销售额的回归模型

销售额回归模型20098511袁少伟摘要公司销售额是对公司综合收益的一个重要表现，某公司希望通过公司与全行 业销售额进行对比来对公司未来销售额进行预测。我们利用统计回归的方法，建 立了回归模型，并利用 MATLAB 软件进行模型的求解与分析，再通过对模型进行 变换，建立了优化后的回归模型。针对问题一:利用已知数据绘制散点图并建立起来线性回归模型1.4548 + 0.1763 xt，其拟合度是非常的好，看起来是合适的。针对问题二：利用残差e作为随机误差s的估计值，从e e 的散点图，ttf1能够从直观上定性的判断随机误差s存在自相关性；也可以用D-W检验法去定t量判断，对于本文中，由DW d，随机误差s存在自相关性。因此，模型1Ltyt = 1-4548 + 0.1763 二是不可取的。针对问题三：为了消除随机误差s存在的自相关性，我们对模型进行优化变t换后得到新的模型：y - 0.537126 + 0.630791y + 0.1763x 一 0.111208x，再对此模型用D-W检验法进行判定，由于d DW 4 d ，随机误差s无自相关性，因U2Ut此，这个模型就可以作为预测公司的销售额的问题的回归模型。关键词： 回归模型 时间序列 拟合 自相关性 DW 检验问题重述某公司想用全行业的销售额作为自变量来预测公司的销售额，附录 I 给出了 1977-1981 年公司销售额和行业销售额的分季度数据（单位：百万元）。（1） 画出数据的散点图，观察用线性回归模型拟合是否合适。（2）建立公司销售额对全行业销售额的回归模型，并用DW检验诊断随机误差项的自相关性。3） 建立消除了随机误差项自相关性后的回归模型。年季t公司销 售额y行业销 售额X年季t公司销售额y行业销 售额X19771120.96127.3197931124.54148.32221.40130.041224.30146.43321.96132.7198011325.00150.24421.52129.421425.64153.119781522.39135.031526.36157.32622.76137.141626.98160.73723.48141.2198111727.52164.24823.66142.821827.78165.619791924.10145.531928.24168.721024.01145.342028.78171.7表 1 某公司的销售额与全行业的销售额二、模型假设y t :公司的第t次季度销售额x t :全行业的第t次季度销售额a，b :模型I中的常量与系数yt :由模型求得的公司的第t次季度销售额et :公司的第t次季度销售额的残差三、模型的建立与分析1.绘制散点图利用已知表格（表1）绘制出散点图，绘制方法及程序见附录I28262420145155165175:亍业销售額与公销 窖额数搦的敎点图行业销售额与公司销售额数据的散 点图图1行业销售额与公司销售额数据的散点图根据图1，可以看出行业销售额增大，公司销售额也增大，且具有一定的线性关系，初步判断应以一次线性曲线为拟合目标，即选择线性回归模型，则目标函数为:y = a + bxtt2.模型分析利用Matlab程序求解a, b。程序设计见附录II。得到回归系数估计值a = - 1.4548 , b = 0.1763则拟合的线性回归模型I为：y =-1.4548 + 0.1763 xtt参数参数估计值置信区间0-1.4548-1.9047 , -1.0048 10.1763-1.9047 ,0.1793R2 =0.99879 F=1488.8 p=0.007拟合系数 a 和 b 的 95%的置信区间分别为:-1.9047-1.0048和1.90470.1793r中的数据表示模型拟合残差向量et ； rint中的数据表示模型拟合残差95%的置信区间；在states的数据中表示包含R2 = l.Oe + 004*0.0001沁1方差 分析的F统计量F = 1488.8方差分析的显著性概率p = 0.007模型方差的估计 值 2 = 0.0000四、自相关性诊断与处理从表面上看得到的基本模型I的拟合度非常之高（R2 = 1.0e + 004*0.0001沁1），应该很满意了。但是，这个模型并没有考虑到 我们的数据是一个时间序列（即将表1的年份序号打乱，不影响模型I的结果）。 实际上，在对时间序列数据做回归分析时，模型的随机误差项e有可能存在相关t性，违背模型关于e （对时间t）相互独立的假设。t残差e二y -y可以作为随机误差e的估计值，画出e e 的散点图（图 tttttt11），能够从直观上判断e的自相关性。模型I的残差e可以在计算中得到，如表2,tt数据ee 的散点图如图2,可以看到，大部分点子落在第 1,3象限，表明e存tt 1t在正的自相关。为了对e的自相关性作定量诊断，并在确诊后得到新的结果，我们考虑如下t模型：y = a + bx + e , e - ps + uttt tt 1t其中，p是自相关系数，I p 1 1 ，u相互独立且服从均值为零的正态分布，tt = 1,2,n,t123456et-0.0261-0.06200.02200.16380.04660.0464t789101112et0.0436-0.0584-0.0944-0.1491-0.1480-0.0531t131415161718et-0.02290.10590.08550.10610.02910.0423t1920et-0.0442-0.0330表2模型I的残差et图2模型I et eti的散点图tt1根据模型I得到的残差计算DW统计量如下:DW1tt=2=0.738418图 3 与 DW 值对应的自相关状态对于显著性水平a = 0.05, n = 20, k = 2 ,查 D-W 分布表，得到检验的临界值d = 1.20 和 d = 1.40。现在 DW d，L U 1 L由图 2 可以认为随机误差存在自相关。且正自相关系数p的估计值61 =1 -罟=1 -岁=0-630791y*t对模型中的变量作变换：=y -py = y - 0.630791 y ；tt -1tt -1x*t= x - pxtt -1= x - 0.630791 xtt -1则模型I化为:y*ta * + bx * +tu ,a* = a(1 - p ) ；t代入数据得到：y * =-0.537126t+ 0.1763 x* + utt将式中y*，x*还原为原始变量yt，xt得到结果即是模型 II：+ 0.1763 x - 0.111208 x .t -1tt -1 ；y =-0.537126 + 0.630791 yt结果分析：根据模型II得到的残差计算DW统计量如下： 龙（e - e丄DW = 1=1 t 匚=1.749672 20现在d DW 4-d，由图2可以认为随机误差无自相关,U 2 U从机理上看，对于带滞后性的经济规律作用下的时间序列数据，加入自相关模型 II 更为合理，而且在本题当中，衡量与实际数据拟合程度的指标剩余标准差从模型I的0.36514减小到0.28329。我们将模型II、模型I的计算值y与实际数据y的比较，以及两个模型的残差e表示在表3中，可以看出 t t t模型 II 更合适一些。t_ 泌ikl- t rr球模型1)玮模型2)邮模型0勾模型2)120. 9620.061-0.0261221. 4021.462021.44647-0.0620-0. 04647321. 9621.938021.899770. 02200.06023421. 5221.356221.370960. 16330. 14904522. 3922.343422. 449440. 0466-0. 05944622. 7622.713622. 742S20. 04640. 01718723. 4823.436423. 466620. 04360. 01338323. 6623.718423. 74692-0.0584-0. 03692g24. 1024.194424. 15S54-0.0944-0. 058541024. 0124.159124. 10056-0.1491-0. 090561124. 5424. 6E8024. 59493-0. 1480-0. 054931224. 3024.353124. 26066-0.05310.039341325. 002S. 022924. 99050-0.02290.009501425. 6425.5341255術40. 10590. 11926L526. 3626.274526. 342400. 08550. 017601626. 9826.873926. 928920. 10610. 051081727. 5227.490927. 558950. 0291-0. 038951827. 7827.737727. 757170. 04230.022831928. 242S.2S4228. 31201-0.0442-0. 072012028. 782S.S13028. 78633-0.0330-0. 00633表3模型I、模型II的计算值y与残差ett五、模型评价与预测通过对本文的分析，对于数据为时间序列的回归模型的建立后，必须检验随机误差 是 t否存在自相关性。如果无自相关性，则可以用此模型进行预测：如果存在自相关性，则必须对模型进行变换，得到新的模型后重复上述步骤，直到无自相关性后，模型才可以进行预测。用模型II对未来的公司的销售额进行预测时，需先估计未来的全行业一季度的销售额x比如，设t = 21时，x二174.2，容易由模型II得到y二29.23tt六、参考文献1 何晓群，刘文卿.应用回归分析，北京：中国人民大学出版社，20012 姜启源等编著，数学模型（第三版），北京：高等教育出版社， 2003.83 刘勇，白林著 基于MATLAB的回归分析模型在经济预测分析中的应用成都理工大学七、附录I由原始数据绘制散点图在EXCEL中建立输入数据，并根据数据绘制散点图，选择合适的坐标轴。11模型分析在MATLAB中输入：% 构造资本论观测值矩阵 mx=ones（20，1） ，x;alpha=005;% 线性回归计算b，bint，r，rint，states=regress（y，mx，alpha）输出结果：b = -14548 01763 bint = -19047-10048 ； 0173201793r = -00261-0062000220016380046600464004360.1059-0.0584-0.0944-0.1491-0.1480-0.0531-0.02290.08550.10610.02910.0423-0.0442-0.0330rint = -0.1954 0.1433 ; -0.23190.1078 ;-0.15290.1969 ;0.01320.3143 ; -0.1288 0.2220; -0.13040.2231; -0.13520.2225; -0.23670.1198 ;-0.26910.0803 ;-0.31360.0153; -0.31290.0169 ;-0.23230.1262 ;-0.20370.1578; -0.06640.2781 ;-0.08790.2589 ;-0.06210.2743; -0.14400.2023 ;-0.12870.2134 ;-0.21160.1233; -0.19720.1311rint =-0.1954 0.1433 ; -0.23190.1078 ;-0.15290.1969 ;0.01320.3143 ; -0.1288 0.2220; -0.13040.2231; -0.13520.2225; -0.23670.1198 ;-0.26910.0803 ;-0.31360.0153; -0.31290.0169 ;-0.23230.1262 ;-0.20370.1578; -0.06640.2781 ;-0.08790.2589 ;-0.06210.2743; -0.14400.2023 ;-0.12870.2134 ;-0.21160.1233; -0.19720.1311states = 1.0e+004 * 0.0001 1.48880 0.0000（注：素材和资料部分来自网络，供参考。请预览后才下载，期待你的好评与 关注！）