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4.44.4相似三角形的性质相似三角形的性质 及其应用（及其应用（1 1）在在1010倍的放大镜下看三角形倍的放大镜下看三角形在在8 88 8的正方形网格中，的正方形网格中，ABCABCA A/B B/C C/，探究下面探究下面 的问题：的问题：1 1、这两个相似三角形的相似比是多少？、这两个相似三角形的相似比是多少？2 2、两个相似三角形两个相似三角形的周长比是多少？的周长比是多少？3 3、两个相似三角形两个相似三角形的面积比是多少？的面积比是多少？4 4、这两个相似三角形的周长之比与相似、这两个相似三角形的周长之比与相似比有什么关系？面积之比与相似比有什比有什么关系？面积之比与相似比有什么关系？么关系？B/C/A/B BA AC C验一验：验一验：是不是任何相似三角形都有此是不是任何相似三角形都有此关系呢？关系呢？D DD D/A AB BC CA A B B C CC C6 6+2 25 5+4 42 2=C C3 3+5 5+2 22 22 2(3 3+5 5+2 22 2)=3 3+5 5+2 22 26432/1 1 A A B B C C2 2 A AB BC CS SS S12=2=24 A AB BB BC CA AC C=2 2A A B BB B C CA A C CB/C/A/B BA AC C相似三角形的周长比等于相似比相似三角形的周长比等于相似比;相似三角形的相似三角形的面积比等于相似比的平方面积比等于相似比的平方 /2 2ABCABCA B CA B CS S=S Sk求证求证:已知已知:ABCA:ABCA/B B/C C/，证明：证明：ABCABCA A/B B/C C/且相似比为且相似比为k kAB=AB=kA A/B B/，BC=BC=kB B/C C/，AC=AC=kA A/C C/A AB BC CA A B B C CC CA AB B+B BC C+A AC C=C CA A B B+B BC C+A A C Ckk/(A B+B C+A C)(A B+B C+A C)=(A B+B C+A C)(A B+B C+A C)/ABCABCA B CA B CC C=C Ck/A AB BB BC CA AC C=A A B BB B C CA A C Ck相似比为相似比为k k,B/C/A/B BA AC C证明：作证明：作BCBC、B B/C C/边上的高边上的高ADAD、A A/D D/ABCABCA A/B B/C C/ADAB=A DA BkD DD D/已知已知:ABCA:ABCA/B B/C C/，相似比为，相似比为k,求证求证:/2 2A AB BC CA A B B C CS S=S Sk/A A B B C C A AB BC C1 1B B C CA A D DS S2 2=1 1S SB B C CA A D D2 2=/B BC CA AD DB B C CA A D D=kk=k2 2B/C/A/B BA AC C 相似三角形的周长比等于相似比相似三角形的周长比等于相似比;相似三角形的相似三角形的面积比等于相似比的平方面积比等于相似比的平方 1 1、已知两个三角形相似，请完成下列表格、已知两个三角形相似，请完成下列表格相似比相似比周长比周长比面积比面积比2 24 410010010010010000100002 2注意：周长比等于相似比，已知相似比或周长注意：周长比等于相似比，已知相似比或周长比，求面积比要比，求面积比要平方平方，而已知面积比，求相似，而已知面积比，求相似比或周长比则要比或周长比则要开方开方。三者知道其中一个就可。三者知道其中一个就可以求出另外两个。以求出另外两个。mmm2kk191313k例例:如图如图,是某市部分街道图，比例尺为是某市部分街道图，比例尺为1 1：10 00010 000；请；请估计三条道路围成的三角形地块估计三条道路围成的三角形地块ABCABC的实际周长和面积。的实际周长和面积。其中测得：其中测得：AB=3.4cmAB=3.4cm，BC=3.8cmBC=3.8cm，AC=2.5cmAC=2.5cm，高，高AD=2.2cmAD=2.2cmC C解：解：ABCABC的周长的周长=3.4+3.8+2.5=9.7cm=3.4+3.8+2.5=9.7cm1000017.9三角形地块的实际周长三角形地块的实际周长为三角形地块的实际周长为9.79.710104 4cmcm，即，即970m970mSSABCABC=3.8=3.82.22.22=4.182=4.18（cmcm2 2）210000118.4）（三角形地块的实际面积三角形地块的实际面积为三角形地块的实际面积为4.184.1810108 8cmcm2 2，即，即41800m41800m2 2D D答：估计三角形地块的周长为答：估计三角形地块的周长为970cm970cm，实际面积为，实际面积为41800m41800m2 2。A AB B3.43.42.22.23.83.82.52.5ABC如图，如图，E E、F F分别是分别是ABAB、ACAC上的点上的点,EFBC,EFBC，AE:AB=1:3AE:AB=1:3EF（1 1）若）若BC=9cm,EF=_BC=9cm,EF=_（2 2）AEFAEF与与ABCABC的周长之比的周长之比 =_=_（3 3）AEFAEF与与ABCABC的面积之比的面积之比 =_=_EF变变1:1:当当AFE=BAFE=B，AF=2,AB=5AF=2,AB=5时，你能得到哪些结论？时，你能得到哪些结论？若若ADBCADBC于点于点D,AGEFD,AGEF于点于点G,G,求求AD:AGAD:AG的值的值.DG变变2 2：若：若EFBCEFBC，AE:EB=1:2,ADBCAE:EB=1:2,ADBC于点于点D,D,交交EFEF于点于点H,H,AD=6cm,AD=6cm,求求AHAH的长的长.H H3cm3cm1 1：3 31 1：9 95 5：2 22cm2cm2 25 5ABCEF变变3 3：如图，已知如图，已知ABC,EFBC,ABC,EFBC,与与ABAB、ACAC分别交与点分别交与点E E、F F，把，把ABCABC划分划分成两部分（三角形与四边形）的成两部分（三角形与四边形）的面积之比为面积之比为1 1：1 1，则，则AEAE：AB=?AB=?如果要使划分成的两部分的面积之比为如果要使划分成的两部分的面积之比为1 1：2 2，则则AEAE：AB=?AB=?如果要使划分成的两部分的面积之比为如果要使划分成的两部分的面积之比为1 1：n n，则则AEAE：AB=?AB=?D1:1:21:1:31+n1:1:E EF F30cm18cmB BC CA A变变4:4:如图，已知如图，已知EF/BCEF/BC，AC=30cmAC=30cm，FC=18cmFC=18cm，ABCABC的周长为的周长为80cm80cm，面积为，面积为100cm100cm2 2，求，求AEFAEF的周长和面的周长和面积积过过F F作作FP/ABFP/AB交交BCBC于于P,P,其他条件其他条件不变，则不变，则FPCFPC的面积等于多少？的面积等于多少？P P1 1、相似三角形的性质：、相似三角形的性质：这些知识你掌握了吗？这些知识你掌握了吗？3 3、运用相似三角形的性质解决简单的几何问题、运用相似三角形的性质解决简单的几何问题相似三角形的相似三角形的对应周长之比对应周长之比=相似比相似比对应高之比对应高之比=相似比相似比对应面积之比对应面积之比=相似比的相似比的平方平方2 2、相似比、周长比、面积比中知道其中一个可以求、相似比、周长比、面积比中知道其中一个可以求 另两个量另两个量一、作业：一、作业：数学作业本数学作业本(2)P25-26(2)P25-26页页二、二、课后思考：课后思考：1 1、证明相似三角形的对应边上的中线、角平分线之比等于、证明相似三角形的对应边上的中线、角平分线之比等于 相似比。相似比。2 2、如图，、如图，ABCABC中，中，EFBC,PFABEFBC,PFAB，若设，若设S SABCABC=S=S，S SAEFAEF=S=S1 1，S SFCPFCP=S=S2.2.请猜想：请猜想：S S与与S S1 1、S S2 2之间存在怎样的之间存在怎样的 关系？你能加以验证吗？关系？你能加以验证吗？ABCE EF FP PABCE EF FG GH HJ JK K 3 3、如图，、如图，ABCABC中，中，EFGHBC,EFGHBC,AE=EG=GB,AE=EG=GB,AEFAEF、四边形、四边形 EFHGEFHG、四边形、四边形GHCBGHCB的面积的面积 依次记为依次记为S S1 1、S S2 2、S S3 3。则则 S S1 1:S:S2 2:S:S3 3=?=?如果延长如果延长ABAB、ACAC，使，使EFGHBCJK,AE=EG=GB=JK,EFGHBCJK,AE=EG=GB=JK,四边形四边形BCKJBCKJ的面积为的面积为S S4 4,则则S S1 1:S:S2 2:S:S3 3:S:S4 4=?=?S S1 1S S2 2S S3 3S S4 4其余条件不变，其余条件不变，AE:EG:GB=1:2:3,AE:EG:GB=1:2:3,则则S S1 1:S:S2 2:S:S3 3=?=?B/C/A/B BA AC C证明：证明：ABCABCA A/B B/C C/B=BB=B/ADAD、A A/D D/分别是分别是BCBC、B B/C C/边上的高边上的高ADB=AADB=A/D D/B B/=90=900 0ABDABDA A/B B/D D/ADABADAB=A DA BA DA BkD DD D/相似三角形的对应边上的高之比等于相似比相似三角形的对应边上的高之比等于相似比已知已知:ABCA:ABCA/B B/C C/，相似比为，相似比为k,=k/ADA DADAD、A A/D D/分别是分别是BCBC、B B/C C/边上的高，边上的高，求证求证:
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