数系的扩充与复数的引入知识点总结

数系的扩充与复数的引入知识点总结一.数系的扩充和复数的概念1. 复数的概念 复数:形如a + bi(a e R,b e R)的数叫做复数，a和b分别叫它的实部和虚部. 分类:复数a + bi(a e R, b e R)中，当b = 0,就是实数；b丰0,叫做虚数;当a = 0, b工0时，叫做 纯虚数.(3)复数相等:如果两个复数实部相等且虚部相等就说这两个复数相等.a =c1，特别地：皿+扭诅=0.b=d(4)共轭复数:当两个复数实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数互为共轭复数.即：z =a+bi的共轭复数是z =a-bi(a,b e R)2. 复数的几何意义(1) 数质(厘上亡丘)可用点盹4表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的 平面叫做复平面，也叫高斯平面，兀轴叫做实轴，卩轴叫做虚轴.0 L实轴上的点都表示实数除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.1 讨向复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系,即复数复平面内的点每一个复数有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每 一个点，有唯一的一个复数和它对应，这就是复数的一种几何意义，也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法.(2) 复数的几何意义坐标表示:在复平面内以点2匕4表示复数讥拭(心R)；向量表示:以原点。为起点，点2皿为终点的向量。表示复数抚. 向量0的长度叫做复数 +如的模，记作山+如山沪冃吗=荷+耳王.3. 复数的运算(1)复数的加，减，乘，除按以下法则进行设 z = a + bi, z = c + di (a, b, c, d e R)贝 V1 2z + z = (a 土 c) + (b 土 d )i1 2z z = (ac 一 bd) + (ad + be)i12(Z2 丰 0)(ae 一 bd) + (ad + be)ie 2 + d 2(2)几个重要的结论I z + z |2 + I z 一 z |2 = 2(1 z |2 + | z |2)1 2 1 2 1 2z z =I z |2 =I z |2若z为虚数，则I z |2主z2(3) 运算律zm zn = zm+n(zm )n = zmn(z z )n = zn z n (m, n e R)1 2 1 2(4) 关于虚数单位i的一些固定结论:i 2 = 一113 = i14 = 1in + in+2 + in+3 + in+4 = 0注：(1)两个复数不能比较大小，但是两个复数的模可以比较大小(2)在实数范围内的求根公式在复数范围内照样能运用 二同步检测1.复数a + b i与c + d i的积是实数的充要条件是A.ad + bc = O B.ac + bd = OC.ac = bdD.ad = bc52复数=的共轭复数是i-2A. i+2 B. i2C.2iD.2i23 .当3m 1时，复数m(3+1 )-(2+ i )在复平面内对应的点位于A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限仃忑34 复数尹计i =12 2丿5.已知复数z与(Z+2 )2-8i都是纯虚数，求zz6.已知(l+2)z=4+3 i，求乙及=lll=+ ，求zz zzl2z7 .已知 Z = 5 + 10 i , Z = 3 4 i , l28.已知2 i 3是关于x的方程2 x2 +p x +q = 0的一个根，求实数p,q的值