7第七次课n维向量向量组的线性相关性向量组线性相关性的判定(一)

第三章第三章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性3.1 n维向量维向量3.2 向量组的线性相关性向量组的线性相关性3.3 向量组线性相关性的判定向量组线性相关性的判定3.4 向量组的秩向量组的秩第七次课第七次课3.2 向量组的线性相关性向量组的线性相关性3.1 n维向量维向量了解了解n维向量的概念维向量的概念 理解向量组的线性组合、线性相关（无关）的概念理解向量组的线性组合、线性相关（无关）的概念掌握向量组相关性的有关性质及判定定理掌握向量组相关性的有关性质及判定定理 教学内容教学内容教学目标及基本要求教学目标及基本要求3.3 向量组线性相关性的判定向量组线性相关性的判定q向量组的线性相关性向量组的线性相关性重重 点点难难 点点q向量组的线性相关性向量组的线性相关性2022-11-1733.1 N3.1 N维向量维向量一、基本概念及运算一、基本概念及运算Vector1、def：由由n个数组成的有序数组个数组成的有序数组12naaa 12(,)na aa或或，称为，称为n维向量维向量。列向量列向量(列矩阵列矩阵)，记作，记作,行向量行向量(行矩阵行矩阵)，记作，记作,TTTiaR iaC 实向量实向量复向量复向量ia全为全为0零向量零向量至少存在一个非零元素至少存在一个非零元素ia非零向量非零向量2022-11-1742、向量组向量组：若干个维数相同的行向量（列向量）：若干个维数相同的行向量（列向量）所组成的集合所组成的集合3、矩阵与向量的内在联系、矩阵与向量的内在联系 ijm nAa 列向量组列向量组行向量组行向量组 12,nA 12mA 2022-11-175二、二、n维向量的线性运算及其运算律维向量的线性运算及其运算律1、同型向量同型向量：维数相同的行（列）向量：维数相同的行（列）向量2、向量相等：向量相等：iiab 3、数乘：数乘：ikka iiab 4、加（减）法：加（减）法：73p5、运算律：运算律：略，见教材略，见教材2022-11-176设设 求求1）10,1 11,0 例例12 2）3 2022-11-1773.2-3.2-3.33.3向量组的线性相关性向量组的线性相关性一、一、向量组的线性组合向量组的线性组合(P72定义定义3.2.1)2022-11-1781112112122221212,nnnmmmnmaaabaaabaaab1122nnxxx则则11112211211222221122nnnnmmmnnma xa xa xba xa xa xbaxaxaxb2022-11-179故判断向量组的线性组合（表示）可转化为判断故判断向量组的线性组合（表示）可转化为判断其所对应的非齐次线性方程组是否有解。其所对应的非齐次线性方程组是否有解。AX 1212,nnxxx 1122nnxxx 无解无解 R AR A 有解有解存在唯一解存在唯一解有无穷多解有无穷多解 R AR An R AR An 线性方程组的向量形式线性方程组的向量形式2022-11-1710当当方程个数方程个数=未知量个数未知量个数时时,也可用也可用Cramer法则来判断法则来判断ie结论结论1：任一向量都能被任一向量都能被基本单位向量组基本单位向量组线性表示线性表示“非不唯非不唯”12100010,000001n eee12naaa 均可由均可由n维基本向量组表示为维基本向量组表示为=a1e1+a2e2+anen.2022-11-1711例例12022-11-1712q线性表示（表出）线性表示（表出）复习复习AX 1212,nnxxx 1122nnxxx 无解无解 R AR A 有解有解存在唯一解存在唯一解有无穷多解有无穷多解 R AR An R AR An 2022-11-1713二、二、向量组的线性相关性向量组的线性相关性AX=0的向量表示形式的向量表示形式 则则,当当12,nx xx不全为不全为0 0时时 （0AX 存在非零解）存在非零解）称称12,n 线性相关线性相关 当当120nxxx时时 （0AX 只有零解）只有零解）称称12,n 线性无关线性无关 (P73定义定义3.2.2)2022-11-17142、定理、定理1：0AX 1212,nnxxx 11220nnxxx只有零解只有零解(12,n 线性无关线性无关)存在非零解存在非零解(12,n 线性相关线性相关)R An R An 结论：结论：基本单位向量组基本单位向量组ie必线性无关。必线性无关。(P78定理定理3.3.2)(P74例例3.2.1)2022-11-1715例例12022-11-1716例例22022-11-1717(P75定理定理3.2.1)例例1(P76例例3.2.4)2022-11-1718(P76定理定理3.2.2)2022-11-1719简单结论：简单结论：(1)：000k 线线性性相相关关线线性性无无关关 11220kk(2)：相关相关对应分量成比例。对应分量成比例。(3)：含零向量的向量组一定线性相关含零向量的向量组一定线性相关。(4)：相关组加个仍相关。：相关组加个仍相关。(5)：无关组减个仍无关。：无关组减个仍无关。(6)：无关组增维仍无关。：无关组增维仍无关。(7)：相关组降维仍相关。：相关组降维仍相关。(P73)(P79推论推论3.3.4)2022-11-1720三、三、向量组等价向量组等价(1)：反身性：反身性(2)：对称性：对称性(3)：传递性：传递性2、性质、性质(P79定义定义3.3.1)2022-11-1721定理定理3.3.4（P79）推论推论3.3.5（P80）推论推论3.3.6（P80）等价无关组所含向量的个数相等等价无关组所含向量的个数相等2022-11-1722小小 结结q线性表示（表出）线性表示（表出）AX 1212,nnxxx 1122nnxxx 无解无解 R AR A 有解有解存在唯一解存在唯一解有无穷多解有无穷多解 R AR An R AR An 2022-11-1723q线性相关性线性相关性0AX 1212,nnxxx 11220nnxxx只有零解只有零解(12,n 线性无关线性无关)存在非零解存在非零解(12,n 线性相关线性相关)R An R An 2022-11-1724提前预习提前预习3.4 向量组的秩向量组的秩96:1,3,4,5,6,7P作作 业业98:1,2P习题习题3(A)：习题习题3(B)：