxbAxb()N A12,n r()N AAxbx|,()VN A 目录 上页 下页 返回 结束 .2132,13,0432143214321xxxxxxxxxxxx 2132111311101111A,00000212100211011 例例7故方程组有无穷多解故方程组有无穷多解可见可见,42)()(ArAr解解 目录 上页 下页 返回 结束 212 2143421xxxxx,042 xx取取,2131 xx则则T)0,0,(2121 xxxxx434212 在对应的齐次方程中在对应的齐次方程中取取,100142 及及xx,210131 及及则则xx,1201,0011 21 得齐次方程组的基础解系得齐次方程组的基础解系).,(,0210211201001121214321Rccccxxxx 于是所有通解于是所有通解即得方程组的一个解即得方程组的一个解 目录 上页 下页 返回 结束 例例8设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3,已知已知 是它的三个解向量是它的三个解向量,且且321,4321,5432321 求该方程组的通解求该方程组的通解.解解T)6,5,4,3()(2321 取取 ,则它就是解则它就是解,从而也是基从而也是基础解系础解系.基础解系所含向量个数基础解系所含向量个数=4 3=1故非齐次方程组的通解为故非齐次方程组的通解为)(1Rkkx 目录 上页 下页 返回 结束 例例9 假设假设123,是是AX 的三个解向量，的三个解向量，r(A)=2,已知已知12232(1,2,0),(1,2,3)TT求求AX 的通解。的通解。