7.3概率论与数理统计

计量11122212(,),(,)nnXXXXXX121P 定义给定值（0 1),若由样本X1,Xn确定的两个统7.3 7.3 区间估计区间估计设总体X的分布函数F(x;)含有未知参数,对于使注：F(x;)也可换成概率密度或分布律。分别称为置信度为1的置信上限与置信下限。则称随机区间12(,)为 的置信度为1的置信区间.12,一、利用切比雪夫不等式求均值的置信区间 如果总体分布未知，方差已知，则可用切比雪夫不等式来求均值的置信区间。例1.某灯泡厂某天生产了一大批灯泡，从中抽取了10个进行寿命试验，得数据如下（单位：h）1050 1100 1080 1120 1200 1250 1040 1130 1300 1200已知这天生产的灯泡寿命的方差为8，试求以95%以上概率认为灯泡的平均寿命的置信区间？解解 设设X表示这天灯泡的寿命，由已知得D(X)8，由于X 的分布未知，可用比雪夫不等式来求均值的置信区间。2)(1|XDEXXP2)(1|nXDEXXP%)5(1)(12nXDnXD/)(20%95/20|nDXEXXP即（1143，1152）。20/20/XDX nEXXDX nEX的置信区间为(1147-4,1147+4),即二、二、正态总体均值参数的区间估计正态总体均值参数的区间估计.1,),(121置置信信区区间间的的求求出出，由由观观测测值值给给定定，设设 niidnxxNXX1 1、2 2已知(X)U(0,1)nN/2/21PuUu 2u20u1-/2/2(X)nuu/2/2 Xuunn/2/2 XuXunn(1-)(1)u 0u1-的置信度为的置信度为1 的置信区间为的置信区间为/2/2(,)XuXunn。注：注：的的1 置置信信区间不唯一。区间不唯一。(1),(,)XuXunn。都是的1置性区间.但=1/2时区间长最短.例2(续例1）某灯泡厂某天生产了一大批灯泡，从中抽取了10个进行寿命试验，得数据如下（单位：h）1050 1100 1080 1120 1200 1250 1040 1130 1300 1200已知这天生产的灯泡寿命服从正态分布且方差为8，试求以95%以上概率认为灯泡的平均寿命的置信区间？解解)8,(NX0.0251147,2 2,10,1.96xnu可见选取同样大小的样本，由于已知总体这一信息，求出的结果比用契比雪夫不等式估计的结果要精确。)75.11147,75.11147(96.11081147 ,96.11081147利用公式，得到的置信度为95%的置信区间为求正态总体参数置信区间的解题步骤：(1)根据实际问题构造样本的函数，要求仅含待估参数且分布已知-枢轴量；(2)令枢轴量落在由分位点确定的区间里的概率为给定的置信度1，要求区间按几何对称或概率对称；(3)解不等式得随机的置信区间；(4)由观测值及值查表计算得所求置信区间。)5,(2NX50201niix例3 某厂用自动包装机包装奶粉，每袋净重xi(单位:g),i=1，2，10，计算得试求的置信度为95%的置信区间.现随机抽取10袋，测得各袋净重解解/2/2(,)XuXunn。=0.05,u/2=1.96,n=10,=511502niixxn即（498.910,505.099）.)96.1105502,96.1105502(故均值的置信度为95%的置信区间为)1(),1(2/2/ntnSXntnSX 2、2未知的1-置信区间为()(1)n XTt nS由/2(1)1 P Ttn 令，)1(2nt)1(02nt1-/2/2(1)(1)1SSP XtnXtnnn 即得例例4 有一大批糖果,现随机地从中取16袋,称得重量（单位：g）如下506,508,499,503,504,510,497,512 514,505,493,496,506,502,509,496设袋装糖果的重量近似地服从正态分布,试求总体均值的置信区间(=0.05).解解这里1-=0.95，查表得t0.025(15)=2.1315,由给出的数据算得：503.75x s=6.2022.6.20226.2022(503.752.1315,503.752.1315)1616则的置信度为0.95的置信区间为)1(),1(2/2/ntnSXntnSX 即（500.4,507.1）在实际问题中，总体方差未知的情况居多.三、单正态总体方差的置信区间三、单正态总体方差的置信区间假定m未知，222(-1)r.v (1)nSn221-/2/2 (1)(1)1Pnn令22222/21/2(n-1)s(n-1)s 1(1)(1)Pnn可得设21(),iidnXXN，给定置信度1-，由观测值x1,x2,xn求2或的置信区间。2222/21/2(1)(1),(1)(1)nsnsnn2的置信度为1的置信区间为2222/21/2(1)(1)(,(1)(1)nsnsnn的置信度为1的置信区间为四、双正态总体均值差的置信区间四、双正态总体均值差的置信区间的的置置信信区区间间。，求求度度两两样样本本独独立立。给给定定置置信信，设设21222121111)()(21 NYYNXXiidniidn未未知知假假定定22221 )2(/1/1)(XT 212121 nntnnSYw 引引进进222112212(1)(1)2wnSnSSnn21212/1/1)2(nnSnntYXw 其中其中222112212(1)(1)2wnSnSSnn可解得1-2 的置信区间/212(2)1P Ttnn 令五、五、双正态总体方差比的置信区间双正态总体方差比的置信区间的的置置信信区区间间。，求求出出，由由观观测测值值度度两两样样本本独独立立。给给定定置置信信，设设222111222121112121;1),()(X nniidniidnyyxxNYYNX 假定假定 1，2未知2211122222(1,1)SFF nnS22221212/2121-/212,(1,1(1,1)SSSSFnnFnn）2212/可解得的置信区间1-/212/212(1,1)(1,1)1P FnnFFnn 令