七年级数学竞赛 第10讲 整式的乘法与除法

a七年级数学竞赛 第十讲 整式的乘法与除法中学代数中的整式是从数的概念基础上发展起来的，因而保留着许多 数的特征，研究的内容与方法也很类似例如，整式的四则运算就可以在 许多方面与数的四则运算相类比；也像数的运算在算术中占有重要的地位 一样，整式的运算也是代数中最基础的部分，它在化简、求值、恒等变形、 解方程等问题中有着广泛的应用通过整式的运算，同学们还可以在准确 地理解整式的有关概念和法则的基础上，进一步提高自己的运算能力为 此，本讲着重介绍整式运算中的乘法和除法整式是多项式和单项式的总称整式的乘除主要是多项式的乘除下 面先复习一下整式计算的常用公式，然后进行例题分析正整数指数幂的运算法则：(1)aM an=aM+n； (2)(ab)n=anbn；(3)(aM)n=aMn； (4)aMan=aM-n(a0，mn)；常用的乘法公式：(1)(a+b)(a+b)=a2-b2；(2)(ab)2= 22ab+b2；(4)(db)3=a33a2b+3ab2b3；(5)(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca例 1 求x3-(x-1)2(x-1)展开后，x2项的系数 解 x3-(x-1)2(x-1)=x3(x-1)-(x-1)3因为 x2 项只在-(x-1)3 中出现，所以只要看-(x-1)3=(1-x)3中 x2项的系数即可根据乘法公式有(1-x)3=1-3x+3x2-x3，所以 x2 项的系数为 3说明 应用乘法公式的关键，是要理解公式中字母的广泛含义，对公 式中的项数、次数、符号、系数，不要混淆，要达到正确、熟练、灵活运 用的程度，这样会给解题带来极大便利1(x-2)(x2-2x+4)-x(x+3)(x-3)+(2x-1)2解 原式=(x3-2x2+4x-2x2+4x-8)-x(x2-9)+(4x2-4x+1)=(x3-4x2+8x-8)-(x3-9x)+(4x2-4x+1)=13x-7=9-7=2说明 注意本例中(x-2)(x2-2x+4)x3-8例 3 化简(1+x)1-x+x2-x3+(-x)n-1，其中 n 为大于 1 的整数解 原式=1-x+x2-x3+(-x)n-1+x-x2+x3+-(-x)n-1+(-x)n=1+(-x)n说明 本例可推广为一个一般的形式：(a-b)(an-1+an-2b+abn-2+bn-1)=an-bn例 4 计算(1)(a-b+c-d)(c-a-d-b)；(2)(x+2y)(x-2y)(x4-8x2y2+16y4)分析与解 (1)这两个多项式对应项或者相同或者互为相反数，所以可 考虑应用平方差公式，分别把相同项结合，相反项结合原式=(c-b-d)+a(c-b-d)-a=(c-b-d)2-a2=c2+b2+d2+2bd-2bc-2cd-a2(2)(x+2y)(x-2y)的结果是 x2-4y2，这个结果与多项式 x4-8x2y2+16y4相乘时，不能直接应用公式，但x4-8x2y2+16y4=(x2-4y2)2与前两个因式相乘的结果 x2-4y2相乘时就可以利用立方差公式了原式=(x2-4y2)(x2-4y2)2=(x2-4y2)3=(x2)3-3(x2)2(4y2)+3x2(4y2)2-(4y2)3=x6-12x4y2+48x2y4-64y6例 5 设 x，y，z 为实数，且2(y-z)2+(x-y)2+(z-x)2=(y+z-2x)2+(x+z-2y)2+(x+y-2z)2，解 先将已知条件化简：左边=2x2+2y2+2z2-2xy-2yz-2xz，右边=6x2+6y2+6z2-6xy-6yz-6xz所以已知条件变形为2x2+2y2+2z2-2xy-2yz-2xz=0，即(x-y)2+(x-z)2+(y-z)2=0因为 x，y，z 均为实数，所以 x=y=z所以说明 本例中多次使用完全平方公式，但使用技巧上有所区别，请仔 细琢磨，灵活运用公式，会给解题带来益处我们把形如a xn+a xn-1+a x+ann-110(n 为非负整数)的代数式称为关于 x 的一元多项式，常用 f(x)， g(x)，表示一元多项式多项式的除法比较复杂，为简单起见，我们只研究一元多项式的除 法像整数除法一样，一元多项式的除法，也有整除、商式、余式的概念一 般地，一个一元多项式 f(x)除以另一个一元多项式 g(x)时，总存在一个 商式 q(x)与一个余式 r(x)，使得 f(x)=g(x)q(x)+r(x)成立，其中 r(x) 的次数小于 g(x)的次数特别地，当 r(x)=0 时，称 f(x)能被 g(x)整除例 6 设 g(x)=3x2-2x+1，f(x)=x3-3x2-x-1，求用 g(x)去除 f(x)所得的 商 q(x)及余式 r(x)解法 1 用普通的竖式除法3解法 2 用待定系数法由于 f(x)为 3 次多项式，首项系数为 1，而 g(x)为 2 次，首r(x)= bx+ c根据 f(x)=q(x)g(x)+r(x)，得x3-3x2-x-1比较两端系数，得4例 7 试确定 a 和 b，使 x4+ax2-bx+2 能被 x2+3x+2 整除解 由于 x2+3x+2=(x+1)(x+2)，因此，若设f(x)=x4+ax2-bx+2，假如 f(x)能被 x2+3x+2 整除，则 x+1 和 x+2 必是 f(x)的因式，因此， 当 x=-1 时，f(-1)=0，即1+a+b+2=0， 当 x=-2 时，f(-2)=0，即16+4a+2b+2=0， 由，联立，则有练习十1计算：(1)(a- 2b+c)(a+2b-c)-(a+2b+c) (2)(x+y)4(x-y)4；2；(3)(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-ac-bc)2化简：(1)(2x-y+z-2c+m)(m+y-2x-2c-z)；(2)(a+3b)(a2-3ab+9b2)-(a-3b)(a2+3ab+9b2)；(3)(x+y)2(y+z-x)(z+x-y)+(x-y)2(x+y+z)(x+y-z)3已知 z2=x2+y2，化简(x+y+z)(x-y+z)(-x+y+z)(x+y-z)4设 f(x)=2x3+3x2-x+2，求 f(x)除以 x2-2x+3 所得的商式和余式5