随机过程课件

随 机 过 程 课 件一、问题的提出一、问题的提出二、随机过程的概念二、随机过程的概念三、随机过程举例三、随机过程举例四、小结四、小结第一节随机过程的概念一、问题的提出例例1 投硬币实验：某人仍一枚硬币，无限制的重复仍下去，投硬币实验：某人仍一枚硬币，无限制的重复仍下去，记正面为记正面为0，反面为，反面为1，nX=第n次仍的结果n则X，n1构成了一个随机过程例例2 电话总机服务实验：某电话总机在电话总机服务实验：某电话总机在0,t时间内接到的呼时间内接到的呼叫叫 次数是一个随机变量，记次数是一个随机变量，记X(t)为为0,t内的呼叫次数内的呼叫次数在概率论中曾指出，在单位时间内一电话站接到的呼唤在概率论中曾指出，在单位时间内一电话站接到的呼唤次数可用一离散型随机变量次数可用一离散型随机变量X()表示，且有PX(),k0,1,2,(0)!kkek在在0，t时间内时间内接到的呼唤次数接到的呼唤次数,这一随机变量可记为这一随机变量可记为X(tX(t)。()PX(t),k0,1,2,(0)!kttkek0则X(t)，t构成了一个随机过程注：上例中的每一条曲线或点图称为一个样本函数注：上例中的每一条曲线或点图称为一个样本函数注：随机过程实际上就是一族无限多个随机变量构成的集合注：随机过程实际上就是一族无限多个随机变量构成的集合注：随机过程中，样本函数的出现是随机的注：随机过程中，样本函数的出现是随机的例例3 热噪声电压热噪声电压电子元件或器件由于内部微观粒子电子元件或器件由于内部微观粒子(如电子如电子)的随机热骚动所引起的端电压称为的随机热骚动所引起的端电压称为热噪声电压热噪声电压.,().tV t热噪声电压在任一确定时刻 的值是一随机变量 记为对某无线电接收设备的热噪声电压在相同条对某无线电接收设备的热噪声电压在相同条件下进行测量件下进行测量.得到如下的电压得到如下的电压时间曲线时间曲线.1()V t2()V t3()V t(),0()V t tV t是一族随机变量，则是一个随机过程 例例4 4 具有随机初相位的简谐波具有随机初相位的简谐波 其中其中a a与与 是正常数，而是正常数，而 服从在区间服从在区间00，2 2 上的均匀分布。上的均匀分布。0()cos(),-tX tat 0-4-224-1-0.50.51 当当t t固定时固定时,X(t,X(t)是随机变量是随机变量,故故X(tX(t),t0),t0是一族随机变量是一族随机变量。另一方面，对随机变量。另一方面，对随机变量 做一次试验得一个试验值做一次试验得一个试验值 ，就是一条样本曲线。就是一条样本曲线。0()cos()X tat二、随机过程的概念(,)(),X t tT(),X t tT 1 1 定义定义 参数集：设参数集：设T是实数轴是实数轴 上的一个子集，且包含无限多上的一个子集，且包含无限多个数。随机过程是一族随机变量，可用个数。随机过程是一族随机变量，可用 来表示。来表示。T称为称为随机过程的参数集随机过程的参数集。随机过程随机过程 还可以看成自变量是还可以看成自变量是t，因变量是随机，因变量是随机变量的函数，所以随机过程亦称为变量的函数，所以随机过程亦称为随机函数随机函数。定义定义：设：设 是一概率空间，是一概率空间，T是一个实的参数集是一个实的参数集,若对若对每一每一 tT,均有定义在均有定义在 上的一个随机变量上的一个随机变量 与与之对应，则称依赖于参数之对应，则称依赖于参数 t 的随机变量族的随机变量族 为一为一随机过程随机过程。记。记为为(,)F P(,)F P(,),()X t(,)X t(,),X X t tT;X(t),tT简记为或。当当t t和和 都固定时都固定时,是确定的实数是确定的实数,称为称为样本函数在样本函数在t t处处的数值。的数值。(,)Xt 随机过程可简记为随机过程可简记为 此时样本用函此时样本用函数数x(tx(t)表示表示,进行多次试验所得的样本函数为进行多次试验所得的样本函数为 。随机。随机过程过程X(tX(t),),当当t t固定时，为一随机变量，即是在固定时，为一随机变量，即是在t t时刻的状态时刻的状态。随机。随机变量变量X(t)(tX(t)(t固定，固定，t tT)所可能取值构成实数集，称为所可能取值构成实数集，称为随机过程随机过程的状态空间或值域的状态空间或值域。每个可能取的值称为一个。每个可能取的值称为一个状态状态。(),T,X tt通常不指出。12(),(),x tx t(),(),(),.X ttTTtx ttT对随机过程进行一次试验 即在上进行一次全程观测其结果是 的函数 记为称它为随机过程的一个或样样本本函函数数样样本本曲曲线线.所有不同的试验结果构成一族样本函数随机过程随机过程样本函数样本函数总体总体个体个体例例1 抛掷一枚硬币的试验抛掷一枚硬币的试验,样本空间样本空间 S=H,T,现定义现定义cos,()(,),tHX tttT 当出现当出现()()1 2.P HP T其中,(.)t X tS对任意固定的是定义在 上的随机变量,().t X t对不同的是不同的随机变量(),(,),.X tt 是一族随机变量 是随机过程三、随机过程举例:cos,t t样本函数的集合:(,)状态空间 分类分类 （1）离散参数、离散状态的随机过程。如例）离散参数、离散状态的随机过程。如例1，T=1,2,状态空间有状态空间有0 和和 1 两个数构成。两个数构成。（2 2）离散参数、连续状态的随机过程。如独立标准正态随机）离散参数、连续状态的随机过程。如独立标准正态随机序列，序列，T=1,2,T=1,2,状态空间为状态空间为 。(,)（3）连续参数、离散状态的随机过程。如例）连续参数、离散状态的随机过程。如例2，T=0，状态空间由状态空间由0,1,2，构成。构成。（4）连续参数、连续状态的随机过程。如例）连续参数、连续状态的随机过程。如例3，T=0，状态空间为状态空间为-，。离散参数的随机过程亦称为离散参数的随机过程亦称为随机序列随机序列。(),.X t tT给定随机过程,(),tTX tt对固定的随机变量的分布函数一般与 有关记为(,)()R.,XFx tP X txx随机过程的随机过程的一维分布函数一维分布函数(,),XFx t tT一维分布函数族一维分布函数族四、随机过程的分布函数族1(2,3,),nn nttT对任意个不同的时刻12(),(),().nnX tX tX t引入 维随机变量分布函数分布函数1212(,;,)XnnFx xx t tt112222(),(),(),P X txX txX tx,n对固定的称1212(,;,),XnniFx xx t tttT .(),X ttT为的随机过程维维分分布布函函数数族族n 对任一固定对任一固定tTtT，任意两个固定的，任意两个固定的t t1 1，t t2 2TT，任意固定的，任意固定的t t1 1，t t2 2，,t,tn nTT，对应的，对应的X(tX(t),),具有具有连续概率分布，那么，连续概率分布，那么，1212(),(),(),(),()TTnX tX tX tX tX t(;)(;)f x tF x tx称为随机过程称为随机过程X(tX(t)的一维分布密度。的一维分布密度。21212121212(,;,)(,;,)f x x t tF x x t tx x 称为随机过程称为随机过程X(tX(t)的二维分布密度。的二维分布密度。1212121212(,;,)(,;,)nnnnnnf x xx t ttF x xx t ttx xx 称为随机过程称为随机过程X(tX(t)的的n n维分布密度。维分布密度。柯尔莫哥洛夫定理柯尔莫哥洛夫定理有限维分布函数族有限维分布函数族完全完全确定了随机过程的统计特性确定了随机过程的统计特性.注：具有连续概率分布的分布函数，对其变量的注：具有连续概率分布的分布函数，对其变量的偏导数称为随机过程的分布密度偏导数称为随机过程的分布密度例例设设 A,B 是两个独立随机变量是两个独立随机变量.均服从正态分布均服从正态分布N(0,1),(),(0,)X tAtB tT试求随机过程的一维分布函数例例设随机过程设随机过程X(t)=Acost，其中，其中A是随机变量，其分布为是随机变量，其分布为Ap1231/31/31/3求一维分布函数F(x;),F(4x,)2例例设随机过程设随机过程X(t)只有两条样本曲线只有两条样本曲线1212(,)cos,(,)cos()cos,(,0)()2/3,()1/3()(;0),(;/4)X tat X tatat tR aPPX tF xF x 求的分布函数五、小结1.随机过程的概念随机过程的概念(),(),.tTx t tT依赖于参数的一族 无限多个 随机变量称为随机过程 记为2.随机过程的实例及其分类随机过程的实例及其分类连续型随机过程连续型随机过程离散型随机过程离散型随机过程连续参数随机过程连续参数随机过程离散参数随机过程离散参数随机过程(随机序列随机序列)另一方面另一方面,有些分布有些分布(如二项分布、泊松分布如二项分布、泊松分布)的极的极限分布是正态分布限分布是正态分布.所以所以,无论在实践中无论在实践中,还是在理还是在理论上论上,正态分布是概率论中最重要的一种分布正态分布是概率论中最重要的一种分布.二项分布向正态分布的转换二项分布向正态分布的转换