中考数学二次函数与abc的关系

【基本内容】二次函数y=ax2+bx+c的对称轴为_,顶点坐标为_1、a的符号由决定：开口方向向a0；开口方向向a0.2、b的符号由决定；对称轴在y轴的左侧a、b；对称轴在y轴的右侧a、b；对称轴是y轴b0.3、c的符号由决定：y2y=ax+bx+c抛物线与y轴交于正半轴c0；抛物线与y轴交于负半轴c0；抛物线过原点c0.4、b2-4ac的符号由决定：抛物线与x轴有交点b2-4ac0；抛物线与x轴有交点b2-4ac0；抛物线与x轴有交点b2-4ac0；特别的，当x=1时，y=；当x=-1时，y=.二次函数的图象与性质具体如下图所示：-1O1xyyyyyyoxoxoxoxoxoxa0、b0c0、abc0b2-4ac0a0、b0c0、abc0b2-4ac0a0、b0c0、abc0b2-4ac0a0、b0c0、abc0b2-4ac0a0、b0c0、abc0b2-4ac0a0、b0c0、abc0b2-4ac0巩固练习：1、已知二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象如图所示，则下列4个结论中：abc0；b0；b2-4ac0；b=2a.正确的是（填序号）2、根据图象填空，：-1yx=1y20x21O1x6已知反比例函数y=的图象在二、四象限，则二次函数（1）a0，b0，c0，abc0.（2）b2-4ac0（3）a+b+c0；a-b+c0；（4）当x0时，y的取值范围是；当y0时，x的取值范围是.3.若一条抛物线y=ax2+bx+c的顶点在第二象限，交于y轴的正半轴，与x轴有两个交点，则下列结论正确的是（）.A.a0,bc0;B.a0,bc0;C.a0,bc0;D.a0,bc04.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么下列判断不正确的是（）A、ac0B、a-b+c0C、b=-4aD、关于x的方程ax2+bx+c=0的根是x1=-1，x2=55、已知二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象如图所示，有下列结论：b2-4ac0；abc08a+c0；9a+3b+c0其中，正确结论的个数是（）A、1B、2C、3D、4kxy=2kx2-x+k2的图象大致为（）yyyyOAxOBxOCxODx7（2014威海）已知二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象如图，则下列说法：c=0；该抛物线的对称轴是直线x=1；当x=1时，y=2a；am2+bm+a0（m1）其中正确的个数是（）A、1B、2C、3D、48（2014仙游县二模）已知二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象如图所示，给出以下结论：a+b+c0；ab+c0；b+2a0；abc0其中所有正确结论的序号是（）ABCD9（2014南阳二模）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么关于此二次函数的下列四个结论：a0；c0；b24ac0；0中，正确的结论有（）A、1B、2C、3D、410（2014襄城区模拟）函数y=x2+bx+c与y=x的图象如图，有以下结论：b24c0；cb+1=0；3b+c+6=0；当1x3时，x2+（b1）x+c0其中正确结论的个数为（）A1B2C3D4（112014宜城市模拟）如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为x=1，且过点（3，0）下列说法：abc0；2ab=0；4a+2b+c0；若（5，y1），（2，y2）是抛物线上的两点，则y1y2其中说法正确的是（）ABCD12（2014莆田质检）如图，二次函数y=x2+（2m）x+m3的图象交y轴于负半轴，对称轴在y轴的右侧，则m的取值范围是（）Am2Bm3Cm3D2m313（2014玉林一模）如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（3，0），对称轴为x=1给出四个结论：b24ac；2a+b=0；3a+c=0；a+b+c=0其中正确结论的个数是（）A1个B2个C3个D4个14（2014乐山市中区模拟）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（1，0），顶点坐标为（1，n），与y轴的交点在（0，2）、（0，3）之间（包含端点）有下列结论：当x3时，y0；3a+b0；1a；n4其中正确的是（）ABCD15（2014齐齐哈尔二模）已知二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象与x轴交于点（1，0），（x1，0），且1x12，下列结论正确的个数为（）b0；c0；a+c0；4a2b+c0A1个B2个C3个D4个（162014年四川南充）二次函数y=ax2+bx+c（a0）图象如图，下列结论：abc0；2a+b=0；1+bx=ax当m1时，a+bam2+bm；ab+c0；若ax2+bx2122，且x1x2则x1+x2=2其中正确的有（）ABCDyO2x17二次函数y=x2+bx的图象如图，对称轴为直线x=2.若关于x的一元二次方程x2+bx-t=0(t为实数)在1x1的范围内有解，则t的取值范围是（）A.t1B.4t5C.1t1D.-3t518（14年泰安）二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a0）中的x与y的部分对应值如下表：x-1013y-1353下列结论：（1）ac0；（2）当x1时，y的值随x值的增大而减小（3）3是方程ax2+(b-1)x+c=0的一个根；（4）当1x3时，ax2+(b-1)x+c0其中正确的个数为（）A4个B3个C2个D1个1（2014威海）已知二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象如图，则下列说法：c=0；该抛物线的对称轴是直线x=1；当x=1时，y=2a；am2+bm+a0（m1）其中正确的个数是（）A1B2C3D4考点：二次函数图象与系数的关系分析：由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断解答：解：抛物线与y轴交于原点，c=0，（故正确）；该抛物线的对称轴是：，直线x=1，（故正确）；当x=1时，y=a+b+c对称轴是直线x=1，b/2a=1，b=2a，又c=0，y=3a，（故错误）；x=m对应的函数值为y=am2+bm+c，x=1对应的函数值为y=ab+c，又x=1时函数取得最小值，ab+cam2+bm+c，即abam2+bm，b=2a，am2+bm+a0（m1）（故正确）故选：C点评：本题考查了二次函数图象与系数的关系二次函数y=ax2+bx+c（a0）系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定2（2014仙游县二模）已知二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象如图所示，给出以下结论：a+b+c0；ab+c0；b+2a0；abc0其中所有正确结论的序号是（）ABCD考点：二次函数图象与系数的关系专题：数形结合分析：由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断解答：解：当x=1时，y=a+b+c=0，故错误；当x=1时，图象与x轴交点负半轴明显大于1，y=ab+c0，故正确；由抛物线的开口向下知a0，对称轴为0x=2a+b0，1，故正确；对称轴为x=0，a0a、b异号，即b0，由图知抛物线与y轴交于正半轴，c0abc0，故错误；正确结论的序号为故选：B点评：二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定：（1）a由抛物线开口方向确定：开口方向向上，则a0；否则a0；（2）b由对称轴和a的符号确定：由对称轴公式x=判断符号；（3）c由抛物线与y轴的交点确定：交点在y轴正半轴，则c0；否则c0；（4）当x=1时，可以确定y=a+b+c的值；当x=1时，可以确定y=ab+c的值3（2014南阳二模）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么关于此二次函数的下列四个结论：a0；c0；b24ac0；0中，正确的结论有（）A1个B2个C3个D4个考点：二次函数图象与系数的关系专题：数形结合分析：由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断解答：解：图象开口向下，a0；故本选项正确；该二次函数的图象与y轴交于正半轴，c0；故本选项正确；二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个不相同交点，根的判别式=b24ac0；故本选项正确；对称轴x=0，0；故本选项正确；综上所述，正确的结论有4个故选D点评：本题主要考查了二次函数的图象和性质，解答本题关键是掌握二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定，做题时要注意数形结合思想的运用，同学们加强训练即可掌握，属于基础题4（2014襄城区模拟）函数y=x2+bx+c与y=x的图象如图，有以下结论：b24c0；cb+1=0；3b+c+6=0；当1x3时，x2+（b1）x+c0其中正确结论的个数为（）A1B2C3D4考点：二次函数图象与系数的关系分析：由函数y=x2+bx+c与x轴无交点，可得b24c0；当x=1时，y=1b+c0；当x=3时，y=9+3b+c=3；当1x3时，二次函数值小于一次函数值，可得x2+bx+cx，继而可求得答案解答：解：函数y=x2+bx+c与x轴无交点，b24ac0；故正确；当x=1时，y=1b+c0，故错误；当x=3时，y=9+3b+c=3，3b+c+6=0；正确；当1x3时，二次函数值小于一次函数值，x2+bx+cx，x2+（b1）x+c0故正确故选C点评：主要考查图象与二次函数系数之间的关系此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用5（2014宜城市模拟）如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为x=1，且过点（3，0）下列说法：abc0；2ab=0；4a+2b+c0；若（5，y1），（2，y2）是抛物线上的两点，则y1y2其中说法正确的是（）ABCD考点：二次函数图象与系数的关系分析：根据抛物线开口方向得到a0，根据抛物线的对称轴得b=2a0，则2ab=0，则可对进行判断；根据抛物线与y轴的交点在x轴下方得到c0，则abc0，于是可对进行判断；由于x=2时，y0，则得到4a2b+c0，则可对进行判断；通过点（5，y1）和点（2，y2）离对称轴的远近对进行判断解答：解：抛物线开口向上，a0，抛物线对称轴为直线x=1，b=2a0，则2ab=0，所以正确；抛物线与y轴的交点在x轴下方，c0，abc0，所以正确；x=2时，y0，4a+2b+c0，所以错误；点（5，y1）离对称轴要比点（2，y2）离对称轴要远，y1y2，所以正确故选D点评：本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c（a0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当a0时，抛物线向上开口；当a0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab0），对称轴在y轴右（简称：左同右异）抛物线与y轴交于（0，c）抛物线与x轴交点个数：=b24ac0时，抛物线与x轴有2个交点；=b24ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；=b24ac0时，抛物线与x轴没有交点6（2014莆田质检）如图，二次函数y=x2+（2m）x+m3的图象交y轴于负半轴，对称轴在y轴的右侧，则m的取值范围是（）Am2Bm3Cm3D2m3考点：二次函数图象与系数的关系分析：由于二次函数的对称轴在y轴右侧，根据对称轴的公式即可得到关于m的不等式，由图象交y轴于负半轴也可得到关于m的不等式，再求两个不等式的公共部分即可得解解答：解：二次函数y=x2+（2m）x+m3的图象交y轴于负半轴，m30，解得m3，对称轴在y轴的右侧，x=，解得m2，2m3故选：D点评：此题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是利用对称轴的公式以及图象与y轴的交点解决问题（072014玉林一模）如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（3，），对称轴为x=1给出四个结论：b24ac；2a+b=0；3a+c=0；a+b+c=0其中正确结论的个数是（）A1个B2个C3个D4个考点：二次函数图象与系数的关系分析：由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断解答：解：抛物线的开口方向向下，a0；抛物线与x轴有两个交点，b24ac0，即b24ac，正确；由图象可知：对称轴x=1，2a=b，2a+b=4a，a0，2a+b0，错误；图象过点A（3，0），9a3b+c=0，2a=b，所以9a6a+c=0，c=3a，正确；抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，c0由图象可知：当x=1时y=0，a+b+c=0，正确故选C点评：考查了二次函数图象与系数的关系，解答本题关键是掌握二次函数y=ax2+bx+c（a0）系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定8（2014乐山市中区模拟）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（1，0），顶点坐标为（1，n），与y轴的交点在（0，2）、（0，3）之间（包含端点）有下列结论：当x3时，y0；3a+b0；1a；n4其中正确的是（）ABCD考点：二次函数图象与系数的关系分析：由抛物线的对称轴为直线x=1，一个交点A（1，0），得到另一个交点坐标，利用图象即可对于选项作出判断；根据抛物线开口方向判定a的符号，由对称轴方程求得b与a的关系是b=2a，将其代入（3a+b），并判定其符号；根据两根之积=3，得到a=，然后根据c的取值范围利用不等式的性质来求a的取值范围；把顶点坐标代入函数解析式得到n=a+b+c=c，利用c的取值范围可以求得n的取值范围解答：解：抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（1，0），对称轴直线是x=1，该抛物线与x轴的另一个交点的坐标是（3，0），根据图示知，当x3时，y0故正确；根据图示知，抛物线开口方向向下，则a0对称轴x=1，b=2a，3a+b=3a2a=a0，即3a+b0故错误；抛物线与x轴的两个交点坐标分别是（1，0），（3，0），13=3，=3，则a=抛物线与y轴的交点在（0，2）、（0，3）之间（包含端点），2c3，1，即1a故正确；根据题意知，a=，=1，b=2a=，n=a+b+c=c2c3，4，n4故正确综上所述，正确的说法有故选D点评：本题考查了二次函数图象与系数的关系二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定9（2014齐齐哈尔二模）已知二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象与x轴交于点（1，0），（x1，0），且1x12，下列结论正确的个数为（）b0；c0；a+c0；4a2b+c0A1个B2个C3个D4个考点：二次函数图象与系数的关系分析：由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断解答：解：y=ax2+bx+c（a0）的图象与x轴交于点（1，0），（x1，0），且1x12，对称轴在y轴的右侧，即：0，a0b0，故正确；显然函数图象与y轴交于负半轴，c0正确；二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象与x轴交于点（1，0），ab+c=0，即a+c=b，b0，a+c0正确；二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象与x轴交于点（1，0），且a0，当x=2时，y=4a2b+c0，故正确，故选D点评：主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用