解答比例应用题的数量对应关系分析

解答比例应用题的数量对应关系分析唐世峰，符云锦(湖南凤凰县两林学区 湖南凤凰 416211)解答比例应用题时，怎么不用方程式式，而用比例呢？这是学生在解答比例 应用题时所提出的疑问。对此，我们做了一些研究。众所周知，比例式与方程式有着密切的联系，只不过是用不同的数学方式表 达同一个数学关系而已。但是能不能用比例式表达比例的数学关系呢，这就是本 文所思考的重心。其目的有以下几点：1. 解应用题时，学生应理解数量的对应关系；2. 学生学会排列数量的对应关系，列出比例式；3. 能强化训练对应关系的数学思想，培养学生解答数学问题的创新思维能 力和解决实际啊问题的能力。我们认为，解答比例应用题的关键是找准题中的数量关系。首先，学生要弄 清比例的概念和比例的基本性质；其次，要分清比例应用题中有哪些数量和哪些 数据，并分析他们的关系；最后，利用这个数量关系来列出比例式。对于大多数 学生来讲，比例的概念和比例的基本性质是不难掌握和理解的，但是对题中数量 关系却不知所措。一般来说，比例应用题中的概念、数量的大小、存在形式、相 互的数量关系和叙题的层次不同，因而使学生含笔疑思，陷入僵化。下面举几个 实例，分析题中数量的对应关系。例 1 一辆汽车 2 小时行驶 140 千米，照这样的速度，从甲地到乙地共行驶了5 小时。甲乙两地之间的公路长多少千米？时间 排列 2小时G5小时(2 )分析：本题中有四个数量(含未知量)，其对应关系如下路程 分析与判断 140千米G速度不变，路程 x千米(2)和时间成正比例这个数量的对应关系有四个比例式：(1)140 -X_ 5意义路程 意.时间路程(2)2时间(2)(2)2_ 5意义.时间_时间140x路程路程(3)2 _140意义.时间路程5x时间路程(4)5 _X意义.时间路程2140时间路程注：数量的对应关系，虽然有些比例式无实际意义，但比例式是成立的。本题四个比例式中，(1)的比值是速度，比例式就比较容易理解；(2)、(3)、(4)的比 值是无实际意义，比例式不好理解，但比例式是成立的，我们可以从比的意义上作者简介：唐世峰(1978-)，男，湖南凤凰，初等教育专业，小学一级，凤凰县两林学区数学教师，主要研究方向为小学数学教育，E-mail:tsflianglin去理解，这样就不愁应用题的解答了。例 2 测量小组在阳光下量得一棵树影长 5.2 米，同时测得一根直立在地面上2 米长标杆的影长是 0.5 米。这课树高多少米？ 分析：本题同样有四个数量，其对应关系如下物影分析与判断排列2米0.5米在同一时刻物高x米5.2米与影长成正比例这四个数量的对应关系有四个比例：意义 杆_树 杆影=树影(2)0.55.2意义：杆影 树影(3)0.55.2意义：杆 杆影树树影(4)5.20.5意义：树 树影杆 杆影注：这四个比例式的比值目前是无法解释 (一个角的正、余切)，但这也是一 个对应的数量关系，是没有教材的例题引路。这种对应关系为我们寻找数量关系 提供了新的方法，这也是数学思想的一种结晶。例 3 某校五 (3)班男女生人数比是 6:5 ，已知男生有 24 人。女生有多少人？分析：本题虽有多种思考方法，但其数量的对应关系是不变的：分类排列男：女6:5人数分析 男：女 纵向对应24： x 横向对应其比例式为6:5二24： x。注：应用“数量的对应关系”思想，掌握数量的对应用关系，本题的解答比 其他方法都简单。但对学生来说，要排列出这个纵向对应和横向对应的数量关系 是却并非易事；所以，要在平常的数学课堂教学中强化训练对应关系的数学思想， 方能应用自如。例 4 某幼儿园阿姨分糖给大小两个班的 60 个小朋友，平均每人可得 4 颗。 如果只给大班的小朋友，平均每人可得 6 颗。如果只分给小班的小朋友，平均每 人可分的几颗？分析：本题数量的对应关系分两步排列排列G)班名人数糖分析与判断两班60人4颗糖的总颗数不变，每人得大班x人6颗的颗数与人数成反比例4x其比例式为二或60 : x二6:4，可解得x二40。班名 排列（2）大班小班V糖6颗x人人数 分析与判断6 6040人f糖的总颗数不变，每人得（60-40）人的颗数与人数成反比例其比例式为6二20或40:20二x :6。x 40 注：此题隐含着一个间接的未知量：大班的人数。而大班每人得的糖颗数是 已知的，因此大班这一组与总量之间形成了第一个对应关系，可求得大班的人数； 然后，小班作为第二组与大班一组或总量形成第二个对应关系，从而可求得小班 每人分得的糖颗数。总之，数量的对应关系解答比例应用题，创新了比例应用题的阶解题思路， 弥补了教材本身的缺陷和衔接性、统一性、整体性的细小缝隙，让学生解答比例 应用题时，形成一套完整的解题思路。这个思路使学生建立“数量的对应关系” 的数学思想打下了良好的基础，为进一步学习解分数乘除法应用题作了铺垫和准 备。