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数 学 精 品 课 件北 师 大 版阶段方法技巧训练（一）阶段方法技巧训练（一）专训专训1 1用二次函数解决问用二次函数解决问 题的四种类型题的四种类型习题课习题课 利用二次函数解决实际问题时，要注意数形利用二次函数解决实际问题时，要注意数形结合，巧妙地运用二次函数解析式实行建模，从结合，巧妙地运用二次函数解析式实行建模，从而达到应用二次函数的某些性质来解决问题的目而达到应用二次函数的某些性质来解决问题的目的的1类型类型建立平面直角坐标系解决实际问题建立平面直角坐标系解决实际问题1如图是某地区一条公路上隧道入口在平面直角坐如图是某地区一条公路上隧道入口在平面直角坐 标系中的示意图，点标系中的示意图，点A和和A1、点、点B和和B1分别关于分别关于y 轴对称隧道拱部分轴对称隧道拱部分BCB1 为一段抛物线，最高点为一段抛物线，最高点C离离 路面路面AA1的距离为的距离为8 m，点，点 B离路面离路面AA1的距离为的距离为6 m，隧道宽隧道宽AA1为为16 m.题型题型1 拱桥拱桥(隧道隧道)问题问题(1)求隧道拱部分求隧道拱部分BCB1对应的函数解析式对应的函数解析式由已知得由已知得OAOA18 m，OC8 m，AB6 m故故C(0，8)，B(8，6)设抛物线设抛物线BCB1对应的函数解析式为对应的函数解析式为yax28，将将B点坐标代入，得点坐标代入，得a(8)286，解得解得a所以所以y x28(8x8)解解：1,32132(2)现有一大型货车，装载某大型设备后，宽为现有一大型货车，装载某大型设备后，宽为4 m，装载设备的顶部离路面均为装载设备的顶部离路面均为7 m，问：它能否安，问：它能否安 全通过这个隧道？并说明理由全通过这个隧道？并说明理由能若货车从隧道正中行驶，则其最右边到能若货车从隧道正中行驶，则其最右边到y轴的轴的距离为距离为2 m如图，设抛物线上横坐标为如图，设抛物线上横坐标为2的点为点的点为点D，过点，过点D作作DEAA1于点于点E.当当x2时，时，y 228即即D 所以所以DE m.因为因为 7，所以该货车能安全通过这个隧道，所以该货车能安全通过这个隧道解解：13277,872,7,8骣桫7787782某公园草坪的防护栏由某公园草坪的防护栏由100段形状相同的抛物线组成，段形状相同的抛物线组成，为了牢固，每段防护栏需要间距为了牢固，每段防护栏需要间距0.4 m加设一根不锈加设一根不锈 钢的支柱，防护栏的最高点到底部距离为钢的支柱，防护栏的最高点到底部距离为0.5 m(如图如图)，则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度为则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度为()A50 m B100 m C160 m D200 m题型题型2 建筑物问题建筑物问题C3.如图，在水平地面点如图，在水平地面点A处有一网球发射器向空中发处有一网球发射器向空中发 射网球，网球飞行路线是一条抛物线，在地面上的射网球，网球飞行路线是一条抛物线，在地面上的 落点为落点为B.有人在直线有人在直线AB上点上点C(靠点靠点B一侧一侧)处竖直向处竖直向 上摆放无盖的圆柱形桶，试图让网上摆放无盖的圆柱形桶，试图让网 球落入桶内已知球落入桶内已知AB4米，米，AC 3米，网球飞行最大高度米，网球飞行最大高度OM5米，米，圆柱形桶的直径为圆柱形桶的直径为0.5米，高为米，高为0.3 米米(网球的体积和圆柱形桶的厚度网球的体积和圆柱形桶的厚度 忽略不计忽略不计)题型题型3 物体运动类问题物体运动类问题(1)如果竖直摆放如果竖直摆放5个圆柱形桶，网球能不能落入桶内？个圆柱形桶，网球能不能落入桶内？以点以点O为原点，为原点，AB所在直线为所在直线为x轴，轴，AB的垂直平分的垂直平分线为线为y轴建立如图的直角坐标系，轴建立如图的直角坐标系，则有则有M(0，5)，B(2，0)，C(1，0)，D设抛物线的解析式为设抛物线的解析式为yax2c，由抛物线过点由抛物线过点M和点和点B，可得可得a c5.故抛物线的解析式为故抛物线的解析式为y x25.解解：3,0.2骣桫5,454当当x1时，时，y ；当；当x 时，时，y .故故 ，两点在抛物线上两点在抛物线上当竖直摆放当竖直摆放5个圆柱形桶时，个圆柱形桶时，桶高为桶高为0.351.5 (米米)且且 ，网球不能落入桶内网球不能落入桶内154323516151,4骣桫335,216骣桫3232154323516(2)当竖直摆放多少个圆柱形桶时，网球可以落入当竖直摆放多少个圆柱形桶时，网球可以落入 桶内？桶内？设竖直摆放设竖直摆放m个圆柱形桶时，网球可以落入桶内个圆柱形桶时，网球可以落入桶内由题意，得由题意，得 0.3m ，解得解得 m .m为整数，为整数，m的值为的值为8，9，10，11，12.当竖直摆放当竖直摆放8个，个，9个，个，10个，个，11个或个或12个圆柱个圆柱 形桶时，网球可以落入桶内形桶时，网球可以落入桶内解解：7724154351611222类型类型建立二次函数模型解决几何最值问题建立二次函数模型解决几何最值问题4.如图，小明的父亲在相距如图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根米的两棵树间拴了一根 绳子，给小明做了一个简易的秋千拴绳子的地绳子，给小明做了一个简易的秋千拴绳子的地 方距地面高都是方距地面高都是2.5米，绳子自然米，绳子自然 下垂呈抛物线状，身高下垂呈抛物线状，身高1米的小明米的小明 距较近的那棵树距较近的那棵树0.5米时，头部刚米时，头部刚 好接触到绳子，则绳子的最低点好接触到绳子，则绳子的最低点 距地面的高度为距地面的高度为_米米题型题型1 利用二次函数解决图形高度的最值问题利用二次函数解决图形高度的最值问题0.55如图所示，正方形如图所示，正方形ABCD的边长为的边长为3a，两动点，两动点E，F分别从顶点分别从顶点B，C同时开始以相同速度沿边同时开始以相同速度沿边BC，CD运动，与运动，与BCF相应的相应的EGH在运动过程中在运动过程中 始终保持始终保持EGH BCF，B，E，C，G在一条直线在一条直线 上上题型题型2 利用二次函数解决图形面积的最值问题利用二次函数解决图形面积的最值问题(1)若若BEa，求，求DH的长的长(1)连接连接FH，EGH BCF，BCEG，HGFC，GBCF，CGBE，HGFC，四边形四边形FCGH是平行四边形，是平行四边形，FH CG，DFHDCG90.由题意可知，由题意可知，CFBEa.在在RtDFH中，中，DF3aa2a，FHa，DH解解：225.DFFHa+=+=(2)当当E点在点在BC边上的什么位置时，边上的什么位置时，DHE的面积的面积 取得最小值？并求该三角形面积的最小值取得最小值？并求该三角形面积的最小值(2)设设BEx，DHE的面积为的面积为y.依题意，依题意，得得ySCDES梯形梯形CDHGSEGH 3a(3ax)(3ax)x 3ax，y x2 ax a2，即，即y 当当x a，即，即E是是BC的中点时，的中点时，y取得最小值，取得最小值，即即DHE的面积取得最小值，最小值是的面积取得最小值，最小值是 a2.解解：12123212129221327.228xaa骣-桫+322783类型类型建立二次函数模型解决动点探究问题建立二次函数模型解决动点探究问题6如图所示，直线如图所示，直线y x2与与x轴、轴、y轴分别交于点轴分别交于点 A，C，抛物线过点，抛物线过点A，C和点和点B(1，0)(1)求抛物线的解析式；求抛物线的解析式；(2)在在x轴上方的抛物线上有一动点轴上方的抛物线上有一动点D，当，当D与直线与直线 AC的距离的距离DE最大时，求出最大时，求出 点点D的坐标，并求出最大距的坐标，并求出最大距 离离12(1)在在y x2中，中，令令x0，得，得y2；令；令y0，得，得x4，A(4，0)，C(0，2)设抛物线的解析式为设抛物线的解析式为yax2bxc(a0)点点A(4，0)，B(1，0)，C(0，2)在抛物线上，在抛物线上，解解：164002.abcabcc ，1212522.abc ，解解得得，抛物线的解析式为抛物线的解析式为y x2 x2.1252(2)设点设点D的坐标为的坐标为(x，y)，则则y x2 x2(1x4)在在RtAOC中，中，OA4，OC2，由勾股定理得由勾股定理得AC2 如图所示，连接如图所示，连接CD，AD.过点过点D作作DFy轴于点轴于点F，过点，过点A作作AGFD交交FD 的延长线于点的延长线于点G，则则FGAO4，FDx，DG4x，OFAGy，FCy2.12525.SACDS梯形梯形AGFCSCDFSADG (AGFC)FG FCFD DGAG (yy2)4 (y2)x (4x)y 2yx4.将将y x2 x2代入，代入，得得SACD2yx4x24x(x2)24，当当x2时，时，y1，此时，此时SACD最大，且最大值为最大，且最大值为4.D(2，1)1212121212121252SACD ACDE，AC当当ACD的面积最大时，高的面积最大时，高DE最大，最大，则则DE的最大值为的最大值为当当D与直线与直线AC的距离的距离DE最大时，点最大时，点D的坐标为的坐标为 (2，1)，最大距离为，最大距离为444 5.1152 522AC 122 5.4 5.54类型类型建立二次函数模型作决策问题建立二次函数模型作决策问题7有一例题：有一例题：有一个窗户形状如图所示，上部有一个窗户形状如图所示，上部 是一个半圆，下部是一个矩形如是一个半圆，下部是一个矩形如 果制作窗框的材料总长为果制作窗框的材料总长为6 m，如何，如何 设计这个窗户，使透光面积最大？设计这个窗户，使透光面积最大？题型题型1 几何问题中的决策几何问题中的决策这个例题的答案是：当窗户半圆的半径约为这个例题的答案是：当窗户半圆的半径约为0.35 m时，透光面积最大值约为时，透光面积最大值约为1.05 m2.我们如果改变这个窗户的形状，上部改为由两个正我们如果改变这个窗户的形状，上部改为由两个正方形组成的矩形，材料总长仍为方形组成的矩形，材料总长仍为6 m，如图所示解答下列问，如图所示解答下列问题：题：(1)若若AB为为1 m，求此时窗户的透光面积，求此时窗户的透光面积由已知可得由已知可得AD (m)，则窗户的透光面积为则窗户的透光面积为 1 (m2)解解：16 1 1 152245454(2)与例题比较，改变窗户形状后，窗户透光面积的与例题比较，改变窗户形状后，窗户透光面积的 最大值有没有变大？请通过计算说明最大值有没有变大？请通过计算说明设设ABx m，则，则AD m，3 x0，且，且x0，0 x .设窗户的透光面积为设窗户的透光面积为S m2，由已知得，由已知得SABADx x23x 解解：734x骣-桫74127734x骣-桫742769,477x+骣=-桫x 在在0 x 的范围内，的范围内，当当x 时，时，S最大值最大值 1.05.与例题比较，改变窗户形状后，窗户透光面积与例题比较，改变窗户形状后，窗户透光面积 的最大值变大的最大值变大6712767978【2016武汉武汉】某公司计划从甲、乙两种产品中选某公司计划从甲、乙两种产品中选 择一种生产并销售，每年产销择一种生产并销售，每年产销x件已知产销两种件已知产销两种 产品的有关信息如表：产品的有关信息如表：题型题型2 实际问题中的决策实际问题中的决策产品产品每件售价每件售价(万元万元)每件成本每件成本(万元万元)每年其他每年其他费用费用(万元万元)每年最大产每年最大产销量销量(件件)甲甲6a20200乙乙2010400.05x280其中其中a为常数，且为常数，且3a5.(1)若产销甲、乙两种产品的年利润分别为若产销甲、乙两种产品的年利润分别为y1万元、万元、y2万元，直接写出万元，直接写出y1，y2与与x的函数关系式；的函数关系式；(1)y1(6a)x20，(0 x200)y2(2010)x400.05x2 0.05x210 x40.(0 x80)解解：(2)分别求出产销两种产品的最大年利润；分别求出产销两种产品的最大年利润；(2)对于对于y1(6a)x20，3a5，6a0，x200时，时，y1最大值最大值(1 180200a)万元万元 对于对于y20.05(x100)2460，0 x80，x80时，时，y2最大值最大值440万元万元解解：(3)为获得最大年利润，该公司应该选择产销哪种为获得最大年利润，该公司应该选择产销哪种 产品？请说明理由产品？请说明理由(3)1 180200a440，解得，解得a3.7；1 180200a440，解得，解得a3.7；1 180200a440，解得，解得a3.7.3a5，当当a3.7时，产销甲、乙两种产品的年利润相同；时，产销甲、乙两种产品的年利润相同；当当3a3.7时，产销甲产品年利润比较高；时，产销甲产品年利润比较高；当当3.7a5时，产销乙产品年利润比较高时，产销乙产品年利润比较高解解：
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