第三届BiZ—WiZ杯华中地区大学生数学建模B题

第三届BiZ-WiZ杯华中地区大学生数学建模邀请赛承 诺 书我们仔细阅读了第三届BiZ-WiZ杯华中地区大学生数学建模邀请赛的竞赛细则。我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们的参赛报名号为： 参赛队员 (签名) ：队员1： 梁炜 队员2： 张秀群 队员3： 赵林 武汉工业与应用数学学会第三届BiZ-WiZ杯华中地区大学生数学建模邀请赛组委会第三届BiZ-WiZ杯华中地区大学生数学建模邀请赛编 号 专 用 页选择的题号： B 参赛的编号： （以下内容参赛队伍不需要填写） 竞赛评阅编号： 【摘要】 随着科学技术的迅猛发展，人们生活水平也不断提高。交通堵塞问题成为人们日益关注的焦点。免费自行车交通系统服务缓解交通拥挤，服务于广大市民。分析评价和合理布局规划免费自行车交通系统服务网点对于合理调配利用资源和缓解交通拥堵有很重要的意义。 我们寻求最大程度服务于市民同时资源合理运用，社会效益和经济效益的综合利益尽可能大的原则下进行分析评价和建立模型的。本文首先对模型进行简化，比较当前的网点布局，充分考虑对于满足不同的情况下的网点建在特定区域进行了分析和研究，通过全面、精确的数据处理，评价了当前网点布局的不合理，并建立了相关的数学模型，设定评价标准，优化网点的分布。问题一中，首先根据网点的分布和各网点的车辆数合理性，要最大程度服务于市民的目的，得到目标函数和一些特定的限制条件后用LINGO进行求解，得到了在社区1建立2个网点，在社区2建立4个网点，其他地方建立11个网点。并对原题中给定的数据进行分析和研究，知道原来网点的分布存在明显的问题。问题二中，考虑到居民的满意度、网点的分布、各网点的车辆数。本文把满意度理解为随距离而递减的一种关系，并定义最简单的关系式为：F=网点数目1/覆盖的范围。故当满意度达最大时得到最优解。问题三中，设定了资金的数目，这就限制了网点数量和自行车的数量，由此也得到了对网点和自行车数量的限制条件，在原有基础上得到了网点和自行车数目的最优解。经过分析和研究，通过大量、精确的数据处理得到应建立109个网点，用到1850辆自行车 关键词：最优解；限制条件；满意度；简化问题1问题重述 上班、上学或做其他任何事情都离不开交通。但不管去哪里，很多时候都需要等车。现在，某城区推行免费公共自行车服务。根据题目所给图形提供的信息可知，大型社区、地铁站、超市处于人流量高峰期时人口集中度很高。十字路口的人流量较大。停放自行车的各网点之间的距离控制在一定范围内。建立相关模型来评价和衡量该城区的各网点应停放的自行车辆数，规划各网点布局，调配资源合理利用，缓解交通拥堵。问题一、设定一个评价标准来衡量现有网点与车辆分布状况。问题二、在规划中要在图中增加到100个网点和3600辆车，如何决定网点位置跟每个网点的车辆数，才能使在你的评价指标下达到最优。问题三、但目前市政资金有限，只能拿出110万元左右，已知建设一个网点需5000元，投入一辆自行车的成本约300元，现希望尽可能实现主要居民区网点平均间距500米的公共交通体系，并最大程度服务居民，则需要在此地区建立多少个，如何分布网点并确定每个网点的车辆数。给定的信息：该城区基本信息图（图长4.68公里，高4.89公里），人口共15万，有17个网点，600辆自行车。规划中的地铁站有5个，图上AE点，预计高峰时间人流量在4000-5000人/站，其余时间10002000人/站。大型社区有两个，社区C有1.4万人，社区C有2.8万人，其余地区，除山地、湖泊和河流区域外，可以认为人口是均衡分布的。大型超市有三个，预计高峰时间人流量在3000人/座，其余时间1000人/座。现建设网点依据有限时间内免费租赁，随处借还的原则，最大可能方便居民使用，应优先考虑交通枢纽和地点人流量，根据现实中调查可以推断：早晨在社区周边的网点车辆数较多，下午下班时在地铁站和超市附近网点的车辆数较多。十字路口的人流量一般较大。网点之间的距离一般控制在300米1000米之间。2【模型假设】1. 通过图中的比例，我们把山地，湖泊近似为规则的图形，社区面积也可以估计出来。2. 地铁和超市的影响，我们考虑其人流高峰（占15%）其和平时时的人流数（占85%）的平均数。3. 考虑在距社区500米内的网点为社区内的点。4.所有与人数有关的变量单位都同一为“千人”。5.车辆分布与人口密度有关，与超市和地铁的人流量有关。6.在考虑超市和地铁的影响时，近似认为超市和地铁的人会去选择距他们最近的网点。3【符号说明】S1社区一的面积S2社区二的面积S城区总面积A1社区1分配的自行车数A2社区2分配的自行车数A3其他地方分配的自行车数目P1社区1的人口密度P2社区2的人口密度W1社区1分配的网点个数W2社区2分配的网点数W3其他地方分配的网点数R1社区1分配的网点的覆盖范围R2社区2分配的网点的覆盖范围R3其他地方分配的网点的覆盖范围D网点的个数N自行车辆数4【模型建立和求解】4-1 问题分析问题一： 根据我们建立的优化模型，对已经给出的数据进行分析，先从数据就可以明显看到该城区现有的17个网点的不足之处：编号上午7:00车辆数下午5:30车辆数17070260903403043010530106301075045830109307010301011302012308013201014506015201016205173060例如网点2,12,17，它们显然不能很好的服务居民，上午7:00和下午5:30网点内的车辆数出现了明显的变化，可能会出现来的时候有车骑而回去的时候没车骑的状况。4-2模型建立与求解根据符号约定和提供的已知条件：P1=5.1；P2=4.2；现在以居民的满意度最大为目标函数;设居民的满意度与分配的网点数呈正比，与网点之间的距离成反比。显然满意度小于等于1，故满意度可表示为： F=网点数目1/覆盖的范围故列出目标函数为：Max=P1w1R1(lnR1-1)+P2W2R2（lnR2-1）+W3R3（lnR3-1）；对于R1，R2，R3来说，根据题意它们应该有300/2=R1,R2,R3=1000/2。根据题中给定的图形，按比例可以算得： S1=； S2=； S= ；D=17； 为了尽量的利用已有的自行车，故应该有：*W1*R1*R1=S1;*W2*R2*R2=S2;*W1*R1*R1+*W2*R2*R2+*W3*R3*R3=150;R1=150;R2=150;R3=500;3.14*W1*R1*R1=;3.14*W2*R2*R2=;3.14*W1*R1*R1+3.14*W2*R2*R2+3.14*W3*R3*R3=;W1+W2+W3=17;gin(W1);gin(W2);gin(W3);End运行结果如下：Local optimal solution found at iteration: 227 Objective value: 68076.92 Variable Value Reduced Cost W1 2. -138.6652 R1 292.6923 0. W2 4. 96.40410 R2 317.8601 0. W3 11.00000 0. R3 500.0000 0. Row Slack or Surplus Dual Price 1 68076.92 1. 2 142.6923 0. 3 207.3077 0. 4 167.8601 0. 5 182.1399 0. 6 350.0000 0. 7 0. 68.36069 8 0.E-06 0.E-01 9 0. 0.E-01 10 0.E+08 0. 11 0. 2607.304故得出在社区1应该建立2个网点，在社区2应该建立4个网点，剩下的11个网点分布于其他区域。 社区1的两个网点的覆盖范围为293米，社区2的4个网点的距离为318m，而其他的网点间的距离为500m。 问题二： 与问题以相似，只是网点增加到100个，D=100，自行车增加到3600辆。用LINGO求解得：Local optimal solution found at iteration: 634 Objective value: .4 Variable Value Reduced Cost W1 7. -234.1707 R1 156.4506 0. W2 17.00000 0. R2 154.1848 0. W3 76.00000 434.4898 R3 297.3018 0. Row Slack or Surplus Dual Price 1 .4 1. 2 6. 0. 3 343.5494 0. 4 4. 0. 5 345.8152 0. 6 147.3018 0. 7 202.6982 0. 8 0. 0.E-01 9 0. 0.E-01 10 0.E-08 0.E-02 11 0. 983.7176对结果进行分析得： 在社区1附近应该建立7个网点，他们的覆盖范围为157m。在社区2附近应该建立17个网点，它们的覆盖范围为155m，其他地方建立76个网点，而它们各个的覆盖范围为298m。问题三： 根据已知的条件得：5000D+300N;而显然目标函数可以为：max=W1*a1*0.109+W2*a2*0.135+W3*a3*0.756;而各系数代表的意思为： 地铁的人流量与总的地铁人流量+商场的人流量之比，等于：0.135。商场的人流量与总的地铁人流量+商场的人流量之比，等于：0.019。用LINGO解得： Local optimal solution found at iteration: 63 Objective value: .4 Variable Value Reduced Cost W1 0. 1398.600 A1 0. 150.2661 W2 0. 1398.600 A2 0. 0. W3 109.0000 0. A3 1850.000 0. R1 250.0000 0. R2 250.0000 0. R3 250.0000 0. N 1850.000 1. D 109.0000 0. Row Slack or Surplus Dual Price 1 .4 1. 2 0. 0. 3 0. 0. 4 0. 0. 5 0. 16.15765 6 0. 82.40400 7 .0 0. 8 . 0. 9 . 0. 10 0. 1398.600 11 0. 0.得到可以建立109个网点，1850辆自行车。5【模型扩展与评价】5-1 模型评价优点：1、本文进行了大量的数据分析，可以说基本问题分析、模型建立、模型求解都是在真实的数据上完成的，有很强的说服力，计算所得值也是精确的、可靠的。2、在问题的解决中均采用LINGO进行最优解搜索，求解得结果还是令人满意的。3、在问题二中，在得到满意度是随距离而递减的一个关系时，本文定义的满意度关系式比较简单，在实际中，满意度的定义应通过调查后由相关信息所得出。4、在问题三中，在同时考虑满意度和车辆数的情况下，这本是一个多目标最优化问题本文定义了一个新的目标函数，大大简化了原问题，使得原问题的求解变得十分方便。不足：1、 本文没有对各个网点进行单独的讨论。2、 超市和地铁站的假设并不十分合理，模型假设比较简单，没有综合考虑题目提供的很多因素，确实存在一些缺陷。3、 影响网点分布和各网点自行车辆数的因素众多，我们考虑不够全面，存在一定的缺陷。5-2模型扩展本文所建立的各网点布局模型，它是一个适用性很强的模型。可以扩展到当前各城区公交车分布、出租车分布等等一系列实例中。具有很好的扩展性。6参考文献1.叶俊，谢金星，姜启源.数学模型（第三版），高等教育出版社2. 谢金星，优化建模与LINDOLINGO软件教程，清华大学出版社。3. 杨启帆 等编著，数学建模(浙江省高等教育重点建设教材)2006年6月附录一：model:max=W1*A1*0.109+W2*A2*0.135+W3*A3*0.756;R1=250;R2=250;R3=250;4.2*A1-5.1*A2=0;A1+A2+A3-N=0;3.14*W1*R1*R1=;3.14*W2*R2*R2=;3.14*W1*R1*R1+3.14*W2*R2*R2+3.14*W3*R3*R3=;W1+W2+W3-D=0;5000*D+300*N=;gin(D);gin(N);End