二阶导数在解高考函数题中的应用

二阶导数在解高考函数题中的应用在历年高考试题中，导数部分是高考重点考查的内容，在六道解答题中必有一题是导 数题。这类题主要考察函数的单调性、求函数的极值与最值以及利用导数的有关知识解决 恒成立、不等式证明等问题。解决这类题的常规解题步骤为：求函数的定义域；求函数的导数；求f ( x)的零点；列出x , f ( x ), f ( x)的变化关系表；根据列表解答问题。而在有些函数问题中，如含有指数式、对数式的函数问题，求导之后往往不易或不能直接判断出导函数的符号，从而不能进一步判断函数的单调性及极值、最值情况，此时解题受阻。若遇这类问题，则可试用求函数的二阶导数加以解决。本文试以 2010 年全国高考 试题为例，说明函数的二阶导数在解高考函数题中的应用。例 1.（全国卷第 20 题）已知函数f ( x) =( x +1) ln x -x +1.（1） 若xf ( x) x 2 +ax +1，求a的取值范围；( x -1) f ( x) 0.（2） 证明：原解答如下:解（1）函数的定义域为（0，+），f ( x ) =ln x +1x，xf ( x ) x 2 +ax +1 x ln x +1 x 2 +ax +1， a ln x -x a (ln x -x )max.令g ( x ) =ln x -x则g ( x ) =1x-1,当0 x 0, g ( x )递增； 当x 1时，g ( x) 0, g ( x)递减，从而当x =1时，g ( x )max=g (1) =-1，故所求a的范围是-1,+.证明(2)由(1)知,ln x -x +1 0,则0 x 1 时， f ( x) =x ln x +(ln x -x +1) 0；x 1时，f ( x ) =ln x +( x ln x -x +1) =ln x -x (ln1 1- +1) 0 x x.综上可知，不等式成立.对于（2）的证明，虽然过程简单，但思维难度大，对学生的观察能力和代数式的变形能力要求较高。我们可以运用二阶导数的方法加以证明：证法二:令F ( x ) =( x -1) f ( x ), 要证明F（x）0, 只需证F（x)min0.因F（x）= f ( x) +( x -1) f ( x )=( x +1) ln x -x +1 +( x -1)(ln x +1x)=2 x ln x -( x +1x) +2，显然当 x =1 时， F ( x) =0，当0 x 2, ln x 0, F ( x ) 1时，x +1x2, ln x 0，F ( x)的符号仍不能判定，求二阶导数得1F ( x ) =2 ln x +1 + 0x 2，从而F ( x)在x 1时递增，F ( x) F (1) =0 ， F ( x )在 1,+递增，所以当 x =1 时， F ( x)min=F (1) =0，故F ( x) 0成立，原不等式成立.例题 2（2010 年高考数学全国卷（22）小题）设函数f (x)=1-e-x（）证明：当 x-1 时， f (x)xx +1；（）设当x 0时，f (x)xax +1，求a的取值范围（原解答略）在原解答第（）问的解答中，用到了放缩代换，对考生的数学素质和解题能力要求很高，极少有考生能达到那样的要求 .若用求二阶导数求解，则别有一 番天地.（）解法二：由题设x 0, f ( x ) xax +1，1若 a - 时，ax +1 0, f ( x）xax +1 ( ax +1)(1 -e -x ) -x 0.令g ( x ) =( ax +1)(1 -e-x) -x , 则 g (0) =0，g ( x) =e-x( ax +1 -a ) +a -1, g ( x ) =0， g ( x ) =e-x(2 a -1 -ax ), x 0 ,1当0 a 时，2a -1 0,21从而 g ( x) 0(仅当x =0, a = 时取“=”），2g ( x)在0, +)内递减，g ( x ) g (0) =0g ( x )在0, +)内递减， g ( x ) g (0) =0,，即原不等式成立.当a 122a -1时，2a -1 0, 令 g ( x） =0得x = ,a从而当2a -10 x 0,a此时2a -1g ( x )在(0, )内递增，g ( x ) g (0) =0a，g ( x )在( 0,2a -1 x)内递增，g ( x) g (0) =0, f ( x) 不恒成立 a ax +1.综上可知，0 a 12.由以上两个例子可以看出，当需要判定函数的单调性而求导之后不能直接判定导数的符号时（导函数中常含有指数或对数形式），常可以考虑用二阶导数法。建议高 三教师在高考数学复习时，对学生适当加以针对此类题型的指导、训练。针对训练：1、（2010 年新课标全国卷第（21）题）：设函数f ( x) =ex -1 -x -ax 2。（1）若a =0，求f ( x)的单调区间；（2）若当x 0时f ( x) 0，求a的取值范围2、（2008 年湖南高考题改编）：已知函数f ( x ) =ln 2 (1 +x ) -x 21 +x，求函数f ( x )的单调区间。参考答案： 1、解：（1）略.（2）f ( x) =ex -1 -2 ax , f ( x) =e x-2 a.当a 12时，2a 1,由x 得e x 1,从而 f ( x ) 0, f ( x)在0, +)递增，f ( x) f (0) =0，f ( x)在0,+)递增，f ( x ) f (0) =0当a 12时，2a 1, 当0 x ln 2 a时，e x 2 a, f ( x ) 0,f ( x)在区间( 0, ln 2 a )内递减，f ( x ) f (0) =0,f ( x)在区间( 0, ln 2a)内递减， f ( x) f (0) =0,不合题意.综上可知a的范围是a 122、解：f (x)的定义域是( -1,+).（1）2 ln(1 +x ) x 2 +2 xf ( x ) = -x +1 (1 +x ) 2=2(1 +x ) l n1( +x ) -x(1 +x ) 22-2 x.设g ( x ) =2(1 +x) ln(1 +x ) -x 2 -2 x则g ( x) =2 ln(1 +x ) -2 x. g ( x) =-2 x1 +x.当-1 x 0, g ( x)在（ -1,0）上是增函数；当 x 0 时， g ( x) 0, g ( x )在（0，+）上为减函数.所以g ( x)在x =0处有最大值，而g (0) =0, 所以g ( x ) 0( x 0),函数g ( x)在 (-1,+)上是减函数.当当-1 x g (0) =0, f ( x ) 0, f ( x)递增; x 0时，g ( x) g (0) =0, f ( x) 0, f ( x)递减 .所以，函数f ( x)的单调递增区间是( -1,0)，递减区间是(0, +).